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在国家法定计量单位所采用的国际单位制(SI)中，除了7个基本单位外，还有两个辅助单位，一个是平面角(一般简称角度)，一般记为希腊小写字母α等，单位为弧度，记为rad，另一个是立体角，记为大写希腊字母Ω，单位为球面度，记为sr。 立体角涉及光度学、电磁辐射、球面天文学等许多领域的基本概念，如(热、光或其它电磁波、声音或其它机械波的)辐射通量、星座所占天球区域的“面积”(实际为立体角)大小等等，因此立体角概念本身的重要意义和实用价值不言而喻，可谓理解客观世界的空间形式和许多科学原理的一把钥匙。 通常的初等数学教育对平面角讲得很详尽，但对立体角的介绍则远不充足。对三维空间、立体几何有兴趣者，不妨读读本文，希望您有所获益。您斧正拙文之谬误、拓展和深化拙文所涵盖的内容，尤为笔者所企冀。 平面上，多边形内角和可表为(n-2)π，那么相应地，多面体内立体角之和如何？答曰：它在一定区间内变化，关于这一点，以后再展开叙述。 1、立体角定义与量度 1.1立体角的概念 当我们看到远处的两个物体，欲表达其相对方位时，用从这两个物体到眼睛的视线之间的夹角这个概念。例如，可以选择月亮的上边缘顶点与下边缘顶点，由人眼到这两个点的视线之间的夹角较为稳定，可以称为月亮的“视直径”。 而当形容“挂在树梢上的月亮像月饼这么大”时，人们就一面犯了错误，一面已经在冥冥之中与立体角概念的幽灵相接近。月亮、月饼当然不一样大，而且大小相差悬殊，但是当月饼与人眼之间为一定距离时，看起来它的确跟月亮“差不多一般大”。月饼比月亮小得多，但当把月饼放在眼前时，它却能完全挡住月亮，这样就清楚了，随着距离变远，形象就变小。这不仅是“视直径”的变化，其实也是另一个量，“立体角”的变化。 假设制作一个代表立体直角坐标系的三维“十字架”，使之穿过两个半径相差一倍的同心球面，球心在坐标系原点，自球心发出无数条射线，这些射线在球面上的投影点形成一条连续的闭合的曲线，那么这样的一条曲线在小球面上所限定的面积为在大球面上所限定面积的1/4。进一步假设，若人眼在球心处，向曲线所包的一部分球面看，无疑大小球面上的这两块面积将完全重合。这就是说，尽管这两块面积不等，但他们所对应的空间区域的大小却完全相同，都以上述那无数条射线为界。我们就说，这两块面积所对应的立体角一样大。即使你使其中一个球面绕球心转动，也不会改变这一点。 现在可以给立体角下一个定义了：锥面(射平面或射曲面)所围成的空间区域称为立体角。在以锥的顶点为心，半径为1单位的球面上，锥面所截得的面积大小就准确地度量了立体角的大小。以球心为顶点的锥面在球的表面切割出的、面积等于球半径平方的区域，所张的立体角的大小，被定义为立体角的基本度量单位，是立体角的国际单位，是三维的弧度，称为平方弧度，或平方弪，亦称球面度，符号记作sr，英文steridian，是希腊语立体(stereos)和弧度(radian)的合成词。 再从另一个起点出发来考察“立体角”。正如平面上一个直角坐标系把平面分为4个象限一样，立体解析几何上，把由一个笛卡尔三维直角坐标系所确定的欧式空间剖分为8个卦限，一个卦限是这样一个立体角：其大小占整个空间的1/8，其边界在球面上的投影是一个三边相互垂直的球面三角形。完全相同的推广是：一个象限占去1/4个平面，一个卦限占去1/8个(欧氏)空间；象限可分为100或90等分，每等分称为一度，而8个卦限共可分为4π个等分，每等分称为一“平方弪”(球面度)；等等。球表面积为4πr2，因此整个球面有4π个球面度。 在平面上定义一段弧微分ds与其矢量半径r的比值为其对应的圆心角，记作 θ=ds/r； 所以整个圆周对应的圆心角就是2π；和平面角的定义类似，定义立体角为曲面上面积微元ds与其矢量半径的二次方的比值为此面微元对应的立体角，记作Ω=ds/r2；由此可得，闭合曲面的立体角都是4π。 |
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