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小伙伴们，马上就要期末考试啦！相信在你们当中，有很多小朋友即将或者已经开始接触了数学中一个重要的门类：几何学。从简单地计算长方形、正方形、圆的面积，再到一些简单定理的证明，这些都可能出现在你期末考试的试题中。未来在初中或者高中，小朋友们还将会接触到更加复杂的平面几何。 在几何学，一个重要的任务就是运用公理、定理，对未知命题进行证明。那么，小编首先要问各位小朋友，你们知道公理、定理、命题它们在内在含义上的区别吗？不知道这个，你就算几何考了100分其实也没学懂。 公理，通常指经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的命题 定理，是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。一般来说，在数学中，只有重要的陈述才叫定理。这一点也是定理和命题的区别。在数学里，定理是指在既有命题的基础上证明出来的命题，这些既有命题可以是公理，或者是别的定理。 也许有的小朋友们会问，我们所学习的平面几何有哪些公理呢？通常来讲，小朋友们一般在课本上学习的指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学，也称欧几里得几何。在这个欧几里得平面几何的体系下，公理只有下面这5条： 其中，第五条公理称为平行公理。也许有的小朋友们对它还有些陌生，其实，它也可以用下面这个命题表述： 通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。
怎么样，这个表述是不是小朋友们还是挺熟悉的？上面这五条公理，就构建了我们所熟悉的平面几何大厦。换句话说，小朋友们在书本上遇到的所有平面几何的证明题，逻辑的原点都是来源于这五条公理。 这五条公理的巧妙之处在于，它们既不互相矛盾，又不能相互证明。在这个体系下，一切命题的证伪都能够运用这五条公理证实或者证伪。从欧几里得提出这五条公理，到最终数学家们承认结论的正确性，整整经历了将近2000年的时间。这五条公理就像五个定海神针，静静地矗立在几何学的大厦中，让世人感受着数学的无穷魅力······
当然，除了小朋友们熟悉的欧几里得几何学之外，其实还存在着很多非欧几何体系，它们主要是对欧几里得几何学中的第五条公理进行了修改，比如黎曼几何、高斯几何、罗巴切夫斯基几何等等——它们也都是数学这个浩瀚宇宙中璀璨的明星。我们所知道的爱因斯坦的相对论，就在一定程度上借鉴了黎曼几何在n维空间中的结论。 回到我们最初的起点，公理到底是什么？其实，它只不过是我们人为设定的一些游戏规则——就好像我们下棋规定马走日、相走田一样。你当然可以规定其他的走子方法，只不过，你的这套走子方法是不是在逻辑上更加完美，就得在历史长河中留待后人的检验了。 石桌面上刻着纵横相错的网格，旁边摆放着黑白两种颜色的棋子。你认为这一定是为下围棋准备的么？未必，可以下围棋，还可以下五子棋。 围棋和五子棋最大的区别并不在于棋具，而是走棋的规则。同样的棋具，人们可以根据自己的兴趣爱好选择规则，进入完全不同的棋类世界。 人人都可以发明创造新的棋类游戏，规则的制定，当然可以由你说了算。但你发明的新游戏，是否吸引人,有人愿意玩，这可得由社会实践来检验了。 ------摘自 张景中 彭翕成 《数学哲学》 换个角度来看，当某些东西，经过了历史的冲刷，我们依然能够感受到它的无穷魅力，你不觉得，我们真的应该用心去感受它们吗？ |
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