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赵小云 男，1962年生，浙江东阳人。1983年毕业于浙江师大数学系，毕业后到中学任教，担任过中学初一到高三各个年级的教学工作，期间培养的学生在全国高中数学联赛中曾以满分的成绩获全国并列第一。1990年师从施咸亮教授，获奥林匹克数学方向硕士。现为陕西学前师范学院数学系教授。 教学情况：主要从事数学教育和奥林匹克数学的教学和研究工作。 再次感谢赵小云教授的慷慨帮助！这是赵教授的新书《极值与不等式》第一章第一节的内容，该书即将由中国科学技术大学出版社出版。 一次函数y = ax + b是一个最简单的初等函数, 若a≠ 0, 则它在坐标平面上表示一条与x轴不平行的直线, 故此它在整个实轴上既无最大值, 也无最小值. 但是, 在任意有限区间[α, β]上, 它总有最大值与最小值. 当a> 0时, y是严格单调递增的; 当a<>时, y是严格单调递减的. 因此, a ≠ 0时, y的最大值和最小值总是在区间[α, β]的某一个端点处取到. 假如a = 0, 那么y ≡ 常数b, y在整个实轴上处处取到最大值和最小值. 并且, 当且仅当x为[α, β]的某个端点时, f(x)取最大值或最小值. 2° 若a = 0, 则f(x)≡ 常数, f(x)在全实轴上处处达到最大值和最小值. 这些结论几乎是显而易见的, 无需证明, 但是这些简单的事实在解题时却十分有用, 一些初看似乎难以下手的数学竞赛题, 利用这些结论就能迎刃而解. 例2 求证: 内接于平行四边形的三角形, 其面积不可能大于这个平行四边形面积的一半. (匈牙利数学奥林匹克试题) 证明: 假如内接于平行四边形的三角形的某个顶点在平行四边形的边上(不在顶点), 那么由例1易知, 我们总可把这点移到平行四边形的某个顶点, 而使三角形的面积不减少. 因此, 我们总可以把三角形三个顶点移到平行四边形的某三个顶点而其面积不减少. 此时三角形的面积恰为平行四边形面积的一半, 于是, 我们证明了结论. 例4 在边长为1的正方形上任取没有三点共线的101个点, 证明, 存在三个点使得以这三点为顶点的三角形面积小于或等于1/100. (莫斯科数学奥林匹克试题) 证明: 把正方形等分成50个面积相等的矩形, 根据抽屉原理, 101个点中必有三点位于同一个小矩形中, 同例2可知, 以这三点为顶点的三角形面积小于或等于小矩形面积的一半, 即1/100. 下面的例5也是一道国外数学奥林匹克试题, 初看很难, 但如果把它当做一元一次函数的最值问题来求解, 问题的解决也就不大困难了.
上面两个例题都是有实际价值的线性规划问题. 线性规划是最近七八十年发展起来的一门新兴数学分支, 它在生产实践中有着极其广泛的应用, 关于线性规划理论的一般性论述已经超出本书的范围, 但是简单的模型只需要运用关于线性函数的最大, 最小值知识便可解决. |
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