桥梁数理10：桥梁工程中的应用基础数学之有轴力的梁（4）

前文我们讨论过：纯弯梁，压弯梁与拉弯梁的控制微分方程，其形式分别为：

这几个常系数微分方程的齐次形式对应的特征方程分别为：

                (2-42a)

            (2-42b)

            (2-42c)

显然，式(2-42a)有4个相等的实根0，式（2-42b)有2个相等的实根0与2个共轭的虚根，式(2-42c)有2个相等的实根0与2个不等的实根。根据特征根类型的差异，前文得到了不同形式的微分方程的通解。

讲到这里，我们不禁问这么一个问题：对于一个弹性均质的梁体，受到轴向压力，拉力作用或者与没有轴向力作用，弯曲微分方程的解为什么会有这么大的差异，连形式上都不相同。这让我们的物理直觉很不舒服。如果我们做一个实验：“对一个弹性梁体加载，保持恒定的弯矩，然后将轴向力由一定的压力逐渐降低到0，然后变为拉力”。在这个物理过程中，梁的变形应该是连续变化的。

因此，前文花了不少篇幅，证明无论是轴向压力还是拉力作用，当拉力或压力为0时，其解均可以退化回纯弯梁的情况。那么，是否可以找到一种解答形式，把3种情况统一起来呢？这就要从常系数线性微分方程的解的结构谈起。

2.3 常系数线性微分方程解的形式讨论

在1.4.1中介绍了常系数线性微分方程的求解方法，即作对应的n次代数方程（称为特征方程）

根据特征方程的解的情况，可以得到对应的线性无关特解：

（1）、是互异的实根，则

（2）、是特征方程的重实根，则

（3）、当是特征方程的单根，其共轭复数也是特征方程的单根，则,

（4）、当是特征方程的重复根，其共轭复数也是特征方程的重复根，则

,

然后将这n个线性无关的特解线性组合，得到微分方程的通解。

这里就有几个问题值得讨论：

（1）、为什么可以用特征方程的解来求常系数线性微分方程的特解？

（2）、为什么个线性无关的特解的线性组合，就是微分方程的通解？

（3）、如何判定这个特解是线性无关的？

2.3.1 欧拉（Euler）待定指数函数法

如果我们看常系数线性微分方程的最简单情况（一阶常系数方程）：

              (2-43)

式(2-43)为一个可以分离变量的微分方程，其可以改写为：

              (2-44)

对式(2-44)两边积分，可以得到：

             (2-45)

即：

              (2-46)

式(2-43)的解是自然对数为底的指数函数形式，而这种指数函数具有一个很有趣的性质：对其取任意阶导数后形式均不变，即：

            (2-47)

由式(2-46)与(2-47)启发，我们将代入微分方程看看结果：

 (2-48)

利用式(2-47)的性质，可以得到：

    (2-49)

根据指数函数的性质，，因此方程(2-49)成立的充要条件为：

   (2-50)

即得到了所谓的特征方程，其根为特征根。

对于一个阶代数方程，其有个根。根据特征根的性质分情况讨论：

（1）、特征根是单根的情况

如果特征根是互异的实根，很显然微分方程有解：

;

如果特征根存在有复根，由于方程的系数均为实常数，因此复根应该会共轭出现。即：若有复根，则必有另一特征根。根据欧拉公式，两个复数解可以写为：

 (2-51)

 (2-52)

容易证明，复数解的实部与虚部也是方程的解，即：与。

（2）、特征根有重根的情况

假设存在有重特征根，，分别为，则特征方程可以化为：

        (2-53)

显然,。

当时

特征方程为：

            (2-54)

于是有：

    (2-55)

也就是对应的微分方程为：

      (2-56)

显然式(2-56)存在有线性无关的解:。

当时：

若作换元变换，假设,则有：

   (2-57)

将式(2-57)代入微分方程，可以整理得到:

      (2-58)

即微分方程(2-48)转化为：

   (2-59)

同时满足：

其对应的特征方程为：

 (2-60)

由前面的推导，可以知道：

 (2-61)

即，。

因此，通过换元变换，可以将特征根的情况，转化为特征根的情况，即已经解决的情况。因此，对于重根的情况，个特解可以写为：

对于特征方程有多重复根的情况，也可以采用类似的策略的到该通解。

系列精彩内容请点击:

桥梁数理-9：桥梁工程中的应用基础数学之有轴力的梁（3）

桥梁数理-8：桥梁工程中的应用基础数学之有轴力的梁（2）

桥梁数理-7：桥梁工程中的应用基础数学之有轴力的梁（1）

桥梁数理-6：桥梁工程中的应用基础数学之梁的弯曲问题（6）

桥梁数理-5：桥梁工程中的应用基础数学之梁的弯曲问题（5）

桥梁数理-4：桥梁工程中的应用基础数学之梁的弯曲问题（4）

桥梁数理-3：桥梁工程中的应用基础数学之梁的弯曲问题（3）

桥梁数理-2：桥梁工程中的应用基础数学之梁的弯曲问题（2）

桥梁数理-1：桥梁工程中的应用基础数学之梁的弯曲问题（1）

作者简介：徐腾飞，博士，副教授，硕士生导师。美国混凝土协会（ACI）  美国土木工程学会（ASCE）会员。长期致力于环境影响下混凝土结构的正常使用性能研究。