运 算 定 律

一．概念描述

现代数学：运算定律，指基本运算律，包括加法运算定律和乘法运算定律。

加法运算定律指加法交换律，加法结合律---

加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变 即。a+b =b+a。

加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者先把后两个数相加，再加上第一个数，它们的和不变，即(a+b)+c=a+(b+c)。

加法交换律和加法结合律可“推广到若干个加数相加的情形。

乘法运算定律指乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律---

乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。即ab= ba。

乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再与第三个数相乘，或者先把后两个数相乘，再与第一个数相乘，它们的积不变，即(ab) c=a (bc)。

乘法交换律和结合律可以推广到若干个数相乘，而积不变。

乘法分配律：两个数的和（或差）与一个数相乘的积，等于这两个数分别与这个数相乘，所得的积的和（或差），即（a±b）c= ac±bc。

乘法对加法（或减法）的分配律可以推广到若干个数的和（或差）与一个数相乘。

小学数学：加减乘除运算定律是指在运算过程中被事实所证明的四则运算变化发展的基本规律。加法运算定律有加法交换律、加法结合律，乘法运算定律有乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。俗称“五大定律”。

二．概念解读

自然数或正整数的数学理论就是众所周知的算术。算术的基础在于：整数的加法和乘法服从某些规律，即五个算术基本规律。加法和乘法的交换律说明人们可以交换加法或乘法中元素的次序、结合律表明三个数相加时，或者我们把第一个数加上第二个与第三个的和，或者我们把第三个数加上第一个与第二个的和，其结果都相同。分配律表面用一个整数去乘一个和时，我们可以用这个整数去乘这个和的每一项，然后把这些乘积加起来。

其实，人们很早就发现了这些基本规律。，随符生产的发展，人们发现很多数学现象具有共同的特征，如3+2= 2+3，4+5= 5+4，7+8=8+7，……类似的等式共同体现了一个定律---加法交换律。当然，只是用几组算式来表示，不能代表这几组算式的一般性规律，若是用语言文字表达又很麻烦。所以，引发了数学史上第二次抽象---用符号表示数。另外四个定律也是这样。这些算术规律是很简单的，而且好像是显然的，人们不需要过多的证明就能接受这样的结果。

19世纪早期，代数还被单纯地看作符号化的算术。上述五条定律成为自然数的代数中总是成立的性质。但是，这些性质是符号的，它们还可以用于自然数以外的元素的集合。因此，这五条性质也可以看作其他完全不同的元素体系的性质。它们的推理构成了可应用于自然数的代数；显然它们的推理也构成了可应用于其他体系的代数。这就是说，许多不同的体系有共同的代数结构。这五条基本性质可看作对特殊类型的代数结构的公设。从这个观点考虑，代数不再束缚于算术之上，而成为纯粹形式的演绎研究了。

1830年左右，上述代数现代观点的萌芽出现在英同数学家皮考克的著作中。皮考克是最先研究代数基本原则的人之一。1830年，他发表了《代数论著》一书，试图对代数做出堪与欧几里得“原本”媲美的逻辑处理。他赢得“代数的欧几里得”的称号，为抽象代数的诞生开辟了先河。

三．教学建议

先要定义乘法的意义，才会有乘法的运算。、乘法交换律是由乘法定义，可以用数学归纳法严格推导出来的。画图解释，举例解释等，都不过是解释而已，并不是证明。但是，严密的证明要用到原始的“后继”定义，将乘法归结为加法，并用到数学归纳法，这在小学里显然不可使用。小学数学教学重视设置情境，加以具体解释，帮助学生理解正整数的乘法交换律，也就够了。

(1)设置合理情境，提炼定律内容

运算定律虽然很简单，似乎不需要什么证明，但对于小学生来说，创设合适的情境、体会定律的内容就显得尤为重要。

(2)利用错误资源，明确适用范围

正视学生学习过程中出现的错误，寻找合理因素，分析错误原因，巧妙利用资源，还错误以本色的过程，是把师生共同培养成训练有素的思维者的过程。学生在学习了运算定律后，经常会出现这样的错误：1.25x8.8=1.25x8x0.8或1.25x8.8=1.25x8x1.25x0.8。分析原因发现，这两种都是对乘法分配律的误解，受到了乘法结合律的干扰。教学中，可以直接呈现错误算式，让学生先判断正误，并说明理由，再结合具体的情境或实例，进一步认识和理解乘法分配律及其他定律的使用方法和使用范围。