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上 期微专题探讨了勾股定理与折叠问题的不解之缘，本期我们将一起来探究特殊平行四边形中的折叠问题。 透过现象看本质 如图，在矩形ABCD中，把ΔADE沿AE折叠，点D与点F重合，且点F落在BC 边上.   我们不难发现，折叠问题的本质其实就是轴对称，折叠的性质就是轴对称的性质。 性质1. 图形的全等性 ：重合部分是全等图形，对应边、对应角相等. （由折叠性质1可得： ΔADE≌ΔAEF） 性质2. 点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分. （由折叠性质2可得： AE是DF的垂直平分线） 特殊平行四边形中的折叠问题，既要用到折叠的性质，又要用到特殊平行四边形本身的性质，有时还需要借助勾股定理和图形的相似等知识建立有关线段、角之间的联系。接下来，我们通过3个例题来探究特殊平行四边形中的折叠问题。 类型一、折叠性质1的应用 例1．如图，菱形纸片ABCD中，AM⊥CD于点M，将△ADM沿直线AM折叠后，点D落在点E处，AE交BC于点N，且AE⊥BC． （1）求证：△AME≌△ANB； （2）求∠CBE的度数．  分析：本题的已知条件有 1. △ADM沿直线AM折叠为△AME 2. 菱形ABCD 3. AM⊥CD, AE⊥BC 那么我们便利用折叠性质和菱形的性质及垂直的特殊条件来寻找线段和角之间的关系。 解： （1）∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD，∠ABC=∠D ∵AM⊥CD，AN⊥BC ∴∠AMD=∠ANB ∴△ADM≌△ABN 由折叠得△ADM≌△AEM ∴△AME≌△ANB （2）由（1）得∠EAB=∠EAM，AE=AB ∵CD//AB，AM⊥CD ∴∠MAB=∠AMD = 90° ∴∠EAB=∠EAM = 45° ∴∠ABE=∠AEB = 67.5° ∵AN⊥BN ∴∠ABN =90°–∠EAB = 45° ∴∠CBE=∠ABE–∠ABN = 67.5°–45° = 22.5° 类型二、折叠性质2的应用 例2．如图，已知矩形ABCD中，E是AB边的中点，连接CE，将△BCE沿直线CE折叠后，点B落在点B?处，连接AB?并延长交CD于点F． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AB = 6，BC=4，求tan∠CB?F的值．  情景再现： 本题第（2）问并不困难，难点在 第（1）问。这是一个区统考题目，当时笔者批改了近600份试卷，一半同学证不出来，就自认为F也是DC中点，自己硬加了这样一个原题中并没有的条件，当然是错误的，这种错误我们可以俗称“见光死”。能够证明出来结论的同学中基本上是用外角定理，转化出相等的角，从而证明AF//CE，过程如下： （1）证明：由已知得 CE=B?E，∠BEC=∠B?EC ∵E是AB的中点 ∴AE=BE=AB=3 ∴AE=B?E ∴∠EAB?=∠EB?A ∵∠BEB?=∠EAB? ∠EB?A，∠BEB?=∠BEC ∠B?EC ∴∠BEC=∠EAB? ∴AF//CE ∵四边形ABCD是矩形 ∴CF//AE ∴四边形AECF是平行四边形 惊喜： 在批改的过程中，我们惊喜的发现有6位同学是用折叠的性质2巧妙证出AF//CE，请看具体过程： 连接BB?，  ∵△BCE沿直线CE折叠后，点B落在点B?处， ∴由折叠的性质2可知，CE是BB?的中垂线， 又∵E是AB的中点 ∴EM//AB?，即AF//CE ∵四边形ABCD是矩形 ∴CF//AE ∴四边形AECF是平行四边形 小结： 由于学生对折叠的性质2不熟悉，当用性质1解决不了问题的时候，有近一半的同学选择自己给题目增加一个条件，用这种错误的方法来结束本题，“见光死”，多么痛的领悟！ 而利用性质2 ：对称点的连线被对称轴（折痕）垂直平分，可以瞬间得到M是BB?的中点，则EM是中位线，从而得到EM//AB?，即AF//CE，使问题得证。 可见，我们在学习图形性质的时候，必须对性质有深刻的理解，找到问题的本质，从而 利用性质巧妙解题。 第（2）问并不困难，大部分同学都能做出，解答过程如下： 解：由（1） 得∠CEB=∠EB?A， ∠CEB?=∠BEC ∴∠BEC=∠EB?A ∵∠CB?E=∠B=90o ∴∠EB?A ∠CB?F=90o， ∠CEB ∠BCE=90o ∴∠BCE=∠CB?F ∴tan∠CB?F=tan∠BCE=BE/BC=3/4. 类型三、折叠与相似的应用 例3．如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N．若AD=2，则MN= ．  情景再现： 这个题目也是一道测试题，很多同学都能根据折叠性质用勾股定理求出线段DH、EH的长，但接下来就陷入困境，不知如何去求MN的长。 是在RT△MNG中求解吗？这个三角形的三条边都是未知数，显然求不出。这时候我们要建立已知△EDH与未知△AEN或者未知△MNG的联系。但△MNG的三条边都是未知的，而△AEN的边AE是已知的，所以我们可以建立已知△EDH与未知△AEN之间的联系。 由正方形的折叠，不难发现，这是一线三等角的模型，可以用相似建立联系。  分析： 先由折叠的性质1，得到四边形GBCH与四边形GMEH全等。设DH=x, 则CH=EH=2-x，DE=1，在Rt△EDH中，由勾股定理得x=3/4，则EH=5/4. ∵正方形ABCD ∴∠A=∠D=∠MEH=90° 由“一线三直角”的模型可得： △AEN与△DHE相似， ∴ AE/DH=EN/EH 得EN=5/3 ∴MN=ME-EN=2-5/3=1/3. 思路点拨： 折叠问题的解决，大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化，是解决这类问题的突破口。有了“折”就有了“形”——轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”——线段之间、角与角之间的数量关系。“折”就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。 特殊平行四边形中的折叠问题，还要考虑特殊平行四边形本身的性质，有时也需要用到相似和勾股定理。 特别的，折叠的性质2：对称点的连线被对称轴垂直平分，属于线段与直线的位置关系，经常被人们遗忘。这个性质能帮助我们快速得到线段中点和线与线之间的垂直关系，使一些复杂的问题能够巧妙求解。  |
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