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摘要 本文主要介绍了等差数列与等比数列的一些性质并给出证明. (1)若等差数列的前项和为,则公差为.进一步,若,则从第项起为等差数列. 证明 当时,有,当时,有 于是是以为首项,以为公差的等差数列.以下均假设是等差数列,且为前项和. (2)若正整数满足,则. 证明 注意到 (3)若,则. 证明 注意到 即,即,而,故,于是(4)若,则. 证明 注意到 故而,于是于是(5)若,则. 证明 注意到 于是而,故于是(6) . 证明 注意到 (7) 成等差数列,公差为. 证明 对任意的正整数,有 进而.(8)若等比数列的前项和为,则公比为. 以下均假设是等比数列,且为前项和. (9)若正整数满足,则. 证明 注意到 (10)若是由正整数构成的等差数列,则也构成等比数列. 证明 不妨设,则 (11) 成等比数列,公比为. 证明 对任意的正整数,当时,有 进而.当时,该数列每一项均为,也为等比数列.(12)若是等差数列,则数列成等比数列(每一项均有意义).若是等比数列,则数列成等差数列. 证明 注意到 |
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