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2017-01-10 来源：图灵社区 编辑:Gemini 如果没有极限的概念, 那么微积分将不复存在. 这意味着, 我们将用大量的时间来研究它们. 事实证明, 虽然恰当地定义一个极限是件相当棘手的事情, 但你仍然有可能对极限有个直观理解, 而无须深入其中的具体细节. 这对于解决微分和积分问题已经足够了. 因此, 本章仅仅包含对极限的直观描述; 正式描述请参见附录 A. 总的来说, 以下就是我们会在本章讲解的内容：
1.1 极限：基本思想让我们开始吧. 我们从某个函数 f 和 x 轴上的一点出发, 该点称为 a. 需要理解的是：当 x 非常非常接近于 a, 但不等于 a 时, f (x) 是什么样子的？这是一个非常奇怪的问题, 人类相对晚近才发展出微积分很可能就是因为这个原因吧. 这里有一个例子, 说明了为什么要提出这样的问题. 令 f 的定义域为 f (x) = x - 1 当 x ≠ 2. 这看起来好像是一个古怪的函数. 毕竟, 到底为什么要将 2 从定义域中去除掉呢？其实, 在下一章就会看到, f 很自然地就是个有理函数 (参见 4.1 节的第二个例子) 不过现在, 让我们姑且接受 f 的定义, 并画出其图像, 如图 3-1 所示. 图 3-1 那么 f (2) 是什么呢？或许你会说 f (2) = 1, 但这是大错特错了, 因为 2 根本不在 f 的定义域中. 你所能给出的最好回答就是 f (2) 是无定义的. 另一方面, 当 x 非常非常接近于 2 的时候, 我们可以找到一些 f (x) 的值, 并看看将会有什么发生. 例如, f (2.01) = 1.01, f (1.999) = 0.999. 稍作思考, 你会发现当 x 非常非常接近于 2 的时候, f (x) 的值会非常非常接近于 1. 还有, 只要令 x 充分地接近于 2, 那么你想多接近于 1 就能多接近于 1, 却又不是真的达到 1. 例如, 如果你想要 f (x) 在 1 ± 0.0001 内, 可以取在 1.9999 和 2.0001 之间的任意的 x 值 (当然, 除了 x = 2, 这是禁止的). 如果你想要 f (x) 在 1 ± 0.000 007 内, 那么选取 x 的时候, 你不得不更细心一点. 这一次, 你需要取在 1.999 993 和 2.000 007 之间的任意值了 (当然, 还是除了 2). 这些思想会在附录 A 的 A.1 节里有更详细的描述. 不过现在, 让我们回到正题, 直接写出 如果你大声将它读出来, 它听起来应该像是 “当 x 趋于 2, f (x) 的极限等于 1”. 再次说明, 这意味着, 当 x 接近于 2(但不等于 2) 时, f (x) 的值接近于 1. 那到底有多近呢？你想要多近就能多近. 以上陈述的另外一个写法是 f (x) → 1 当 x → 2.
现在, 取上述函数 f 并对它做一点改动. 假设有一个新的函数 g, 其图像如图 3-2 所示. 图 3-2 函数 g 的定义域是所有实数, 并且 g (x) 可以被定义为如下的分段函数：
这里的要点是, 当你写出 的时候, 等式左边实际上不是 x 的函数! 要记住, 以上等式是说, 当 x 接近于 2 时, f (x) 接近于 1. 事实上, 我们可以将 x 替换成其他任意字母, 上式仍然成立. 例如, 当 q 接近于 2 时, f (q) 接近于 1, 因此我们有 也可以写成
如此等等, 直到用光了所有的字母和符号! 这里的要点是, 在极限
中, 变量 x 只是一个虚拟变量. 它是一个暂时的标记, 用来表示某个 (在上述情况下) 非常接近于 2 的量. 它可以被替换成其他任意字母, 只要替换是彻底的; 同样, 当你求出极限的值时, 结果不可能包含这个虚拟变量. 所以对虚拟变量你要灵活处理. 1.2 左极限与右极限
图 3-3 当然, 就趋于极限的行为而言, h (3) = 2 实际上是无关紧要的. 现在, 当你从左侧接近于 x = 3 时会发生什么呢？想象一下, 你是图中的远足者, 顺着山势上下. h (x) 的值会告诉你, 当你的水平位置是 x 时, 你所在高度是多少. 因此, 如果你从图的左边向右走, 那么当你的水平位置接近于 3 时, 你所在高度就会接近于 1. 当然, 当到达 x = 3 时你会陡然坠落 (更不用说那个古怪的小突起), 但暂时我们不关心. 这时任何在 x = 3 右侧的值, 包含 x = 3 本身对应的值, 都是无关紧要的. 因此, 就可以看到 h (x) 在 x = 3 的左极限等于 1. 另一方面, 如果你从图的右边向左走, 那么当你的水平位置接近于 x = 3 时, 你所在高度就会接近于 -2. 这就是说, h (x) 在 x = 3 的右极限等于 -2. 这时任何在 x = 3 左侧 (包含 x = 3 本身) 的值都是无关紧要的. 可将上述发现总结如下：
在上面第一个极限中 3 后的小减号表示该极限是一个左极限, 第二个极限中 3 后的小加号表示该极限是一个右极限. 要在 3 的后面写上减号或加号, 而不是在前面, 这是非常重要的! 例如, 如果你写成
正如我们将在下一节看到的, 极限不是总存在的. 但这里的要点是：通常的双侧极限在 x = a 处存在, 仅当左极限和右极限在 x = a 处都存在且相等! 在这种情况下, 这三个极限 (双侧极限、左极限和右极限) 都是一样的. 用数学的语言描述, 我们说,
如果左极限和右极限不相等, 例如上述例子中的函数 h, 那么双侧极限不存在. 我们写作
不存在或使用缩写 “DNE” 表示 “不存在”. 1.3 何时不存在极限
图 3-4 类似地, 这里的左极限是 -∞, 因为当 x 向 0 上升时, f (x) 会变得越来越负. 这就是说
图 3-5 此函数在 x = 0 处的左极限和右极限都是 ∞, 因此你也可以说
现在, 可能会出现左极限或右极限不存在的情况吗？答案是肯定的! 例如, 让我们来看一个怪异的函数 g, 其定义为 g (x) = sin (1/x). 此函数的图像看起来会是什么样的呢？首先, 让我们来看一下 x 的正值. 由于 sin (x) 在 x = π, 2π, 3π, ··· 上的值全为 0, 因而 sin (1/x) 在 1/x = π, 2π, 3π, ··· 上的值全为 0. 我们取其倒数, 会发现 sin (1/x) 在
图 3-6 正如你看到的, 当接近于 0 的时候, 它们都挤在了一起. 由于在每一个 x 轴截距之间, sin (x) 向上走到 1 或向下走到 -1, 因此, sin (1/x) 也一样. 把目前已知的画出来, 可得到图 3-7.
图 3-7 那么 1正式的证明请参见附录 A 的 A.3.4 节. 1.4 在 ∞ 和 -∞ 处的极限还有一类需要研究的极限. 我们已经研究了在接近一点 x = a 时的函数行为. 然而在有些情况下, 重要的是要理解当 x 变得非常大时, 一个函数的行为如何. 换句话说, 我们感兴趣的是, 研究当变量 x 趋于 ∞ 时函数的行为. 我们想写出
并以此表示, 当 x 很大的时候, f (x) 变得非常接近于值 L, 并保持这种接近的状态. (更多详情请参见附录 A 的 A.3.3 节. ) 重要的是要意识到, 写出 “
它表示当 x 变得越来越负 (或者更确切地说, -x 变得越来越大) 时, f (x) 会变得非常接近于值 L, 并保持接近的状态. 当然, 这对应于函数 y = f (x) 的图像有一条左侧水平渐近线. 如果愿意, 你也可以把这些转化为定义：
当然, 像 y = x2 这样的函数没有任何水平渐近线, 因为当 x 变得越来越大时, y 值只会无限上升. 用符号表示, 我们可以写作
2如果你不信, 请参见附录 A 的 A.4.1 节!
因此, sin (1/x) 在 y = 0 处有一条水平渐近线. 这就能够扩展我们之前画的 y = sin (1/x) 的图像, 至少是向右边做扩展. 我们仍旧担心当 x < 0="" 时会发生什么.="" 事情不是太糟糕,="" 因为 f 是一个奇函数.="">
注意到我们使用了 sin (x) 是 x 的奇函数的事实来由 sin (-1/x) 得到 -sin (1/x). 这样一来, 由于奇函数有一个很好的性质, 就是其图像关于原点对称 (参见 1.4 节), 可以完整地画出 y = sin (1/x) 的图像, 如图 3-8 所示.
图 3-8 同样, 很难画出当 x 在 0 附近时的情况. x 越接近 0, 此函数就会振荡得越激烈. 当然, 该函数在 x = 0 处无意义. 在上图中, 我选择避免在中间画得密密麻麻, 而是把那里的激烈振荡留给你想象. 大的数和小的数 希望我们都认同 1 000 000 000 000 是一个大的数. 那么 -1 000 000 000 000 呢？或许这会引起争议, 但我要让你把它看作是一个大的负数, 而不是一个小的数. 举个小的数的例子, 0.000 000 001, 同时 -0.000 000 001 也是一个小的数 (更确切地说, 是一个小的负数). 有趣的是, 我们不打算把 0 看作是个小的数：它就是零. 因此, 下面就是我们对于大的数和小的数的非正式定义：
正如之前看到的, 它表示当 x 是一个足够大的数时, f (x) 的值就会几乎等于 L. 可问题是, 多大才是 “足够大” 呢？这取决于你想让 f (x) 距离 L 有多近! 不过, 从实际应用的角度出发, 如果 y = f (x) 的图像看上去开始变得靠近在 y = L 的水平渐近线, 那么这个数 x 足够大. 当然, 一切都依赖于函数 f 的定义, 例如图 3-9 中的两种情况.
图 3-9 在这两种情况下, f (10) 都不在 L 的附近. 在左图中, 当 x 至少是 100 时, f (x) 看上去非常接近于 L, 因此, 任何比 100 大的数都是大数. 在右图中, f (100) 远离 L, 因此, 现在的 100 就不是足够大了. 在这种情形下, 你可能需要走到 200. 那么你能够只选取一个像 1 000 000 000 000 这样的数, 然后说它已经很大了吗？不可以, 因为一个函数有可能一直起伏不定, 直到比如 5 000 000 000 000 才变得趋于它的水平渐近线. 这里的要点是, “大的” 一词必须考虑到相关的某个函数或极限才有意义. 幸好, 没有最大, 只有更大, 往上还大有余地 —— 甚至一个像 1 000 000 000 000 这样的数, 相对于 10100 (古戈尔) 来说还是相当小, 而 10100 与 101 000 000 比起来又是那么微不足道 …… 顺便说一下, 我们会经常使用术语 “在 ∞ 附近” 来代替 “大的正的数”. (在字面意义上说, 一个数不可能真的在 ∞ 附近, 因为 ∞ 无穷远. 不过在 x → ∞ 时的极限的语境中, “在 ∞ 附近” 的说法还是说得通的.) 当然, 所有这些也都适用于 x → -∞ 时的极限, 你只需在上述所有大的正的数之前添加一个负号. 在这种情况下, 我们有时会说 “在 -∞ 附近” 来强调我们所指的是大的负的数. 另一方面, 我们会经常看到极限
或 在上述三种情况下, 我们知道, 当 x 足够接近于 0 时, f (x) 的值几乎是 L. (对于右极限, x 还必须为正; 而对于左极限, x 还必须为负. ) 那么 x 必须离 0 多近呢？这取决于函数 f . 因此, 当说一个数是 “小的”(或者 “接近于 0”) 时, 必须结合某个函数或极限的语境来考虑, 就像在 “大的” 情形中一样. 尽管这一番讨论让之前的非正式定义确实变得更严谨了一些, 但它仍不算完美. 如果你想了解更多, 真的应该查看一下附录 A 的 A.1 节和 A.3.3 节. 1.5 关于渐近线的两个常见误解现在是时候来纠正一些关于水平渐近线的常见误解了. 首先, 一个函数不一定要在左右两边有相同的水平渐近线. 在 3.3 节 f (x) = 1/x 的图像中, 左右两侧都有 y = 0 这条水平渐近线. 也就是说,
然而, 考虑图 3-10 中 y = tan-1 (x) (或反三角函数 y = arctan (x), 你可以使用这两种写法中的任意一种) 的图像.
图 3-10 此函数在 y = π/2 处有一条右侧水平渐近线, 在 y = -π/2 处有一条左侧水平渐近线, 它们是不同的. 也可以用极限来表示：
因此, 一个函数的确可以有不同的右侧和左侧水平渐近线, 但最多只能有两条水平渐近线 (一条在右侧, 另一条在左侧). 它也有可能一条都没有, 或者只有一条. 例如, y = 2x 有一条左侧水平渐近线, 但没有右侧水平渐近线 (参见 1.6 节的图像). 这和垂直渐近线相反：一个函数可以有很多条垂直渐近线 (例如, y = tan (x) 有无穷多条垂直渐近线). 另外一个常见误解是, 一个函数不可能和它的渐近线相交. 或许你曾学到, 渐近线是一条函数越来越接近但永远不会相交的直线. 这并不正确, 至少当你讨论的是水平渐近线时. 例如, 考虑定义为 f (x) = sin (x) /x 的函数 f , 这里我们只关心当 x 是很大的正数时的函数行为. sin (x) 的值在 -1 和 1 之间振荡, 因此, sin (x) /x 的值在曲线 y = -1/x 和 y = 1/x 之间振荡. 此外, sin (x) /x 和 sin (x) 有相同的零点, 即 π, 2π, 3π, ··· . 综合所有的信息, 其图像如图 3-11 所示.
图 3-11 图像中用虚线表示的曲线 y = 1/x 和 y = -1/x 形成了正弦波的包络. 毫无疑问, 正如你从图像中看到的,
必定成立. 这意味着, x 轴是 f 的水平渐近线, 尽管 y = f (x) 的图像与 x 轴一次又一次地相交. 为了证明上述极限, 我们需要应用所谓的三明治定理. 这个证明就在下一节的结尾部分. 1.6 三明治定理
以下是对该定理的一个更精确的描述. 假设对于所有的在 a 附近的 x, 我们都有 g (x) ≤ f (x) ≤ h (x), 即 f (x) 被夹在 g (x) 和 h (x) 之间. 此外, 我们假设
图 3-12 在图像中用实线表示的函数 f 被夹在其他两个函数 g 和 h 之间; 当 x → a 时, f (x) 的极限被迫趋于 L. (三明治定理的证明参见附录 A 的 A.2.4 节. )
是什么呢？y = x sin (1/x) 的图像和 y = sin (1/x) 的图像很相似, 只是现在, 前面有一个 x 致使函数陷于包络 y = x 和 y = -x 之间. 图 3-13 是 x 在 0 和 0.3 之间时的函数图像.
图 3-13 从图中可以看到, 当 x 趋于 0 时, 函数仍旧有激烈的振荡, 但现在它们被包络线抑制着. 特别是, 这里求我们想要的极限正是三明治定理的一个完美应用. 函数 g 是下方的包络线 y = -x, 而函数 h 是上方的包络线 y = x. 我们需要证明对于 x > 0, 有 g (x) ≤ f (x) ≤ h (x). 由于只需要 f (x) 在 x = 0 处的右极限, 所以我们不关心 x < 0="" 时的情况.="" (事实上,="" 如果扩展到 x 轴负半轴,="" 你可以看到,="">< 0, g (x)="" 实际大于 h (x),="" 所以三明治要翻个身!)="" 那么当 x =""> 0 时, 要怎样证明 g (x) ≤ f (x) ≤ h(x) 呢? 我们将会用到任意数 (在我们的例子中是 1/x) 的正弦都处于 -1 和 1 之间这一事实：
现在用 x 乘以这个不等式, 由于 x > 0, 得到
而这正是我们需要的 g (x) ≤ f (x) ≤ h (x). 最后, 注意到
及 因此, 由于当 x → 0+ 时, 夹逼的函数 g (x) 和 h (x) 的值收敛于同一个数 0, 所有 f (x) 也一样. 也就是说, 证明了
要记住, 如果前面没有因子x, 上式显然不成立; 正如我们在3.3 节看到的, 当 x → 0+ 时, sin (1/x) 的极限不存在.
为了证明此式, 需要用到三明治定理一个稍有不同的形式, 涉及在 ∞ 处的极限. 在这种情况下, 如果对于所有的很大的 x, 都有 g (x) ≤ f (x) ≤ h (x) 成立; 又如果已知
现在, 令 x → ∞, 由于 -1/x 和 1/x 的极限都是 0, sin (x) /x 的极限也必为 0. 也就是说, 由于
和 也必有
综上, 三明治定理说的是：
这也适用于左极限或右极限; 在那种情况下, 不等式只需要在 a 的相应一侧对于 x 成立即可. 当 a 是 ∞ 或 -∞ 时它也适用; 在那种情况下, 要求对于所有的非常大的 (分别是正的或负的)x, 不等式成立. 1.7 极限的基本类型小结
(1) 在 x = a 时的右极限, 见图 3-14. 这时在 x = a 的左侧以及 x = a 处 f (x) 的行为是无关紧要的. (也就是说, 当讨论右极限时, 对于 x ≤ a, f (x) 取何值都不要紧. 事实上, 对于 x ≤ a, f (x) 甚至不需要被定义. )
图 3-14 (2) 在 x = a 时的左极限, 见图 3-15. 这时在 x = a 的右侧以及 x = a 处 f (x) 的行为是无关紧要的.
图 3-15 (3) 在 x = a 时的双侧极限, 见图 3-16. 在左图中, 左极限和右极限存在但不相等, 因此, 双侧极限不存在. 在右图中, 左极限和右极限存在并相等, 因此, 双侧极限存在并等于左右极限值. f (a) 的值是无关紧要的.
图 3-16 (4) 在 x → ∞ 时的极限, 见图 3-17.
图 3-17 (5) 在 x → -∞ 时的极限, 见图 3-18.
图 3-18 |
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这个写法更难用来计算, 但其意义很清晰：当 x 沿着数轴从左侧或者从右侧趋近于 2 时, f (x) 的值会非常非常接近于 1(并保持接近的状态!).
是什么呢？这里的关键是, g(2) 的值和该极限是不相关的! 只有那些在 x 接近于 2 时的 g(x) 的值, 而不是在 2 处的值, 才是问题的关键. 如果忽略 x = 2, 函数 g 和之前的函数 f 就是完全相同的. 因此, 尽管 g(2) = 3, 我们还是有 
