如图(1),若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线,通过证明可得AB/AC=BD/CD,同理,若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线,通过探究也有类似的性质,请你根据上述信息,求解如下问题: 如图(2),在△ABC中,BD=2,CD=3,AD是△ABC的内角平分线,则△ABC的BC边上的中线长l的取值范围是_______. 首先,要弄明白三个问题: (1)为什么AD是△ABC中∠BAC的内角平分线时,有AB/AC=BD/CD? 这是因为S△ABD/S△ACD=AB/AC, 根据角平分线的性质,点D到AB,AC的距离相等,即高相等,所以三角形面积比等于底的比。 又S△ABD/S△ACD=BD/CD. 很明显的,两个三角形在BD和CD上的高线是相同的,因此面积比等于底的比。等量替换就有题干中的比例关系。 (2)外角平分线“类似的性质”是什么? 其实就是AB/AC=BE/CE, 同样是因为S△ABE/S△ACE=AB/AC, (与上面同理,但比较难判断) S△ABE/S△ACE=BE/CE. 同样等量替换就有类似的性质。 (3)AB/AC=BE/CE是否适合图(2)? 先补全图(2) 可以发现,虽然图形发生了变化,AB在图(1)中较长,而在图(2)比AC短,外角平分线的方向也发生了变化,但仍有AB/AC=BE/CE. ∴AB/AC=BE/CE=BD/CD=2/3. ∵CE=BE+BD+CD=BE+5, ∴BE/(BE+5)=2/3, 解得BE=10. ∴DE=BE+BD=12为定边, 又∠DAE=∠BAE+∠BAD=90⁰为定角, (三角形内角的一半与相邻的外角的一半互为余角,因为内角和相邻的外角互补) ∴点A的轨迹是以DE为直径的圆, (定边对定角时,角的顶点在圆上,若定角为直角,则定边是直径) 根据点到圆上距离的最值在直径所在的直线上(或说点到圆上距离的最值在过圆心的直线上), 所求的中线,就是BC的中点到A的距离最小到D点,最大到E点。但A点在D,E时不能构成△ABC,所以中线l取不到这两个最值。 因此2.5-BD<l<2.5+BE, (2.5就是BC的一半) 即0.5<I<12.5. 凡是数学题,讲通透了,再难也就都比较容易了,不过这种题出现在中考中,对绝大多数考生来说就是很难的。请不要用天才的思维或者培训辅导机构的思维来评价一道题。 |
|