例谈整数裂项

例谈整数裂项

(2010-11-02 10:16:27)

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标签： 教育

分类： 数学日记

后延减前伸   差数除以N

——例谈整数裂项

河南省太康县城关镇建南小学（461400） 师亚军

对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。

下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。

例1、  计算1?2 2?3 3?4 4?5 …… 98?99 99?100

分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。

1?2=（1?2?3-0?1?2）?（1?3）

2?3=（2?3?4-1?2?3）?（1?3）

3?4=（3?4?5-2?3?4）?（1?3）

4?5=（4?5?6-3?4?5）?（1?3）

……

98?99=（98?99?100-97?98?99）?（1?3）

99?100=（99?100?101-98?99?100）?（1?3）

将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为（99?100?101-0?1?2）?3。

解：1?2 2?3 3?4 4?5 …… 98?99 99?100

   =（99?100?101-0?1?2）?3

   =333300

例2、  计算3?5 5?7 7?9 …… 97?99 99?101

分析：这个算式实际上也可以看作是：等差数列3、5、7、9……97、99、101，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为2，因数个数为2。

3?5=（3?5?7-1?3?5）?（2?3）

5?7=（5?7?9-3?5?7）?（2?3）

7?9=（7?9?11-5?7?9）?（2?3）

……

97?99=（97?99?101-95?97?99）?（2?3）

99?101=（99?101?103-97?99?101）?（2?3）

将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多项可以相互抵消。

解：3?5 5?7 7?9 …… 97?99 99?101

   =（99?101?103-1?3?5）?（2?3）

   =1029882?6

   =171647  

例3、  计算1?2?3 2?3?4 3?4?5 …… 96?97?98 97?98?99

分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻三项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为3。

    1?2?3=（1?2?3?4-0?1?2?3）?（1?4）

    2?3?4=（2?3?4?5-1?2?3?4）?（1?4）

    3?4?5=（3?4?5?6-2?3?4?5）?（1?4）

    ……

    96?97?98=（96?97?98?99-95?96?97?98）?（1?4）

    97?98?99=（97?98?99?100-96?97?98?99）?（1?4）

右边累加，括号内相互抵消，整个结果为（97?98?99?100-0?1?2?3）?（1?4）。

解：1?2?3 2?3?4 3?4?5 … 96?97?98? 97?98?99

   =（97?98?99?100-0?1?2?3）?（1?4）

   =23527350

例4、  计算10?16?22 16?22?28 …… 70?76?82 76?82?88

分析：算式的特点为：数列公差为6，因数个数为3。

解：10?16?22 16?22?28 …… 70?76?82 76?82?88

  =（76?82?88?94-4?10?16?22）?（6?4）

  =2147376

通过以上例题，可以看出这类算式的特点是：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。

将以上叙述可以概括一个口诀是：等差数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸，差数除以N。N取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。

需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。

此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。

例5、   计算1?1 2?2 3?3 …… 99?99 100?100

分析：n?n=(n-1)?n n

解：1?1 2?2 3?3 …… 99?99 100?100

  =1 （1?2 2） （2?3 3） …… （98?99 99） （99?100 100）

  =（1?2 2?3 …… 98?99 99?100） （1 2 3 …… 99 100）

  =99?100?101?3 （1 100）?100?2

  =333300 5050

  =338350

例6、   计算1?2 3?4 5?6 …… 97?98 99?100

分析：(n-1)?n=(n-2)?n n

解：1?2 3?4 5?6 7?8 …… 97?98 99?100

  =2 （2?4 4） （4?6 6） （6?8 8） …… （96?98 98） （98?100 100）

  =（2?4 4?6 6?8 …… 96?98 98?100） （2 4 6 8 …… 98 100）

  =98?100?102?6 （2 100）?50?2

  =169150

例7、    计算1?1?1 2?2?2 3?3?3 …… 99?99?99 100?100?100

分析：n?n?n=(n-1)?n?(n 1) n

解：1?1?1 2?2?2 3?3?3 …… 99?99?99 100?100?100

   =1 （1?2?3 2） （2?3?4 3） …… （98?99?100 99） （99?100?101 100）

   =（1?2?3 2?3?4 …… 98?99?100 99?100?101） （1 2 3 …… 99 100）

   =99?100?101?102?4 （1 100）?100?2

  =25492400

例8、   计算1?3 2?4 3?5 4?6 …… 98?100 99?101

解：1?3 2?4 3?5 4?6 …… 98?100 99?101

  =（1?3 3?5 …… 99?101） （2?4 4?6 …… 98?100）

  =（99?101?103-1?3?5）?6 1?3 98?100?102?6

=171650 166600

=338250

例9、   计算1 （1 2） （1 2 3） …… （1 2 3 4 …… 100）

解：1 （1 2） （1 2 3） …… （1 2 3 4 …… 100）

  =1?2?2 2?3?2 3?4?2 …… 100?101?2

  =（1?2 2?3 3?4 …… 100?101）?2

  =（100?101?102?3）?2

  =171700

将上面的口诀继续编写是：前延比零小，取负就是了。小学不可为，首项先甩掉。平方和立方，变形再裂项。式长要转化，类比解决它。口诀需熟记，灵活靠练习。

练习题：

1、          计算1?4 4?7 7?10 …… 94?97 97?100

2、          计算2?4?6 4?6?8 …… 94?96?98 96?98?100

3、          计算5?5?5 6?6?6 7?7?7 …… 65?65?65

4、          计算3 （3 6） （3 6 9） …… （3 6 9 12 …… 300）