为什么“1 1=2”，需要“证明”？

1 引言

“为什么1+1=2？”，我眉头紧皱，抚案沉思，答案涌上心头，“存在即合理”，不叫1+1=2，也会叫a+b=c，到时候就会有人来问“为什么a+b=c”。

学了数学之后才发现自己太naive，纯粹属于“书读得太少，却想得太多”。

2 自然数的构造

数学是数学家构造出来的一个世界，那么自然数的构造就是数学世界的开天辟地。

2.1 选择

我们先放空自己，想象在连空间、时间都一无所有的数学世界里（空间、时间还要在自然数之后才能被创造出来），我们应该怎么去创造自然数？

自然数会不会是这样的：

或者是这样的：

甚至这样：

选择不同的自然数体系，那么数学世界会完全不同，大家也知道最后我们做了这个选择：

这个选择是自然而然做出来的，是经过历史考验的，所以我们称之为“自然数”。

你猜猜，外星人会不会做出和我们一样的选择？至少目前看来地球上各个独立发展的文明基本都做出了一样的选择。

2.2 皮亚诺公理

意大利数学家皮亚诺用公理把自然数安放在了数学世界里面。

公理1：0是自然数。

空旷的世界有了第一个孤独的元素：

这就是产生整个宇宙的奇点。上帝创世的第一天是不是就是放置下了自然数0？

然后奇点0的大爆炸应该是什么样子的？

公理2：每一个确定的自然数  ，都有一个确定的后继数  ,  也是自然数。

这个公理做出了选择：

为了避免太过于“迂腐”，“后继数”这个词未加定义的就使用了。

基本上雏形是有了：

但是还是可能长成这种造型：

公理3：0不是任何自然数的后继数。

这条公理直接把上面的情况给毙了：

同时这个公理也说明了0必须也只能是自然数的第一个数。

但是还是可能长成这种造型（真多事啊）：

公理4：不同的自然数有不同的后继数。

这个公理可以避免上面的情况出现：

我们终于可以一个数一个数的数下去了。

但是现在就全是自然数了吗？这样行不行：

这个数系：

｛0，0.5，1，1.5，2，3……｝

这个数系满足公理1-4：

• 0是自然数。

• 每一个确定的自然数  都有确定的后继数  ，  也是自然数。

• 0不是任何自然数的后继数。

• 不同的自然数的有不同的后继数。

但是0.5这样的数不是自然数啊，我们一定要干掉它。

于是又加上一个公理：

公理5：任意关于自然数的性质，如果证明了它对自然数0是对的，又假定它对自然数为真时，可以证明它对  为真，那么命题对所有自然数都真。

这里有点绕，自然数都没有构造完，自然没有办法定义具体的自然数性质，这个公理就是说当以后我们定义了一个自然数的性质，自然数都要满足。

并且，这个公理就是数学归纳法！

感受一下这个命题:

 是自然数，那么  是自然数，并且  大于等于  。

这个是我们的自然数的一个性质，  ，  ，不满足这个性质，干掉：

上面给出了一个通俗的说明，下面为有疑问的同学进行更严格一点的说明，可能有如下疑问：

• 0.5没有定义，怎么就出现了？

• 0.5不过就是一个命名而已，我可以规定0.5也是自然数，0.25也是自然数，并且0.25排在0.5的后面。

我们从这个角度来看待公理5：公理5就是数学归纳法，用数学归纳法可以证明的定理，如果某个数不符合此定理，则一定不为自然数。

对于0.5的出现这么来考虑，我们先定义了自然数集，然后又用自然数集扩张为有理数集，然后在有理数中挑一个数，比如说0.5，因为自然数本身是有理数的子集，所以我并不清楚0.5是不是自然数，但是我这么检验，其平方为0.25，对于自然数不可能平方小于自身，所以它不是自然数。

公理5也将在接下来的加法定义中发挥作用。

2.3 命名

皮亚诺公理定义了什么是自然数：他们是这样｛  ｝，这样称呼起来太麻烦了，历史上早就把它们的名字准备好了，就是｛  ｝：

当然也可以叫别的，比如英语里面就是one、two、three、four、  。

你要说1后面不是2，非要是87，那也行，只是要你接受由此规定扩张出来的整个数学世界。

3 加法

只有自然数的数学世界仍然死气沉沉，增加的加法让数字与数字之间开始有了化学反应：

定义自然数的加法：设  是自然数，我们定义  .如果定义  加上  ,那么 

要证明  也是自然数，就需要用到公理5。

我们来计算一下的值：

计算  的值就是计算  的值。

所以有  。

加法就像这样：

现在我们终于可以来解答1+1为什么等于2：

4 大爆炸的继续

自然数和加法是数学世界的根基（当然还有集合论等，忍不住还是严谨一下），在这个基础上数学世界越来越辉煌，这就是为什么需要证明“1+1=2”：

5 思考

为什么数轴是直的， 而不是长成这样：

这倒没什么正确答案，不过确实有一些数学原因。

思考是数学真正的乐趣。

参考文献：《陶哲轩实分析》