【原】​电场线与立体角

引入电场线这个概念形象地描写抽象的电场。引入电场线这个概念后，电通量就有了一个有明确的物理意义的定义：电通量就是电场线的数目。

我们用喷水器的水流量做比拟，以点电荷为例子，引入了电场的电通量这个概念。按照这种方式引入的电通量，虽然图象是清晰的，但是缺乏明确的物理意义。接下来我们将从另一条途径出发，定义一个有明确的物理意义的电通量，并在这个基础上导出关于电通量的一条重要的自然规律。

之前曾经提到过电场线的概念，让我们先对这个概念做一个简单的回顾。

电场是一个抽象的概念，为了形象地描写它，可以引入电场线这个概念。电场强度是空间位置的矢量函数，它在空间的每一个点处都有一个数值和一个方向。这种形式的函数可以用场线图来形象地表示，有一篇文章专门讨论矢量函数的图形表示方法，可以参考。

所谓电场线是这样一些虚构的线：在有电场的空间中，在每一个空间点处，电场的方向沿着过该点处的电场线的切向，电场线在该点附近的疏密程度反映了该点附近电场强度的大小。电场线有以下三个基本性质：起源于正电荷 (如果空间中没有正电荷，则起源于无穷远)，终止于负电荷 (如果空间中没有负电荷，则终止于无穷远)；两条电场线互不相交；电场线不会形成闭合线。

由于电场线的疏密程度反映了电场强度的大小，因此，通过电场中某个与电场正交的面元的电场线的数目就与面元上的电场强度和面元的面积成正比：。如果所考虑的面元的方向与电场强度的方向不一致，则需要将这个面元投影到与电场正交的位形再实施计算：

由于电场线是虚构的，在应用中其实际数目是多少并不重要，重要的是不同空间区域电场线数目的相对比值。因此，将上式中的比例因子定为 1 并不会失去普遍性。我们将这样确定下来的电场线的数目称为电通量，它是一个有实际意义的物理量：

按照上述方式定义的电通量是一个可相加的物理量，通过有限面积的表面的电通量必定等于通过表面各部分的电通量之和：

为了用电通量的概念从数学上严格地导出一条重要的自然规律，还需要一个预备知识：立体角的概念。

在空间中选择一个参考点，以该点为球心，作一个半径 为任意的球面，在球面上取一块任意形状和任意面积的面，以参考点为顶点作一个锥面，将这块球面包裹起来。由于球面的总面积为 ，因此，这块球面的面积也一定与 成正比： 其中 被称为这块球面对球心所张的立体角，也是所画出来的锥面的立体角。立体角用球面度 (sr) 做计量单位。按照立体角的这个定义，整个球面对球心所张的立体角为 。

对一个确定的参考点，如果一个面并不处于以该点为球心的某个球面上，并且具有任意形状和任意大小，则不能直接套用上述立体角的公式实施计算。但是，可以将所考虑的面分割成无数个无穷小的面元，每一个面元的方向都有可能不一样。考虑其中一个面元：。如果由所选择的参考点到该面元的距离为 ，相应的单位矢量为 ，则该面元对参考点所张的立体角元被定义为：

整个面对参考点所张的立体角是这些面元对参考点所张的立体角元的总和

至于立体角元的具体表达式如何，则与所选择的坐标系有关。

与平面度的情况相似，对于某个有确定的 (对任何一个面而言，在面上的每一点处都有两个法向) 的面元， 是可正可负的，因此，球面度也有可能是负值。