三角形角平分线

三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，连接这个角的顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线。（也叫三角形的内角平分线。），三角形的一个外角平分线与这个角的对边所在直线相交，连结这个角的顶点和交点的线段叫做三角形外角平分线。

　　基本信息

　　中文名：三角形角平分线

　　外文名：Triangle Angle bisector

　　分类：内角平分线和外角平分线

　　特点：线段、在三角形内

　　学科：数学

性质介绍

　　设⊿ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．

　　1、三角形的外角平分线都在三角形外。

　　2、三角形的一条内角的平分线与不相邻的两个外角的平分线交于一点，该点叫做三角形的旁心。

　　3、三角形角平分线有个有趣的性质：三角形ABC中角A的平分线为AD，则AB:AC=BD:CD。(可用面积法证明)

　　4、三角形的角平分线都在三角形内。

　　5、设三角形ABC，∠A平分线AD，AB=c,AC=b,BC=a,半周长p=(a+b+c)/2,

　　三条角平分线为ta,tb,tc,AD=ta,BE=tb,CF=tc,

　　根据角平分线性质，BD/CD=c/b,(角平分对边二部分之比为其邻边之比），

　　(b+c)/b=(BD+CD)/CD=a/CD,（合比）

　　CD=ab/(b+c),

　　在△ADC中，根据余弦定理，

　　AD^2=b^2+CD^2-2CD*b*cosC

　　=b^2+a^2b^2/(b+c)^2-2ab^2*cosC/(b+c),

　　根据余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab),

　　AD^2= b^2+a^2b^2/(b+c)^2-b(a^2+b^2-c^2)/(b+c)

　　AD^2=bc[(b+c)^2-a^2]/(b+c)^2=bc[(b+c-a)(b+c+a)]/(b+c)^2,

　　Ta=AD=√[(bc*2p*(2p-2a))/(b+c)

　　=[2/(b+c)]√[bcp(p-a)].

　　同理可证，tb=[2/(a+c)]√[acp(p-b)].

　　tc=[2/(a+b)]√[abp(p-c)].

　　6、三角形的三条角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。常记作点I。