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数学的特点是，你把东西定义清楚了，结果就显然了。 在这里，你先得定义那个 ∞ 符号是什么。 按一般的记号习惯，比较集合数量大小的无穷基数用 ? 相关的符号表示，推广自然数次序的超限序数则用 ω 相关的符号表示。 至于 ∞，则在分析中一般表示无界的变量范围或无界发散的极限值、给实数或复数系的紧化添加的无穷远点之类人造的点。 基数和序数都可以定义算术和比较，不过符号都不用 ∞。 考虑无穷基数的话，集合基数的和是无交集合并的基数，任何无穷基数 + 1 结果都不变。比如说 ?0+1 = ?0，?1+1=?1，如此之类。这就是一些人说的自然数集合里 添个元素还和原来的集合有同样多的元素。 考虑超限序数的话，集合序数的和是在两个良序集的无交并上定义一定良序关系后定义的。不过对于 +1 这个运算，可以自然地看成下一个序数。因为序数本身就表示序关系，所以对某序数 a，有 a < a+1。对于超限序数也是这样的，比如 ω < ω+1 < ω+2 < … < ω+ω。对一般人来说序数比基数更晦涩一些。 ∞ 这个东西，如果用在区间中表示无界变量的范围，那么区间算术可以用平移来定义。比如说开区间 (1,2) 平移 1 是 (2,3)，可以记成 (1,2) + 1 = (2,3)。那么对有限值 a，区间 (a,∞) + 1 就是 (a+1,∞)，上界仍然无界不变；(-∞,a)+1 是 (-∞,a+1)，下界仍然无界不变；(-∞,∞) + 1 是 (-∞,∞)。注意区间算术的结果是数集，因此可以划等号。至于序关系如果需要可以自己定义。 ∞ 如果用于表示无上界或无下界发散的极限：因为 lim f(x) 无界，所以 lim( f(x) + 1 ) 也一定无界，从而有 lim(f(x)) + 1 无界。不过注意这里虽然会用 lim f(x) = ∞ 表示极限无界，但这里等号只是一种简写方式，两个无界发散的极限并不能就这么直接认为相等。无界的函数可能通过增长的阶（商的极限）来定义大小，也可能在两点紧化的实数中当成同一个东西。虽然可以写 lim f(x) = ∞ 和 lim f(x) +1 = ∞，但一般不会写 lim f(x) = lim f(x) +1。具体的定义要看上下文而定。 ∞ 如果用于表示实数的一点紧化，即 R 与 {∞} 的并集。 那你要定义四则运算满足的各种好的性质，还要能把原来实数的定义嵌入进去。就 ∞ + 1 来说，考虑到运算的封闭性，结果要么是 ∞，要么还是个实数 a。但如果 ∞+1 = a 是实数就会得到实数 a-1 = ∞ 不是实数这种矛盾了；所以只能定义 ∞+1=∞。这时候不需要定义 R 并 {∞} 上的序关系你也知道只能有 ∞+1=∞。不过这时无法定义 ∞ - ∞ 运算作为加法的逆运算（否则会有 0 = 1 之类矛盾），代数性质已经不够好了。 实数的两点紧化、复数的一点紧化之类扩张也有类似的问题，定义出来的运算未必能满足所有好的代数性质（比如数域的性质）。不过相对合理地定义出的运算基本上都是 -∞ + 1 = -∞，+∞ + 1 = +∞ 之类相等的结果，不需要通过序关系比较大小。 |
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