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前面介绍了自然数的公理化定义(自然数的公理化定义)。由归纳公理(5)则可以发展出第一数学归纳法。 第一数学归纳法 设P(n)是关于自然数n的某种性质，如果能够证明： (1) P(0)为真； (2) 若对任意自然n，P(n)为真，则P(n')也为真。 那么可以断言P(n)对所有自然数都为真。 此外，利用第一数学归纳法还可以构造函数，从而定义加法和乘法。 定义1(加法) 对于任意m,n∈N，规定 m+0=m m+n'=(m+n)' 此处的n'实际上就是n+1。可以证明加法满足结合律、交换律和消去律。下面以加法结合律为例加以证明。 命题(加法结合律) 对于任意m,n,k∈N，有 (m+n)+k=m+(n+k) 证明 (1) 当k=0时，有 (m+n)+0=m+n m+(n+0)=m+n 所以当k=0时结论成立。 (2) 假设结论对自然数k成立，则根据自然数的定义和归纳假设可知 (m+n)+k'=((m+n)+k)'=(m+(n+k))'=m+(n+k') 所以结论对自然数k'也成立。 综上，由第一数学归纳法可知，结论对任意自然数k都成立。 在自然数集N上还可以定义乘法。 定义2(乘法) 对于任意m,n∈N，规定 m·0=0 m·n'=m·n+m 可以证明乘法满足结合律、交换律和消去律，并且满足对加法的分配律。 我们在小学的数学课程中就已经学过自然数加法的交换律、结合律、消去律，以及自然数乘法的交换律、结合律、消去律、对加法的分配律。但是当时只是通过举例进行了说明。整个中小学阶段的数学课程都没有对自然数的这些运算律进行过证明。事实上，从佩亚诺公理及自然数乘法和加法的定义出发，这些定律都是可以严格证明的。 |
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