几何学新基础（书稿1）
潘永城 潘昊楠 著 写 在 前 面
这是一本讲解几何学基础的书．这本书和历史上那些关于几何学基础的书籍和文献完全不同．历史上所有关于几何学基础的书籍和文献，都是从平面上的图形开始讨论，建立完整的几何体系，最后再过渡到空间图形上去，讨论空间和空间图形的性质．本书从定义了的“点”开始讨论，首先定义空间中的单线和闭线（单线和闭线并不是规则的图形）．接下来我们定义了距离相等（不是距离，仅仅是距离相等）．随后关键的一步就是我们定义了球和圆，进而定义了直线和平面，并依据定义了的直线和平面证明了希尔伯特(Hilbert)给出的5组20个公理中的绝大多数的命题．这些已经证明了的命题就包括欧几里得(Euclid)的第五公设．就是我们已经成功地证明了“平面上，过直线外一点可以引一条直线和已知直线平行，并且仅可以引一条”．也就是我们已经成功地将欧式几何的平行公理转变成了一个定理，证明了在现在并存的三种几何中，仅有欧几里得(Euclid)几何这一种几何学是正确的，是能够正确描述空间性质的．而罗巴切夫斯基(Lobatchevsky)几何和黎曼(Riemann)几何都是和空间没有什么关系的逻辑自洽系统．为了和旧有的几何学相区别，称我们讨论的几何学为建立在新基础之上的几何学． 由于本书是一本开创性的著作，因此在公理设置，概念定义，定理证明，结构组织，语法修辞等方面都一定存在着诸多疏漏．诚心地希望各位读者，能将你们的意见及时地反馈给我们。在这里我们诚心地向你们表示感谢． 本书的第一作者：潘永城 是已经退休的化工高级工程师． 联系邮箱： panyongcheng@163.com． 本书第二作者：潘昊楠 是吉林大学物理学院三年级学生．
作 者 2018.4.2
目 录
第一章 相关基础……………………………………… 1 §1 概念无歧义原则…………………………………… 1 §2 关于公理…………………………………………… 14 第二章 几何学新基础………………………………… 21 §1 新基础几何学……………………………………… 21 §2 基础概念…………………………………………… 30 §3 假设、工具和公理………………………………… 48 §4 基础定理…………………………………………… 54 §5 直线和直线段……………………………………… 85 §6 射线、平面、角和三角形…………………………105 §7 基础作图 ………………………………………… 140 §8 希尔伯特公理的命运 …………………………… 152 参考文献…………………………………………………161
第 一 章 相 关 基 础
§1 概念无歧义原则 人是一种智慧生物，他是通过概念进行思维的，因此概念是我们进行思维判断和逻辑推理的基础． 本书是一部系统的讨论数学基础的书．数学理论是建立在概念、公理和形式逻辑基础之上的．即数学理论是以概念和公理（不容怀疑的真理）为基础，由通过逻辑推演获得的各个数学命题构成的无矛盾的体系．如果公理是正确的判断，使用的形式逻辑也是正确的推理方法，那么通过推理得到新判断（定理）是否正确就完全依赖于概念的内涵是否清晰，是否存在歧义或别解．从某种意义上讲，基本概念的内涵是否清晰，对于数学体系的建立和完善是至关重要的．因此，对于数学的概念，尤其是讨论的最基本对象（需要用名词定义的对象）这些概念的内涵必须清晰明了，既不可存在歧义，也不应存在别解，该项要求是建立任何一套严谨的体系（当然也包括数学体系）都必须遵循的原则．我们称该原则为概念无歧义原则． 要想让概念的内涵清晰明了，就应当给概念下一个定义，即用一个陈述句“a是×××”来圈定概念a的内涵．由于，对概念进行定义本质上是使用已经定义好了的概念来圈定未定义概念内涵的过程．亚里士多德(Aristotle)指出：在不出现循环定义的前提下，我们就不可能对所有的概念都给出定义．因此，任何一个理论体系，都要选定一些概念作为不定义的基本概念．必须清楚，不定义的概念，不等于内含不清楚的概念．一切概念都必须内涵清楚，既不可存在歧义，也不能存在别解．这就是概念无歧义原则，对于概念内涵提出的要求．为了保证我们选定的不定义概念内涵的清晰，我们会通过通俗的说明或形象的解释来圈定这些概念的内涵． 通过说明和解释来圈定概念的内涵和给概念下定义是不同的．它们的区别有以下两点． １. 给概念下定义，必须使用已经定义好了的概念，不允许循环定义．对概念进行说明和解释，允许使用尚未定义但大家都能正确理解的概念，也允许出现不造成歧义的概念循环． ２. 给概念下定义，必须使用严谨的专业语言，必须是肯定的陈述语句．对概念进行说明和解释，允许使用非专业语言，允许借助于图形进行描述，也允许通过举例的方式进行讲解． 例如，现在中学教科书中仍然用“一条拉紧了的线，可以向两边无限延长”来形象地解释直线． 不论是给概念下定义，还是对概念进行解释，目的只有一个，就是将概念的内涵圈定清楚．什么是概念的内涵清楚呢？就是对于给出的任何一个满足概念大前提要求的对象，都可以得出该对象属于这个概念（属于这个概念所圈定的集合），还是不属于这个概念（不属于这个概念所圈定的集合）．例如，“3”是自然数（属于自然数集合），“圆周率 让我们看一看，下面讨论对象内涵不清的对话． 甲：“人不是饭会饿死的”（此句话中“饭”指的是“食物”）． 乙：“我不吃饭饿不死，我吃饺子”（此句话中“饭”专指“米饭”）． 让我们看一看，下面讨论中使用概念内涵不清的对话． 甲：“到某处远吗？” 乙：“不远，向前跑10分钟就到了”（南方人，此句话中“跑”指的是“走路”）． 甲：“需要跑10分钟还不远？”（北方人，此句话中“跑”专指“奔跑”）． 生活中这样的例子很多，我们举这些例子的目的，是想让大家牢牢地记住，概念无歧义原则的重要性．很多读者会说，生活上，特别是喜剧小品中有这种概念混淆的现象，在科学上，尤其是严谨的数学上绝对不会有这种概念不清的情况．很遗憾，你们想错了，在严谨的数学上，也存在这种概念不清的现象．本书是专门研究几何学基础的，那么就让我们来看一看关于几何学的现状吧． 古希腊最伟大的学者欧几里得(Euclid)显然深知对于建立几何学的那些最关键的基本概念，内涵必须清晰明了，绝不可以存在别解和歧义．因此，他在建立几何学的时候，给“点”、“线”、“直线”、“面”、“平面”等23个概念都下了定义．虽然对某些概念所下的定义并不严谨，很多还算不上是定义，顶多只能算作是对概念的通俗解释．尽管如此，当我们看到《几何原本》中给出的定义：1.点是没有部分的；2.线只有长度没有宽度；3.一线的两端是点；4.直线是它上面的点一样地平放着的线；5.面只有长度和宽度；6.面的边缘是线；7.平面是它上面的线一样地平放着的面[1]．通常就不会再对这些概念的内涵产生歧义． 既然任何人都不能给所有的概念下定义，那么欧几里得就也不能给所有的概念下定义．看“部分”、“长度”、“宽度”、“端点”、“一样地平放着”、“边缘”这些概念都既没有给出定义也没有作出说明，是作为不定义概念处理的．如果欧几里得认为，和他同时代的人能够理解这些概念的含义，这种做法就是正确的．不管怎么说欧几里得确实是努力地要把那些最基本的概念，尤其是直接讨论的对象的内涵圈定清楚．特别应当指出的是，他给点下的定义（或解释）是那样的精辟． 《几何基础》问世以后，问题发生了改变．在希尔伯特(Hilbert)这部著作里一些对象（“点”、“直线”、“平面”）被取为基本元素，一些关系（“结合关系”、“顺序关系”、“合同关系”）被取为基本关系，统称为基本概念．而基本概念是脱离直觉形象的．唯一的要求是他们必须满足系统内诸公理的要求[2]．他所提出的体系，据说克服了欧几里得《几何原本》中存在的逻辑缺点，使欧几里得几何牢固地建立在基本概念和公理的基础之上．但是由于他放弃了欧几里得在《几何原本》中对“点”、“直线”、“平面”这些基本概念的定义或解释，致使这些概念失去了唯一性．希尔伯特的想法可能是好的，他看到了欧几里得给所有概念都下定义的作法中存在的逻辑缺陷，想通过一整套复杂的公理体系（5组20个）来弥补这些缺陷．可能认为他所提出的这个庞大的公理体系，可以准确的圈定这些不定义的基本概念的内涵吧．但是不知为什么，当后来发现这些公理并不能准确地圈定这些概念的内涵时，他并没有通过对这些概念作出说明和解释来进行弥补，而是放任地使这些概念变成了与空间性质无关的，可以随意解释的概念．应当承认，也许希尔伯特(Hilbert)这样做的初衷是好的，但是好的初衷，并不一定有好的效果，希尔伯特真的使欧几里得几何牢固地建立在基本概念和公理的基础之上了吗？恐怕我们不能这么说．由于“点”、“直线”、“平面”、“关联”、“合同”这些基本概念的内涵存在着别解，致使很多论断丧失了确指性，变得可以随意解释，完全丧失了内涵的唯一性，当然也就丧失了结论真理性．更为严重的是，由于放弃了使用现实物理世界中物质的性质和现象来解释这些基本概念的作法，就将几何学这门研究空间（几何）性质的学科，变成了一个仅仅是概念之间自洽的逻辑体系．形象一点的说，他修好了欧几里得几何学这座大厦破损的地面，却挖空了大厦的基础，使这座屹立于坚实基础上的雄伟建筑变成了虚无缥缈的空中楼阁． 徐利治教授在《数学方法论选讲》（第三版）第四讲中写到：最后，值得说明一下，正因为希尔伯特几何公理系统中的点、线、面、位于、通过等名词都无非是一批抽象元素及其关系的代名词，因此对它们可以赋予各种各样的具体解释．如果把它们解释作古典欧氏几何（平面几何与立体几何）中的对象，则得到二维及三维欧氏几何．特别，如果我们把公理中的点与直线分别反过来解释成普通欧氏几何中的直线与点，便可得出原定理的对偶定理．正因为公理中的点与线皆为抽象元素，故在名词上互易其位也无不可．所以，就有一般形式的对偶原理：在任何一条涉及点、线关系的平面几何定理里，如将点、线位置互换，则所得命题仍成立（后一命题即称为前一定理的对偶命题）[3]． 再看П．К．拉舍夫斯基在《希尔伯特的<几何基础>和它在本问题发展的历史中的地位》中是怎么说的：在希尔伯特的系统里讨论了三种对象：“点”、“直线”、和“平面”，以及对象之间的三种关系，他们用话来说是：“属于”、“介于”、“合同于”．这些就是基本的概念，而且严格说来，在希尔伯特系统里研究的只是所说的对象和它们之间所说的关系．所有其余的概念都可以在列举的六个基本概念的基础上给予直接的定义． 然而这些基本概念是什么呢？我们已经说过，作为数学的几何学所关心的只是几何命题如何纯逻辑地从其中的有限几个来推得．这些特别挑出来的命题就是所谓公理．而如果从公理推得的结论完全是按照形式逻辑的法则作出的，则只要认为公理成立，所谓对象（“点”、“直线”、“平面”）和这些对象的所谓关系（“属于”、“介于”、“合同于”）究竟指的是什么就完全不起作用了．事实上，形式逻辑之所以叫做“形式的”，正是它的结论就形式说是正确的，不管我们讨论的对象在实质上指的是什么．所以在几何的公理结构下，不论我们如何的来理解“点”、“直线”、“点属于直线”等，只要我们在做证明时所用的公理是正确的，则严密逻辑地证明了的定理也是正确的．特别地，可以不必与通常直觉概念下的点、直线等发生任何关系[4]． 我很尊敬大数学家希尔伯特，他对数学的发展做出了巨大的贡献．但是我不赞成他对公理体系中最关键的基本概念的处理方法．希尔伯特对几何学最关键的基本概念的处理太随便了，既不给出定义，又不做出解释，还要声明它们可以不必与通常直觉概念下的点、直线等发生任何关系．其实，如果希尔伯特通过定义或解释，说明作为基本概念的“点”、“直线”和“平面”就是对通常直觉概念中的点、直线和平面抽象的结果，在进行形象思维时可以借用直觉概念代替相应的基本概念．这样做不会影响体系的完整性，同时也可以夯实几何学的基础．可惜他没有这样做，他太重视数学体系的逻辑自洽性了． 正如徐利治教授所指出的，根据希尔伯特的体系，我们无法区别几何命题中的“点”和“直线”，尤其在射影几何学中就更是如此．当谈到“点”时可能指的是通常直觉概念下的“点”，也可能是通常直觉概念下的“直线”，当我们提到直线时亦是如此．那么“两点确定一条直线”就既可以理解成“两个‘直觉点’确定一条‘直觉直线’”，也可以理解为“两条‘直觉直线’确定一个‘直觉点’”．如果我们不是已经将欧几里得在《几何原本》中给出的“点”和“直线”的定义接受了下来，我们就根本看不懂关于“点”和“直线”仅涉及“关联”的任何一个定理，也就无法区分帕斯卡定理和布利安桑定理．一定会有人说，用公理隐含地定义基本概念还是有积极效果的，它导出了对偶原理．必须清楚，对偶定理是客观存在的，即使我们按照欧几里得给出的定义弄清楚了这些概念的内涵，仍可以根据公理推导出对偶原理． 希尔伯特这种将体系最关键的概念，尤其是我们直接讨论的对象当成既不定义又不解释的概念，仅靠公理约束其内涵的作法，对整个数学界造成了巨大的影响，阻碍了数学的发展，甚至将其引向了歧途．由于，几何最关键的基本概念的内涵不确定，致使某些数学概念乃至某些数学命题失掉了确指性，甚至使一些重要的物理学结论也变成了不知所云的废话． 由于这些不定义的基本概念仅靠公理来界内涵，就出现了一种推理中的大忌——循环定义（由A定义B，由B定义A）或循环论证（由A推出B，由B推出A）．请看下面的例子， 一个老师问学生：“你家住在哪儿？”， 学生回答：“和王婶家相邻”． 老师又问：“王婶家在哪儿？” 学生又回答：“在我家隔壁”． 根据上面的对话，我们仅可以知道这个学生的家和他的王婶家相关联，根本无法确定这个学生家的具体位置． 我们讨论平行公理时就坠入了这种循环定义的漩涡． 现在当问及什么是点的时候，学者们会说：“点是两个可以确定一条，并且仅可以确定一条直线的元素”． 当问及什么是直线的时候，学者们又说：“直线就是由两个点唯一确定的元素”． 根据上面的回答，我们既不能明确什么是“点”，也不能确定什么是“线”．像这样循环定义的概念，是可以赋予不同内涵的．最简单的例子，我们把欧几里得所说的点称为“直线”，把欧几里得所说的直线称为“点”并没有什么不妥之处（其实就连“点”和“平面”之间也是如此）．必须明确，这种将“点”，“直线”和“平面”这些概念混淆的情况，在欧几里得那个时代的数学家那里，是绝对不不会出现的．因为，在欧几里得看来，“点”没有长度不能称为“直线”，没有宽度也不能称为“平面”；“直线”有部分不能称为“点”，没有宽度也不能称为“平面”；“平面”有长度和宽度，既不能称为“点”也不能称为“直线”．显然，就知识结构的逻辑严谨性而言，希尔伯特(Hilbert)及以后数学家的做法较之2000多年前的先哲，不是进步了，而是倒退了． 多年来，学术界一直在讨论欧几里得(Euclid)几何，罗巴切夫斯基(Lobatchevsky)几何和黎曼(Riemann)几何这三种几何学究竟哪一种是正确的．对这个问题的讨论，归根到底就是对平行公理的讨论，本质上就是要回答“过直线l 外的一点K，在直线l 和点K，所在的平面M上，究竟能引几条直线和直线l 没有合同点（永不相交）”的问题．从逻辑上来讲，要想这个问题本身有意义，就要求参加讨论者对于“点”、“直线”、“平面”，乃至“合同”都要有统一的（大家一致认可的）、明确的（内涵清楚的）认识．即都使用“（欧氏）直线”和“（欧氏）平面”来讨论，在这样的前提下能证明，如果欧氏几何是无矛盾的，那么非欧几何也是无矛盾的，那才能让人信服． 现在让我们来看一看这个进行了100多年的讨论．代表各学派的学者（包括为其建立模型的代表人）对这些概念的内涵有清楚的认识吗？首先欧几里得几何的代表人欧几里得(Euclid)对这些概念的内涵是清楚的，除了“直线相交”作为不定义的概念（这一般不会造成混淆）之外，其余概念在《几何原本》中均给出了定义（虽然有些定义并不严密）．必须声明的是，欧几里得时代仅有欧式几何，因此欧几里得没能参加这个问题的讨论，但他的观点是明确的：“平面上过直线外一点仅可以引一条直线和已知直线平行”（虽然他的第5公设对这个问题的表述略有不同）．但是他的后继者——以希尔伯特(Hilbert)为代表的学者们，打着“纠正”欧几里得的 “逻辑错误”，“弥补”欧几里得的“逻辑缺憾”的旗号．彻底地否定了欧几里得一定要弄清“点”、“直线”和“平面”这些概念内涵，以确保几何学建立在牢固基础之上的正确做法．把“点”、“直线”和“平面”乃至“关联”都规定为不定义的基本概念．并在用公理来约束这些概念内涵的幌子下，放弃了对这些概念内涵的约束，使这些概念变成了可以随意解释的“符号”（希尔伯特会说，不是随意解释，要受到公理的约束）．
另一个代表罗氏建立模型的克莱因(Klein)，他的模型是这样建立的．将欧式平面上圆的区域（丢弃圆周和圆外区域）称为“罗氏平面”，将圆内的欧式弦称为“罗氏直线”（图 1.1-2）．将使得平面上一给定圆和它的内部变成它自身的射影变换，称为“非欧几里得平移”．两个图形，如果存在一个非欧几里得平移把其中一个变成另一个，就说它们是迭合的[6]．过“罗氏直线”外一点可以引两条以上的“罗氏直线”和已知“罗氏直线”没有交点（图中过P点，有点落在阴影区域的欧式弦），且其它公理均成立．
众所周知，辩论中改变讨论对象的内涵，称作“偷换概念”．“偷换概念”是大家公认的诡辩．但是在最严密的数学中这种概念内涵不清的讨论，没有人称之为诡辩，反而被披上了一套华丽的外衣，称之为严密的证明，何其怪也．让我们稍微详细一点讨论一下，这其中的逻辑矛盾： (1)概念内涵不统一． ① 欧式平面是它上面的线一样地平放着的有长度和宽度的图形，它向各个方向都可无限地延伸（即大家熟悉的平面）．欧式直线是它上面的点一样的平放着的线，它可以向两端无限延伸．合同是图形经刚性移动后重合．对这些观点大家认识一致． ② 庞加莱(Poincare)模型认为“罗氏平面”是一条欧式直线u在欧式平面上分割出来的半张欧式平面C（不包含线u）．直线是圆心在u上且位于C上的半圆周和垂直于u而位于C上的半直线．并称反形变换的像和原图形合同． ③ 克莱因(Klein)模型认为“罗氏平面”是一个欧式圆在欧式平面上圈定出来的圆内区域（不包含圆周），将圆内的欧式弦称为“罗氏直线”．称使得平面上一给定圆和它的内部变成它自身的射影变换中的像和原图形为平移迭合的，并说平移迭合的图形合同． ④ 黎曼(Riemann)建立了一套具有封闭的有限直线的几何．他将球S（当然应当是欧式球）的表面看成黎氏平面，把球面的大圆当成直线，将过两点大圆弧的短弧当作这两点间的距离[6]． 看吧,大家在讨论什么，在讨论平面上的直线，讨论的平面是什么呢？一个说“平面可以向各个方向无限地延伸”．另一个对第一个人说“用不着将平面考虑成那么大，仅考虑它的一半就可以了”．第三个人对第二个人说“连一半都用不着，它只是在欧式平面上被欧式圆圈定的那么一小块”．还有一个人却说，平面是一个自封闭的欧式球面．什么是讨论的直线呢？一个说“直线可以向两端无限地延伸”．另一个说“有些直线可以向一端无限延伸，有些直线就是半个欧式圆”．第三个人对第二个人说“用不着把直线分成两种讨论，可以都将它们看成平面圆内的欧式弦”．第四个人大声喊道，你们说的都不对，直线就是球上的大圆．如果在马路上你遇到四个为此而争吵不休的人，你会有何感想．如果你发现他们居然是伟大的数学家，我想你一定会惊讶万分．但是当你知道他们中间有两个人还不承认将一个图形不变样的移过来可以和另一个图形重叠，那么这两个图形合同（重合）．其中一个认为两个图形合同是互为原图和反形变换的像，和它们外观是否一样没有关系．其中的另一个却说，合同的图形外观不一定一样是对的，但它们不是互为反形变换的像重叠，而是给定圆和它的内部变成它自身的射影变换中的像和原图形平移后重叠，你大概会以为他们疯了吧．不要生气，这就是现今几何学的现状．一切基本概念都不定义，都可以随意地解释，既可以说方是圆，也可以指鹿为马． (2)建立的非欧几何模型逻辑混乱． ① 庞加莱(Poincare)模型，定义的“罗氏平面”的边缘是一条欧式直线．在罗氏平面上作罗氏直线，却要以罗氏平面之外的欧式直线上的点为圆心作欧式半圆或作垂直于该欧式直线的欧式半直线．在讨论平行公理的时候，平面、直线的内涵应当是统一的．谈不上欧式或罗氏，只有这些概念统一，我们才有讨论该问题的基础．现在在罗氏平面上作罗氏直线，却要以欧式直线上的点为圆心作欧式半圆或作垂直欧式直线的欧式半直线，实属怪事． ② 克莱因(Klein)模型，建立了一种度量，硬是将欧式圆内的有限长的弦，度量成无限的长度，连“有限”和“无限”这种天壤之别的概念都能随意地给出，这还是几何空间中的度量吗？． ③ 黎曼(Riemann)几何将可以向各个方向都无限延展的平面，变成了一个面积有限的球面，将向两端可以无限延长的直线变成了球面上的一个闭合的圆圈． 像这样随意改变“直线”、“平面”这些概念内涵，大家讨论的还是“直线”和“平面”吗？希尔伯特(Hilbert)说“直线”和“平面”不需要定义，仅用公理约束其内涵就可以了，公理约束的结果就是如此．欧几里得(Euclid)，明确的给“直线”和“平面”下了定义（或曰给出了“解释”），但定义或解释的过于含糊其辞（一样平放着的点或直线），根本没有办法对概念的内涵作出有效地约束．存在着没有严格约束内涵的概念，是造成这种混乱的根本原因． 还好建立这些非欧几何模型的目的，仅仅是要证明非欧几何是无矛盾的，是符合逻辑的． 这种无矛盾性的证明，是依据非欧几何模型进行的证明．如果罗氏系统在今后的展开中出现正反两个互相矛盾的命题的话，则只要则只要按如上规定之元素之间的对应名称进行翻译，立刻成为互相矛盾的两个欧式几何定理．从而欧式系统就矛盾了．因此只要承认欧式系统是无矛盾的．那么罗氏系统一定也是相容的[7]．必须清楚的是，罗氏几何的无矛盾性，是在“直线”、“平面”和“合同”都按模型中定义的意义上才成立． 欧几里得(Euclid)建立的几何学各基本概念的内涵是清晰的，也确实是协调的、无矛盾的．但是经过希尔伯特(Hilbert)改造以后的欧式几何学就无所谓协调不协调了．因为最基础的基本概念都是可以随意解释的，因此，在一般情况下我们都可以通过修改基本概念内涵将一套不太协调的体系变得协调．对于非欧几何也是如此，对于欧几里得定义的直线、平面、度量和合同，平面上过直线外一点仅可以引一条直线和已知直线平行，这一判断显然和罗巴切夫斯基的平行公理不协调，但是如果把“平面”理解成欧式圆内的平面部分，将“直线”理解为该圆内无端点的弦，再重新规定“测量”和“合同”的内涵，那么罗巴切夫斯基的平行公理和其它判断就是和“实际”协调的．因此，对于基本概念不加定义的体系，讨论协调性和无矛盾性并没有什么实际意义． 问题还不止如此，有的模型还和平行公理之外的其它公理不协调．例如，在黎曼几何的解释中，两条黎氏直线（欧式球的大圆）有两个交点，实质上违反了希尔伯特给出的关联公理（因为它违反了由关联公理Ⅰ1～8推出的定理“一平面上的两直线或有一个公共点，或无公共点）”．不知为什么，学者们对这点并没有予以关注[8]． 说明：两条黎氏直线有两个交点，并不是像投影几何中的平行线那样在无穷远处有另一个交点，因为黎曼几何认为直线长度是有限的，因此另一个交点不能在无穷远处． 抄录罗氏几何的一个定理，请问他谈的是直线还是曲线． 定理4.46 在罗氏空间中，有且仅有椭圆、抛物、双曲三种类型的直线族[9]． 再如，几何光学中有下列结论： (1) 在同一种均匀介质中光直线传播． (2) 在没有引力场的真空中光直线传播． (3) 一道光线穿过引力场时其路程发生弯曲[10] 如果将结论(1)和结论(2)中的一个作为对于直线的定义，那么这三个判断都有意义,否则这些判断就没有意义．令人遗憾的是，物理学上并没有重新定义直线，而是直接使用几何学中有关直线的定义、公理和定理．由于在数学上直线是一个不定义的概念，可以作出各种解释，这样，上述那些物理学中的判断就都成了毫无意义的废话． 又如，爱因斯坦(Einstein)在讨论用许多长度相等的小杆来验证一个巨大的桌面是不是一个欧几里得(Euclid)连续区域（即是否是欧氏平面）的问题时指出，只要这些小杆可以正交地铺满整个面，它就是一个欧氏平面，否则它就不是欧氏平面[11]．对于这种验证只有选择的小杆是直线段时才是正确的（使用半径为R的圆周的一段当小杆，也能正交地铺满半径为R的球面），由于直线本身是一个没有定义的概念，对它的解释存在很大的随意性，我们可以将任何可以重合的小杆看成直线的一段，因此这种检验就没有意义． 英国著名学者霍金(Stephen W．Hawking)在《时间简史》第二章中写道：爱因斯坦提出了革命性的思想，即引力不像其他种类的力，而只不过是空间——时间不是平坦的这一事实的后果．正如早先他假定的那样，空间——时间是由于在它中间的质量和能量的分布而变弯曲或“翘曲”的．像地球这样的物体并非由于称为引力的力使之沿着弯曲轨道运动，而是它沿着弯曲空间中最接近于直线的称之为测地线的轨迹运动．…… 光线也必须沿着空间——时间的测地线走．空间是弯曲的事实又一次意味着，在空间中光线看起来不是沿着直线走．这样，广义相对论预言光线必须被引力场所折弯[12]． 必须明确的是：由于引力场的存在导致空间中所有物质都具有的相同性质（物质沿欧式测地线运动）是客观事实．我们可以把这些性质当成物质本身的物理性质，而认为空间依旧是平坦的，物质的运动轨迹是弯曲的；也可以认为这些性质是空间的性质，即认为引力场导致了空间的弯曲，而物质仍然按照直线（当然是非欧几何的直线）运动．爱因斯坦采取的是第二种解释，但所有人对这种解释叙述的都非常混乱．既然认为空间是弯曲的（非欧空间），那么光线轨迹就是一条直线（非欧直线），不能再说光线不沿着直线走，只有认为空间仍是没有弯曲的欧式空间，才能说光线的轨迹是弯曲的（在非欧空间中，不能再称欧式直线为“直线”，必须使用时应当予以标注）．决不能既说空间是弯曲的，又说光线不走直线（或说光线在引力场中发生弯曲）．然而现在几乎所有的文献中都是这样自相矛盾地论述．本书将采用第一种解释，即认为引力场的存在导致空间中所有物质都具有的相同性质是物质本身的物理性质，而不是空间的性质，即引力场的存在并不改变空间的性质，空间仍然是平直的，只是物质在引力场内将沿曲线运动． 对概念进行定义是使用已经定义了的概念来圈定未定义概念内涵的过程．因此，在不出现循环定义的前提下，我们就不可能对所有的概念都给出定义．因此，任何一个理论体系，都要选定一些概念作为不定义的基本概念．只要可能，就不要选取对理论体系最重要的对象作为不定义的概念．而应当将那些不重要的，大家都熟悉其内涵的概念规定为基本概念，再用这些概念来定义那些最基本的对象和其它概念．而对那些规定成基本概念的概念，一定要通过说明或解释将其内涵圈定的清晰明了，务必应确保参与讨论的所有人都对这些概念的内涵理解一致．绝不可以将不定义的概念变成不界定其内涵的概念． 对理论体系至关重要的概念，尤其是讨论的对象，其内涵必须清晰，不得存在歧义和别解，即必须彻底地贯彻概念无歧义原则．概念无歧义原则是建立任何一个逻辑严谨的体系都必须严格遵循的基本原则之一，当前几何学中的混乱就是由于没有认真地贯彻该原则造成的． 对于圈定概念内涵的语句究竟是属于“定义”还是仅仅是一种“解释”有时并不好辨别．为了叙述的简洁，对于那些不太好区分的判断语句本书一律称之为“定义”，就像大师欧几里得(Euclid)那样．
§2 关于公理 自欧几里得（Euclid）《几何原本》一书问世以来，公理体系作为数学的基础已被广泛的接受，但公理究竟是一种什么样的命题，也就是公理的内涵究竟应当是什么，大家的意见却并不统一． 欧几里得（Euclid）在《几何原本》中并没有给出公设和公理的定义，希尔伯特（Hilbert）在《几何基础》中也没有给出公理的定义．究竟什么是公理呢? 因特网百度百科“公理”词条给出的解释是： 基本解释：经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的命题． 详细解释：在一个系统中已为实践所反复证明而被认为无须再证明的基本事实，如“等量加等量其和相等”，就是公理[13]． 一位署名为“白色香雪兰”的网友，不同意上述观点，他给出的解释是． 公理：是人们在长期实践中总结出来的基本数学知识并作为判定其它命题真假的根据． 公理是一些前提假设，这些前提假设规定了整个理论的最基本概念之间的关系，它们并不需要任何事实和经验的支持，只要它们本身在逻辑上没有矛盾就可以了．它们不能被推出，因为它们是最基本的东西．所有的定理都是由公理推出来的． 一个典型的例子是非欧几何的基本公理（指平行公理），它们提出时并没有任何事实和经验的支持，而且是违反直观的，尽管后来发现确实有事实支持这样一种几何的存在，但这并不能说明公理一定是需要经验的[14]． 朱梧槚教授写到：首先从认识论的角度来看，我们主张对任何系统的基本概念和公理的选取，必须客观地反映现实对象的本质和关系，也就是说，有其实际的直观背景或现实模型，这就是说，不能单凭主观臆造[15]．在这里朱老并没有提及非欧几何公理的选取是否符合他所提出的要求． 徐利治教授则认为：关键在于基本概念和公理的选取．对它们虽然不加定义和不加证明，但其选取并不是人为的，任意的．因为几何学的对象实体毕竟来源于现实世界，所以几何学的基本概念和公理必须符合客观实际．否则任凭主观随意创造，搞出来的“几何”就没有意义了（当然，非欧几何的意义不同，又当别论）[16]．显然徐老在括号内的补充说明，否定了自己前面的观点． 那么究竟哪一种观点是正确的呢?其实，这两种观点都过于偏激了，都过分地强调了公理的某一方面的特征．前者强调公理的可证实性，认为公理必须是被证实的；后者又强调公理的逻辑自洽性（无矛盾性），并声称公理不需要有任何事实和经验的支持．诚然，罗巴切夫斯基几何的平行公理“平面上过已知直线外的一点至少可以引两条直线和已知直线平行（永不相交）”没有事实和经验的支持，因为我们不能把直线无限地延长．难道欧氏几何的平行公理 “平面上过已知直线外的一点可以引一条直线，并且只能引一条直线和已知直线平行（永不相交）”就有事实和经验的支持吗？不，在“直线”和“平面”的内涵没有清晰圈定的前提下，该公理同样也没有事实和经验的支持．欧几里得（Euclid）看到了这一点，为了避免讨论直线无限延长后的性质，他在《几何原本》中将第五公设描述为“平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交”[17]．看到了吧，绝顶聪明的欧几里得并没有谈当平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角之和等于二直角和的时候这两条直线无限延长后永不相交． 因为欧几里得很清楚两条直线无限延长的状态是无法证实的．既然说不清直线无限延长是什么样子，那么这两条直线无限延长的状态就只能是无法直接验证的假说．欧几里得（Euclid）几何如此，非欧几里得（Euclid）几何也是如此．欧几里得（Euclid）是高明的，它巧妙地避开了讨论直线无限延长的状态．我这里没有贬低苏格兰数学家约翰·普莱费尔给出的被现代数学界广泛使用的“欧几里得几何平行公理的描述”的意思．对于欧氏平行公理（或公设）约翰·普莱费尔的描述方法和欧几里得（Euclid）采取的描述方法，仅仅是侧重点不同．欧几里得（Euclid）的描述方法侧重的是可证实性，约翰·普莱费尔的描述方法侧重的是简洁性，其实，两种描述方法完全是等价的． 定义1.2.1 给出一个（肯定或否定）结论的陈述句称为判断．通过考察客观存在，综合整理而得出判断（包括逻辑推理规则），称为归纳判断，以归纳判断的结论为基础经逻辑推理而得出的判断称为推出判断． 归纳判断正确与否需要由经验（实践）加以验证，推出判断正确与否是由依据的归纳判断和用于推理的逻辑规则是否正确来决定的． 显然归纳判断（包括推理中使用的推理规则）属于基础判断，而推出判断属于依附归纳判断（包括逻辑规则）进行的二次判断或再判断．在一门学科中我们将必须承认其正确的基本归纳判断称为“公理”或“定律”，如数学中的“a = a”，物理学中的“万有引力定律”，化学中的“定组成定律”．推出判断则称为“定理”，如各学科中从公理或定律出发推导出的结论都属于定理，如几何学中的“勾股定理”，代数学中的“二项式定理”等． 有一点必需清楚，我们定义的平行线是平面上永不相交的直线，而不是在无穷远处没有交点的直线．“永不相交”和“无穷远处没有交点”是绝然不同的两个概念．两条直线永不相交，是说两条直线无论如何延长都不会有交点，这个延长是一个过程，永远也达不到无穷远点．而无穷远点没有交点是肯定两线延长到了无穷远点也没有交点．前面我们已经说了，无限远处究竟是什么状态是我们无法认知的，那么关于无限远处是什么状态的判断，如果是需要验证的归纳判断，那它就只能是一个“假说”．根据我们的论述两条直线永不相交的归纳判断是假说，两条直线在无穷远处有一个交点的归纳判断也是假说．既然是假说，问“这个结论是否正确”就没有意义．我们不能问这些假说的结论是否正确（因为无法验证），我们仅可以问假说的结论和我们已经确认了的结论是否协调，是否可以得到有益的结果．当这些假说的结论不与我们已经确认的其它结论矛盾时，我们认为这个假说是可以接受的，如果这个假说还能导出有益的结果，它们就是一定会被我们接受的．例如射影几何给出的平面上平行的直线相交于无穷远点，平面上所有无穷远点汇聚成一条无限远直线，就是一定会被我们接受的假说．这里我们讲的是对于归纳判断给出的不可以直接验证的结论是假说．对于结论不能直接验证的推出判断，则并不属于假说，这是因为，这些结论是依据公理证明了的结论，理论上不需要对这个结论直接验证，但需要对公理进行验证（如果公理是已经验证过的归纳判断，就不需要再验证）． 公理是符合客观存在的正确判断，是已经被实践（经验）证明了的真理．历来学者都是这样认识的，也都是这样论述的．由于有几何学中的平行公理这个例外，这种论述显然与实际不符．为了克服这种认识上的缺陷，有些学者在这样论述后又指出几何学中的平行公理属于例外（如上面徐利治老先生）．另一些学者则直接否定了公理的客观真理性，认为只要公理满足“自洽性”就可以了，罗巴切夫斯基(Lobatchevsky)，希尔伯特(Hilbert)等学者都持有这种观点． [美]约翰·霍根指出“波普尔否认逻辑实证主义者的这样一种主张，即科学家能通过归纳、反复的经验、检验或观察，来证明一个理论．即使已往的观察都证明某一理论是有效的，也无法保证下一个观察会给出同样的证明．观察永远不能证明一个理论，而只能否证或证伪它”．波普尔常自诩是他用这一论述‘坦葬’了逻辑实证主义[18]． 英国的著名学者史蒂芬·霍金(Stephen W．Hawking)也指出：在它只是假设的意义上来讲，任何物理理论总是临时性的：你永远不可能将它证明，不管多少回实验的结果和某一理论相一致，你永远不可能断定下一次结果不会和它矛盾．另一方面，哪怕你只要找到一个和理论预言不一致的观测事实，即可证伪之[19]． 前面我们已经讲过，判断分为归纳判断和推出判断两类．上面两位学者谈论的不能证实仅能证伪的理论，显然是属于归纳判断．对于某一理论的某些结论（推出判断，即定理）我们可以通过逻辑推理把它正确与否与该学科的公理等价，即只要推出判断所依据的公理为真，该定理就一定是真的（这就是自然科学尤其是数学定理的证明）．对于上述推理基础的逻辑原理和判断依据的公理这些归纳判断，我们只能通过经验（亦称实践）来验证其是否正确．由于实践的局限性，对于归纳判断，我们不能通过有限的经验就证明它的结论和客观存在永远相符．即我们有限的经验不能证明归纳判断永远是真的，但是如果发现了反例，我们却能证明它是假的（证伪）． 例如，有一个巨大的口袋，里面装有很多很多的物品，我们不能透过袋子看到它们，只能由服务生一个一个的取出来给你看．让你判断袋子里装的都是什么？一开始服务生拿出来的都是小的红色玻璃球，而且一直取出了数万个，通过这些实践你作出了判断（建立了自己的理论），“该袋子里装的都是小的红色玻璃球”．这样建立的理论是以经验（或曰实践）为依据的，并不是没有根据的．随后服务生又从袋子中取出了数万个小的红色玻璃球，那么是否就证明了你的判断正确呢？应当承认阶段性地证明了该判断的正确性，但并不是最终证实了该结论的正确性（严格地讲，这种“最终”是不存在的）．因为无论从袋子里已经取出了多少个小的红色玻璃球都不能保证以后再取出的物体还都是小的红色玻璃球．当服务生从袋子里取出了一个大的红色玻璃球时，则证明你的判断错了（即你已建立的理论被证伪了）．接下来你修改了自己的理论，认为袋子里装的都是红色的玻璃球，可是当服务生从袋子里取出了一个绿色的玻璃球时，后建立的理论又被证伪了．此时你将理论修改为，袋子里装的都是玻璃球，当服务生从袋子里取出一个铁球时，这个理论也被证伪了．这时你将理论变成袋子里装的都是球，当服务生从袋子里取出一个正六面体木块时，你的理论再一次被证伪了．于是乎你大声的对服务生说，“我敢断定，袋子中装的都是无生命的固态物体”，当服务生从袋子中取出了一只活青蛙时我想你可能会被气疯的． 上面的例子虽然生动，但是它属于日常生活中的所遇问题的归纳判断，和我们数学上的归纳判断可比性较少．下面我们举一个数学方面的例子．在古希腊的毕达哥拉斯(Pythagoras)时代，所引进的数仅有自然数和正的分数（统称为正有理数），当时的理论认为，世界的本质是数（正有理数），世界上的一切事物都可以用正有理数描述．这是经过实践证实了的理论．后来发现边长为1的正方形的对角线的长度不能表示成正有理数，这时他们的理论被证伪了，于是他们又修改了理论，提出“用线段的长度可以表示一切量（包括可公度的有理数和不可公度的无理数）”． 上面的例子说明，对于归纳形成的理论（包括反映逻辑基本规律的推理原则），一定是根据经验，断定是正确的那些判断．对于不符合我们经验（已经被证伪）的那些判断不能当作我们认可的理论．但是，由于实践的局限性，我们依据经验已经认定为正确的那些判断，在后来的实践中还有可能发现其不符合客观实在．在实践中，发现与该判断相悖的反例（哪怕只有一个）时，即可以证伪它． 定义1.2.2 已经被以往的经验证明是正确的，且至今为止尚没有发现反例的归纳判断，称为归纳真理． 公理必须是归纳真理，即已经被以往的经验证明是正确的，且至今为止尚没有发现反例的归纳判断，在非欧几何出现之前，这是学术界公认的．非欧几何的出现动摇了学术界关于公理的认识．人们开始思考，公理究竟是什么．一定是已经被以往的经验证明了是正确的判断，即是对客观物理世界的正确认知，还是仅仅是一个并不需要在客观物质世界得到证实的，不会导致逻辑矛盾的判断． 在此种情况下，学术界不能再顽固地坚持“公理必须是归纳真理”了，因为出现了反例（平行公理）．反例有多少呢？仅有一个．但仅有一个也就够了，一个反例就足以证伪一条“真理”，只要这个反例是真的．从统计归纳规律上讲，当获得的结果中出现极个别与众不同的证据（以下简称“孤证”）时，我们应当首先怀疑这些证据的真实性．也就是说，首先要考虑的就是：“这个孤证是真的吗？”能否剔除这个“孤证”，以保持“公理必须是归纳真理”的结论． 如果不能剔除这个孤证，公理的定义是：在一门学科中，必须承认它们为真的，那些不能导致矛盾的最基本的判断． 本书，已经证明了欧几里得(Euclid)的第五公设是三个平行公理中唯一正确的判断，成功地剔除了这个反例，使公理保持了如下的定义： 定义1.2.3 在一门学科中，必须承认它们为真的那些最基本的归纳真理称为公理． 说明：这个定义中所说的公理是一个已经被经验证实了的归纳真理． 请大家注意，当把“在平面内过直线外一点可以引几条直线和已知直线平行”的判断作为公理时，它是结论无法直接验证的归纳判断属于假说，需要用实践进行检验．我们建立在新基础上的几何学，成功地将欧几里得(Euclid)第五公设转变成了一个定理．对于定理并不需要直接用实践验证，仅需要通过证明将其正确与否和公理是否正确等价．现在我们证明了平行定理，那么需要验证的就是我们证明该结论时所使用的公理，而不再是平行定理了．由于我们选定的公理都是经过经验获得的，那么就没有理由再称平行定理的结论是“假说”了．
第 二 章 几何学新基础
§1 新基础几何学 在本书中，我们重新选择了必要的“公理”，给出了最基本的概念“点”、“直线”和“平面”的严格的定义或严谨的解释，准确地圈定了“点”、“直线”和“平面”的这些基本概念的内涵，避免了对这些概念解释的随意性．重新构筑了几何学的基础，使得整个几何学体系建立在完整的公理、严谨圈定了内涵的概念和缜密的逻辑推理的基础之上．使几何学又恢复了古希腊时代的朴实状态，真的成为了一套描述空间性质的科学． 爱因斯坦(Einstein)在《狭义与广义相对论浅说》第一部分§1中写道：通过位于一个在实践上可视为刚性的物体上的两个有记号的位置来查看“距离”的方法，在我们的思想习惯中是根深蒂固的．…… 按照我们的思想习惯，我们现在在欧几里得几何学的命题中补充一个这样的命题，即在一个在实践上可视为刚性的物体上两个点永远对应于同一个距离（直线间隔），而与我们可能使该物体的位置发生的任何变化无关，那么，欧几里得几何学的命题就归结为关于各个在实践上可以视为刚性物体的所有相对位置的命题．作了这样补充的几何学可以看作物理学的一个分支[20]． 爱因斯坦这个观点很重要，我们按照爱因斯坦的提议，将几何学构建成了一个描述不论刚体位于何处，其上的任意两个点永远对应于同一个空间距离的学科．之所以这样地构造几何学，是因为空间本来就应当是如此的．根据我们的讨论，空间是物质存在的场所，它并不是依靠物质而存在的一种物质的属性．空间是客观存在的，它只有一个，它是三维的、连续的、无限的和各项同性的．空间的性质可以用刚性物体来检验．由于，绝对刚性的物质在客观世界中并不存在（任何物体都会发生弹性形变，也会随温度、应力的变化改变体积和形状），这给我们建立和检验几何学带来了困难．为了顺利地建立几何学，我们需要给出下面的假设（这是唯一的假设）：假设我们的圆规、直尺和膜平面（表层附有膜的平面）以及空间中的图形都是不因环境变化而改变其上任意两点距离的绝对刚体．有了这样的假设，我们就可以使用圆规、直尺和膜平面这些工具来绘制空间图形和验证空间的性质．但是需要说明的是，我们这样建立的几何学，所讨论的是空间的性质，而不是像爱因斯坦(Einstein)所说的那样：是物理学的一个分支．由于我们只能通过物质来认识空间，因此，建立的任何关于空间的科学（几何学）都离不开物质．如果建立在绝对刚体概念上的几何学都不是关于空间的科学，而是物理学，那么认为物质上的任何两点间的距离随物理环境的变化而改变的理论就更不能是关于空间的科学，一定还是物理学．如此看来我们能建立的一切涉及空间的科学就都是物理学，这就从根本上否定了我们可以建立研究空间性质（空间图形）的几何学的可能性．显然，任何一个学者也不会同意爱因斯坦这种极端的观点．我们认为建立在刚性图形和这些“绝对刚体”的工具基础上的几何学，是关于空间的科学，图形和这些工具上两点间的距离不变是由空间的属性决定的，和空间中物理参数的变化没有关系． 近代学术界是将几何学，分成物理几何学和数学几何学两个分支，分别进行研究和讨论的．П．К．拉舍夫斯基在《希尔伯特的<几何基础>和它在本问题发展的历史中的地位》[21]中写道：狭义相对论（1905）把空间和时间的延伸性结合成一个不可分割的整体，而广义相对论（1916）更把几何学和关于物质的分布和运动的普遍学说统一在一个学科之中．因此，从到现在为止我们关于几何学所说的那种观点看来，它是物理学的一部分，因而应该与在实验基础上的物理学一起生长和发展． 作为物理学的几何学是研究物体的延展性质的，他的命题可以而且应该用实验的方法来检验；像物理学的所有命题一样，他们只是抽象地体现了物质世界，因而只是近似地真实的． 作为数学的几何学，所关心的只是其命题之间的逻辑相关性，更精确地说，它所研究的是从若干个命题（公理）逻辑地推导出所有其余的命题．因此，作为数学的几何学的命题的真实性只能说是有条件的，即在该命题实际上是从公理推导出来的这种意义下．…… 作为物理学的几何学和作为数学的几何学的明白的划分——自然不在于提出他们的先后上，而在于实际研究的意义上——是19世纪末叶到20世纪开端时科学上的巨大而有原则性的成就．这成就是对这样的事实而言的，实质上背道而驰的两种观点的共存阻碍了彼此的发展． 几何学是研究空间性质的学科，或者说是研究空间中图形性质的学科．物理学是研究物质及物质运动和变化规律的学科．“物理学的几何学”，多么奇怪学科，它究竟是物理学还是几何学．几何学本来就是数学的一个分支，却要表示成“数学的几何学”，多么的不可思议．之所以会出现这种怪事，是因为讨论物理事件时需要涉及事件发生的空间，研究发现由于引力场的存在，使得空间的所有物质都具有一些相同的性质，为了简洁，就把这些性质定义成空间的性质．这种处理的结果就使空间成为了物质的附属品，使几何学变成了所谓“物理学的几何学”．另外，由于希尔伯特(Hilbert)给出的近代几何学，将“点”、“直线”、“平面”变成了可以随意解释的，不定义的概念，使得几何学实质上已经变成了与空间没有什么关系的逻辑自洽系统，而人们创造出的非欧几何学又能满足物理学的需要，才弄出了“数学的几何学”． 近代数学再也没有哪一个分支比几何学更加混乱了．同是讨论空间性质的几何学，一共建立了三套，而且这三套理论完全不同，相互之间具有本质的差别．欧几里得(Euclid)几何平行公理（第5公设）现代流行的由苏格兰数学家约翰·普莱费尔给出的描述是：平面上，过直线外一点可以引一条直线和已知直线平行（永不相交），并且只可以引一条．罗巴切夫斯基(Lobatchevsky)几何给出的平行公理是：平面上过直线外一点至少可以引两条直线和已知直线平行（永不相交）．黎曼(Riemann)几何给出的平行公理是：平面上的直线是有限且自封闭的，所有的直线都相交．显然，这三条公理是相互矛盾的．关于平面上过直线外一点究竟能引几条平行线的问题．一个说可以引一条，并且只能引一条；另一个说至少能引两条（实际是无限多条）；第三个说一条也引不了．但是，现代数学界却硬说它们没有矛盾，只是看问题的角度不同． 这三条平行公理之间真的没有矛盾吗？显然不是．如果我们认为空间的性质（所谓空间的性质，就是空间中内涵唯一确定了的图形的性质）是唯一的客观存在，那么上述三个公理中就最多有一个是正确的．有人会说，如果空间的性质不是唯一的客观存在呢？如果空间的性质不是唯一的客观存在，那么我们为什么还要研究空间的性质，我们研究空间的性质还有什么意义．我们建立几何学的基础就是空间和它的性质是客观存在的，并且是我们可以认知的，脱离了这个基础就没有必要研究几何学了．显然，这三条平行公理中至多有一条是正确的．现在形成了三套几何学，我们却不能断定那一套理论和客观存在的空间相符合．难道这还不是矛盾吗？这显然是矛盾，而且是根本性的，无法回避的矛盾． 关于这三套几何学，究竟哪一套正确的问题，100多年以前有过争论．R·柯朗和 H·罗宾在《什么是数学》第4章，§9节中写道：于是产生了这样的问题：这两者（指欧几里得几何和罗巴切夫斯基几何）中哪一个才是物理世界的几何描述呢？正如我们已经看到的，靠经验不能决定过一点究竟只有一条还是有无穷多条直线平行于一给定直线．但在欧几里得几何中，任意三角形内角的和是180°，而在双曲几何（即罗巴切夫斯基几何）中可以证明这个和小于180°．高斯于是作了一个实验来解决这个问题．他准确地测量了由三个相当远的山顶形成的三角形的内角，结果在试验误差范围内这些角的和仍是180°．如果这结果是小于180°的话，那么双曲几何将更适合描述物理的现实．但是实验过后什么也没解决．因为在双曲几何中对于边长只有几英里长的小三角形来说它的内角和与180°的偏差很小，用高斯的仪器是测不出来的．虽然实验没有作出结论，但它表明了欧几里得几何和双曲几何只有在大范围内才有所不同，而对于相对小的图形来说是如此紧密地吻合，以至于和实验是一致的[22] 上一段的讨论说明，当非欧几何刚刚确立之后不久，人们所关心和讨论的是，究竟哪种几何学才是正确的，“哪一个才是物理世界的几何描述”这个问题．对于这个问题，高斯的努力没有得到某些人想要的结果．我为什么说是没有得到有些人想要的结果呢？让我们来看一看《什么是数学》作者的评论吧．评论中说：“如果这结果是小于180°的话，那么双曲几何将更适合描述物理的现实”，现在结果等于180°就应当得出欧几里得几何更适合描述物理的现实，但评论者并没有给出该结论，而是给出了“因为在双曲几何中对于边长只有几英里长的小三角形来说它的内角和与180°的偏差很小，用高斯的仪器是测不出来的”，就是评论者已经断定了在大范围只有罗巴切夫斯基几何才更适合描述物理的现实，只是所选三角形太小测不出来而已．其实，高斯的测量在某种程度上表明了欧几里得几何适合于描述物理的现实．后来由于数学界普遍地接受了希尔伯特(Hilbert)关于最基础的基本概念“点”、“直线”、“平面”、“关联”、“合同”（甚至包括“度量”）只能作为不定义的概念，由公理约束它们内涵的思想．将这些概念实质上变成了内涵并不固定的，可以在某个范围内随意解释的概念．使得再讨论哪种几何正确变得毫无意义，因而将问题的讨论转变成了讨论各套几何体系是否存在矛盾．由于基本概念的内涵可以随意的改变，最终得出了这三套几何学都没有逻辑矛盾，因此它们都正确．但是由于各概念仅由公理约束其内涵，完全与空间特性没有关系，就将各种几何学都变成了和空间无关的逻辑自洽系统． 其实，解析几何建立之后，如果承认解析几何是能够正确地描述空间性质的，那么欧几里得(Euclid)第5公设就是一条可以直接证明的定理，大家就没有必要再为平行公理孰是孰非而争吵了．现将用解析几何来证明欧几里得第5公设成立的过程简述如下： 由点斜率公式给出的直线l 的方程为： 有点(0, 设过点(0, l 和l 1两直线有交点，就是①、②组成的方程组存在实数解， 解由①、②组成的方程组，②-①有 П.К.拉舍夫斯基在《希尔伯特的<几何基础>和他在本问题发展的历史中的地位》中写道：欧几里得最后的第五公设说：“每当一条直线和另外两条直线相交，在它们一侧作成的两个同侧内角的和小于2 所有这些证明，从我们今天的观点来看都是不对的，都是由于不假证明地假定了某个与第五公设等价的命题．这种命题的例子如下：在锐角一边上的垂直线和斜线永远相交；通过角内的每个点至少可以作一条直线与两边相交；平面上不相交的直线不能无限制地彼此远离；不存在长度的绝对单位，即这样的线段，它能依据其特殊的几何性质与其它长度的线段有所区别（如同在各种各样的角之中的直角一样）；至少存在着两个相似的三角形．等等[22]． 在本书中，我们沿袭了欧几里得关于“点”的定义，并且严谨地定义了“直线”、“平面”和“合同”这些基本概念，避免了对这些概念解释的随意性，成功地将欧几里得的第五公设（平行公理）转变成了平行定理，重新构筑了几何学的基础，使得整个几何学的体系焕然一新地屹立在精心挑选的公理，内含清晰的概念和严谨地形式逻辑基础之上，即我们在定义的“直线”和“平面”的基础上，证明了仅有一套几何学——欧几里得几何学成立．我们并不是拉舍夫斯基所说的那种“孤陋寡闻的癖好者”，因为我们所建立的几何学的基础是牢固的，是经得起推敲的，是不包含逻辑矛盾的．因为仅有欧几里得几何这一套几何学是正确的，今后，我们也就没有必要再称其为欧几里得几何学了，为了区分我们讨论的几何学和历史上由的欧几里得(Euclid)建立的几何学，我们将我们讨论的几何学称为建立在新基础上的几何学． 这是一本讲解几何学基础的书．这本书和历史上那些关于几何学基础的书籍和文献完全不同．历史上所有关于几何学基础的书籍和文献，都是从平面上的图形开始讨论，建立完整的几何体系，最后再过渡到空间图形上去，讨论空间和空间图形的性质．本书则是从空间的图形和空间的性质开始讨论，建立几何体系，然后再讨论平面图形的性质． 面对飘渺的空间，没有任何概念可以使用，开始讨论是困难的．我们按照下面的顺序建立并完善了几何学的新基础． 1. 我们定义了“空间”，和空间不可分的部分“位置”．并给出了空间公理：空间是3维的、连续的、无限的和各向同性的，并且空间的任何一部分都至少有一个位置． 2. 我们定义了“点”，给出了置点公理：任何一个位置均可以用假想的物体标为一个几何点． 3. 我们定义了“运动”，“运动的轨迹（包括点的轨迹‘线’，线的轨迹‘面’，面的轨迹‘体’）”，“图形（包括‘点’、‘线’、‘面’、‘体’）”．给出了运动公理：空间不能运动，能在空间运动的是物质，能在几何空间运动的是点或由点运动形成的图形． 4. 我们用运动公理明确了图形存在的三种运动形式，① 移动，② 以一个点为基点（不动点）转动，③ 以两个点为基点（不动点）旋转，但如果点C是绕A、B两点旋转的一个动点，那么任何图形都不能以A、B、C三点为基点运动，而保持自身形状不变． 5. 给出了图形公理：图形是连续的、完整的和刚性的（任何两点间的距离不变）． 6. 定义了图形的合同：如果两个图形占据相同的空间位置，那么这两个图形合同．给出了合同公理：如果两个图形能合同（重合）那么这两个图形对应元素相等． 7. 定义了此两点和彼两点之间的距离相等（没有定义距离，仅定义了距离相等），并给出了距离相等的验证方法． 8. 定义了“球”和“圆”，并指出了圆是平面图形． 9. 讨论了球和球之间的关系，相离、内含、相交、相切（内切和外球）． 10. 证明了两个球相交于一个圆． 11. 证明了两球的切点是以两球心为基点旋转的不动点． 12. 证明了以两点为基点旋转空间中的不动点构成一条无端单线，称之为不动点线． 13. 证明了不动点线，滑动位置不变，翻转位置不变，旋转位置不变． 14. 将以两个点为基点的不动点线定义为直线，证明过两点可以确定一条直线，并且仅可以确定一条． 15. 证明了两条直线相交于一个点． 16. 将一条直线上的两点始终在同一个圆上的运动，所得的轨迹整体构成的图形，定义成一个平面． 17. 证明了一条直线上的两点在同一个平面上，那么整条直线都在该平面上． 18. 证明了过不在同一直线上的三个点可以确定唯一的一个圆，进而可以确定唯一的一个平面． 19. 证明了一条直线和直线外一点可以确定一个平面 20. 证明了两条相交的直线可以确定一个平面 21. 证明了一个圆的三个点在同一个平面上，那么整个圆都在该平面上． 22. 证明了过不在同一个平面上的四点，可以唯一的确定一个球． 23 证明了不重合的两个平面如果有公共点，那么它们相交于一条直线． 24. 证明了平行平面（永不相交的平面）存在． 25. 证明了两个平行平面被第三个平面所截，截得的两条交线是平行线，即平行线存在． 26. 证明了如果直线l 平行于平面M 上的一条直线，那么直线l 平行于平面M． 27. 证明了平行于同一直线的两条直线相平行． 29. 证明了垂直于同一个平面的两条直线相平行． 30. 证明了平面上，过直线外一点，可以引一条直线和已知直线平行（永不相交），并且仅可以引一条． 本书从定义了的“点”开始讨论，首先定义空间中的单线和闭线（单线和闭线并不是规则的图形）．接下来我们定义了距离相等（不是距离，仅仅是距离相等）．随后关键的一步就是我们定义了球和圆，进而定义了直线和平面，并依据定义了的直线和平面证明了希尔伯特(Hilbert)给出的5组20个公理中的绝大多数的命题．这些已经证明了的命题就包括欧几里得(Euclid)的第五公设．就是我们已经成功地证明了“平面上，过直线外一点可以引一条直线和已知直线平行，并且仅可以引一条”．也就是我们已经成功地将欧式几何的平行公理转变成了一个定理，证明了在现在并存的三种几何中，仅有欧几里得(Euclid)几何这一种几何是正确的． 读者们一定会问，建立了几何学的新基础之后（或曰根据几何学的新基础），非欧几何学（包括罗巴切夫斯基(Lobatchevsky)几何和黎曼(Riemann)几何）还成立吗，还正确吗？ 应当说明，这是一个很难回答的问题．因为，要想确定一个理论是否成立．首先应当明确什么样的理论才算“成立”，要想确定一个理论是否正确．首先应当明确什么样的理论才算“正确”．如果对于“成立”和“正确”这两个概念的内涵没有一个清晰的界定，那就没有办法回答“非欧几何学是否还成立，是否还正确”的问题．如果认为一个理论只有和客观实际相符它才是正确的，那么在承认本书给出的公理的前提下，非欧几何学是不正确的．如果认为一个理论只要自身没有矛盾它就是成立的，那么在将“点”、“直线”、“平面”、“合同”乃至“度量”都当作不定义概念的前提下，非欧几何学还是成立的．也就是说当我们建立完善了几何学的新基础之后，非欧几何就变成了和空间毫无关系的逻辑自洽体系，仍然可以作为一种和空间性质没有多大关系的逻辑自洽体系，被近代物理学（特别是广义相对论）作为强有力数学工具广泛地使用．其实这并没有改变非欧几何的学术地位，因为当今的数学界主流观点，早已经将所有的几何学都看成了和空间性质无关的逻辑自洽体系．唯一发生的改变则是，建立在新基础上的几何学将再也不是与空间性质无关的逻辑自洽体系了，而使其重新变成了一门真正描述空间性质的科学．
§2 基础概念 不定义的概念 意识、场所（区域）、部分、实在、过程、变化、填满、混淆等． 为了保证概念的清晰和不被曲解，我们需要对不定义的几何概念，给出解释和说明（解释和定义不同，它可以使用大家清楚其内涵的尚未精确定义的概念来描述引进的新概念，即它能容忍循环定义）．对于这里不定义的其它概念，大家可按其它文献中的定义（不必考虑是否存在循环定义的问题）或通常意义理解都不会造成概念混淆，这里就不给出解释了． 基础概念 定义 2.2.1 不依赖于意识的客观物质存在的前提称为空间．图形存在的前提称为几何空间，几何空间是图形存在的场所． 定义 2.2.2 空间的部分称为区域，空间不能再分割的最小部分称为空间位置，简称为位置，显然位置就再也没有部分了． 定义 2.2.3 用假想物体标注出的位置称为几何点，简称为点，位于位置A的点记为点A（或写为A点）．当一个点并不固定于位置A，而是即将离开或者已经离开了位置A时，则记为点A（或A点）． 定义 2.2.4 (1) 能占据空间位置的几何元素，改变所占据的空间位置称为运动，运动过程中停顿下来能占据的所有位置称为点经过的位置，经过位置的总体称为路径． (2) 如果从开始运动到停止运动所经过的任何位置都有一个点，我们说运动的路径上填满（或充满）了点． (3) 填满了点的运动路径称为轨迹．点以及几何元素运动的轨迹称为连续图形，简称为图形． (4) 点运动的轨迹称为线，线运动的非线轨迹称为面，面运动的非面轨迹称为体．显然，点、线、面、体都是连续图形． 说明：1.此处之所以规定运动停顿下来所占据的位置，而不直接使用图形F 运动过程所经过的位置，是为了避免图形沿运动方向扩散造成的影响． 2. 依定义孤立点也是图形，归根到底“线”、“面”和“体”都是点运动的轨迹，都是由点运动产生的图形． 定义 2.2.5 图形上各点占据空间位置的相互关系称为图形的形状． 定义 2.2.6 如果空间中的两个静止的点占据同一个位置，我们说这两个点重合或合同．空间中的两个图形占据完全相同的空间位置，我们说这两个图形重合或合同． 定义 2.2.7 空间有互不重合的A、B、C、D四个点，调整圆规两脚张开的程度使针尖和笔尖分别和点A、B重合，移动圆规并保持圆规两脚张开程度不变，使针尖和点C重合，如果旋转圆规能使笔尖和点D重合，我们说点A、B之间的距离和点C、D间的距离相等，否则说点A、B之间的距离和点C、D间的距离不相等． 说明： 该定义表明，A、B两点的距离和C、D两点的距离是否相等，需用刚性物体上的两点进行检验． 定义 2.2.8 如果图形上任意两点间的距离都没有变化，我们说该图形的形状没有改变，如果图形上有任何两点的距离发生了改变，我们说该图形改变了形状． 定义 2.2.9 改变图形形状的过程称为图形变化，不改变图形形状仅改变图形空间位置的过程称为图形刚性运动，简称为图形运动． 说明：1.一个孤立点仅能有运动，不能有变化． 2. 图形的变化一定会改变它所占据的某些空间位置，因此图形的变化一定有图形上某些点的运动． 定义 2.2.10 运动到空间任何地方都不改变形状的图形（放置到空间任何地方形状都不变的图形）称为刚性图形，刚性图形的运动称为刚性运动． 说明：1.只有刚性图形在均匀空间（几何空间是均匀的【空间公理】）中才能进行刚性运动． 2.本书所讨论的几乎都是刚性图形的刚性运动，为了叙述的简洁我们通常将刚性图形和刚性运动中的“刚性”省略．对于非刚性图形和非刚性运动我们将特殊标注． 3.我们规定圆规、直尺都是刚体，否则就不能检验某一图形是否是刚性图形，也无法检验空间是否各向同性． 定义 2.2.11 如果一个点从图形F 上的点A处开始运动，在始终和图形F 上的点重合的情况下可以运动到图形上F 的点B处，我们说图形F 上点A和点B是连通的．如果一个图形的任意两点都是连通的，则称该图形是连通的，连通的图形称为一个图形． 说明：1. 前面我们定义了连续图形【定义 2.2.4】，这里我们又定义了连通图形．这是两个不同的概念，所谓连续图形是指：图形的任何两点之间的任何一条路径线经过的所有位置都充满了点，而连通是说两点之间至少有一条路径线经过的所有位置都充满了点． 2. 连续图形一定是连通图形，连通图形却不一定是连续图形，本书讨论的图形，如不特殊说明就是连续图形． 定义 2.2.12 如果孤立点运动过程中两次（或两次以上）经过了同一个位置我们说它的轨迹自相交．否则称其轨迹不自相交． 定义 2.2.13 线和网络
(2) 单线AB上有异于端点A、B的点C，我们说点C位于点A、B之间，也位于点B、A之间（图2.2-1a）． (3) 单线AC除了点C之外的其它点保持不动，点C由位置C运动到线AC之外的位置B得到线AB，我们说延长线AC成AB，也可以说成把线AC延长成AB（图2.2-1a）． (4) 孤立点由位置A运动，经过位置C再运动回位置A（A、C不同位），如果除了点A之外轨迹再无交点，则该轨迹称为闭线（图2.2-1c）．闭线可以用线上的多个不同的点表示也可以用一个小写的花体字母表示． (5) 单线、闭线统称为简单线．简单线以及它们由有限个公共点连接成的图形称为复合线（也称作网络）．简单线和复合线统称为线．连通的复合线（网络），称为一条线或一个网络． (6) 由一条线上两点截下的单线（含此两点）称为线段． 说明：1.点P运动所经过的空间位置没有填满点的图形不是点运动的轨迹，这些位置没有填满点的断续线 [如康托尔(Cantor)三分集构成的图形][23]不是我们定义的线． 2.线段是对截下该线段的整条线或整个网络而言的，只有需要区分整条线或整个网络l 和截得的线段AB时，我们才称截得的单线AB为线段． 定义 2.2.14 点和线依拓扑性质分类： 孤立点运动称为点1阶运动，点1阶运动轨迹上的点P和图形上其它点相连的轨迹数称为点P的轨迹出路数，轨迹出路数用Y表示．如图2.2-2所示，图中 (a) P点的轨迹出路数 Y=0，(b) P点的轨迹出路数 Y=1，(c) P点的轨迹出路数 Y=2，(d) P点的轨迹出路数Y=3．
(2) Y为正整数的点构成的图形是1维图形，即是线或网络，连通的1维图形称为一条线或一个网络． (3) 网络中Y=1的点称为端点，Y=2的点称为中间点，Y≥3的点称为歧点． (4) 由两个端点（Y=1）和中间点（Y=2）构成的图形是单线． (5) 完全由中间点（Y=2）构成的图形是闭线（闭线也可以看成是起点和终点重合在一起的单线）或者是闭合单线．没有端点的简单线，当图形为有限图形时它是闭线，当图形是无限图形时它是一条无端单线． 说明：这里按图形拓扑性质给出的线的定义和定义 2.2.13 完全等价． 定义 2.2.15 在图形运动中，图形上改变位置的点称为运动点（或动点）． 定义 2.2.16 如果空间位置A处有一个点，则称点A为实点，如果位置A处没有点，假想A处有一个点存在，则称点A为虚点． 定义 2.2.17 如果运动中P点和位置Q（或点Q）的距离始终相等，我们说P点和位置Q（或点Q）的距离保持不变． 说明：在没有定义距离之前，我们先定义了距离相等和距离保持不变． 定义 2.2.18 在图形F 运动过程中，如果空间位置A到图形F上任何一点的距离都保持不变，则称位置A为不动位置，不动位置A处有图形F 的点A，则称A为实不动点．不动位置A处没有图形F 的点时，则称为虚不动点A．实不动点和虚不动点统称为不动点． 定义 2.2.19 图形以选出的点（实点或虚点）为不动点运动，所选出的点称为基点． 定义 2.2.20 空间没有不动点（实点或虚点）的运动称为图形的移动．仅有一个不动点A（实点或虚点）的运动称为绕基点A转动．以两个不重合的点A、B（实点或虚点）为不动点的运动称为以点A和点B为基点旋转． 定义 2.2.21 图形F 以点A、B为基点旋转，F 上的任何一个动点P在和初始位置重合之前不和该点的轨迹相重合，我们称该过程为同向旋转．同向旋转动点P从起始位置运动到第一次和起始位置重合的过程称为同向旋转一周． 定义 2.2.22 点P以点A和点B为基点同向旋转一周的轨迹称为圆周，简称为圆． 定义 2.2.23 圆上不重合的两点把圆周分割成的两条单线，每一条单线（包括端点）称为圆弧，简称为弧．如果端点为C、D的弧的中间有一点E，表示为弧CED或(CED，当不至于混淆时可记为弧CD或(CD．圆弧（包括端点）占据的所有位置称为闭弧域． 定义 2.2.24 线l 运动时，如果线l 上的所有点或除了一点P之外的所有点都始终位于l 之前所占据的位置上运动，则称线l 为沿线移动或沿线运动，线l 作沿线运动时，不在线l 上运动的点P称为引导点，如果引导点P始终在线m上运动，我们就说线l 沿线m 移动或沿线m 运动，线沿线运动得到的图形还是线． 定义 2.2.25 以A、B两点为基点旋转一个动点，所形成的圆l 上的弧CD和弧EF．让弧EF以A、B为基点旋转，那么弧EF将沿弧CD运动，设弧EF的引导点为F，且点F由点C进入CD弧，当点F重合于点D时，(1)如果点E和点C重合，我们就说弧CD和弧EF相等； (2)如果E点落在弧CD上，我们说弧CD大于弧EF；(3)如果E点还在弧CD之外，我们说弧CD小于弧EF． 定义 2.2.26 以A、B两点为基点旋转一个动点，所形成的圆l 上不重合的两点C、D把圆周分割成两段弧，其中一段弧上有点E，另一段弧上有点F，如果弧CED和弧CFD相等，则称每个弧为圆l 的半圆，并称点C、D为圆l 的对径点；如果两弧不等，大弧大于半圆称为优弧，小弧小于半圆称为劣弧． 定义 2.2.27 (1) 线l 的轨迹如果不包括线的部分（不能仅断开轨迹上的两点就得到一条和图形其他部分不相交的一条线段），我们就称线l 的轨迹为面，并称线l 为面的成面线． (2) 线l 刚性运动（运动中不改变形状）形成的面F 称为标准面F ，形成标准面的成面线l 称为面F 的母线．非刚性运动形成的面称为非标准面（如螺壳曲面、自然界的山川表面等）． 说明：本书提到的面，如没有特殊说明都是标准面． 定义 2.2.28 a. 空间中到点K（实点或虚点）距离相等的点构成的图形称为球面，简称为球，点K称为球心，这个相等的距离称为半径，球心为K的球记为球K（也可以用球面上的点进行标注或用一个花写的大写字母表示）． b. 以半圆的端点为基点将该半圆同向旋转一周得到的图形称为球面，简称为球． 球面将空间分为三部分，1.球面上的点所占据的空间位置，称为球面．2. 球面内包含球心的空间区域，称为球内区域，简称球内．3.球面外不包含球心的空间区域，称为球外区域，简称球外．球面区域和球内区域整体称为闭球区域，简称为闭球域． 说明：1.上述关于球的两个定义是等价的【定理 2.4.24】． 2. 根据定义b，以半圆的端点为基点将该半圆同向旋转一周得到的图形称为球面，但半圆上的每一点的轨迹都是圆，根据定义a，球面可以绕球心转动，可推出球面上存在闭线圆（对此不再另行证明）． 3.为了避免混淆，球面可以简称为球，球体不能简称为球． 定义 2.2.29 以图形F 上的每一点为球心作相等的球Q这些球的闭球域的并集所覆盖的空间∑[Q]和图形F 所占据的空间[F]的差集（∑[Q]-[F]）称为图形F 的邻域，记为F [Q]．当球Q为很小的球时（但并不趋向于0）形成的邻域称为图形F 的小邻域． 定义 2.2.30 球面F 上一个圆l 将球面分成两部分，每一部分球面（包括圆l ）叫作球冠，圆l 叫作球冠的边缘．如果以圆l 为边缘的球冠上有一点E，那么该球冠表示为球冠l (E）． 定义 2.2.31 球面上有甲、乙两个球冠，以球心为基点使甲球冠在球面上转动，如果两球冠可以重合，那么这两个球冠相等，如果甲球冠的边缘能全部落在乙球冠之内，我们说乙球冠大于甲球冠，也说甲球冠小于乙球冠． 定义 2.2.32 球面上一个圆l 将球面分成甲、乙两个球冠，如果两球冠相等，称每个球冠为半球面，简称半球，半球的边缘线称为球的大圆．如果两球冠不等，大于半球的球冠称为优球冠，小于半球的球冠称为劣球冠． 定义 2.2.33 如果球面F 和球面N 的每一个点都能相互重合（通过移动可以使球面F 上的任何一点都有球面N 上的一个点与之重合且球面N 上的任何一点都有球面F 上的一个点与之重合），我们就说球面F 和球面N 相等． 定义 2.2.34 如果球面F 能够放置于球面N 的内部，且两球无公共点，我们说球F 小于球N （球F ＜ 球N ），也说球N 大于球F（球N ＞ 球F）． 定义 2.2.35 球面F 的球心为点A，点B在球面F 上，点C在球面F 的内部，点D在球面F 的外部，那么点A、B之间的距离大于点A、C之间的距离小于点A、D之间的距离． 定义 2.2.36 如果将球F 以球心O球和球F 上的一点A为基点旋转，球F 上另一个不动点为B，就称点A、B是球F 的一对对极点． 定义 2.2.37 如果两个圆对径点的距离相等我们称这两个圆相等，当两个圆对径点的距离不相等时，我们称对径点间距离大的圆大于对径点距离小的圆． 定义 2.2.38 如果两球没有公共点，当一个球在另一个球的内部的时候，我们说两球内含，当任何一个球都在另一个球外部的时候，我们说两球外离． 定义 2.2.39 如果两球仅有一个公共点K，且一个球除了公共点K之外的所有点都在另一个球的内部，我们说两球内切，如果两球仅有一个公共点K，且每个球除了公共点K之外的所有点都在另一个球的外部，我们说两球外切，外切和内切统称为相切．K点称为两球的切点．两个相等的球，球A（球心为A）和球B（球心为B）两球外切于K，则称点K为A、B两点的等球中切点，简称为中切点． 定义 2.2.40 两个不重合球的公共点多于一个，我们说这两球相交．相交两球的公共部分称为两球的交线．两个相等的球，球A（球心为A）和球B（球心为B）两球的交线，则称为A、B两点的等球交线． 现在来总结一下，两个球的位置关系． (1) 两个球没有交点称为两球分离． ① 有一个球位于另一个球的内部，我们说这两个球内含． ② 每一个球都位于另一个球的外部，我们说这两个球外离． (2) 两个球多于一个交点称为相交，两球公共部分称为交线． ① 所有点都合同，我们说这两个球重合． ② 部分点合同，但合同的点多于一个，我们说两个球相交，相交两球的合同部分称为两球的交线． ③ 两个相等球的交线称为两球心的等球交线． (3) 两个球仅有一个交点称为相切，两球的公共点称为切点． ① 有一个球除切点之外的所有点都位于另一个球的内部，我们说这两个球内切． ② 每一个球除切点之外的所有点都位于另一个球的外部，我们说这两个球外切．
定义 2.2.41 a. 能包括在一个球内的空间部分称为有限区域，否则称为无限区域． b. 能包括在一个球内的图形称为有限图形，否则称为无限图形． 定义 2.2.42 (1) 一条单线移动得到的面或一条单线绕其一端点转动得到的起始线和终止线重合的面，称为单面（图2.2-3 a、b）[习惯上将图2.2-3 b所示的面称为锥侧面]． (2) 一条无端单线从无穷远处非沿线运动到我们这里再运动到无穷远处形成的面或由无端单线上的一点A分出的半条线（包括点A）绕点A转动得到的起始线和终止线重合的面，称为无边单面，也叫无限单面．习惯上称半条无端单线绕端点转动得到的无边单面为无限锥侧面（图中未标出）． 说明：对于由无端单线运动而成的其它各种面我们不再讨论． (3) 一条单线移动得到的起始位置和终止位置重合但没有其它交点的面或者一条闭线移动得到的没有交点的面称为管状面或柱侧面（图2.2-4 a）[包括单面上有一个孔洞的面（图2.2-4 b）]，无端单线形成的柱面称为无端柱面．
(6) 单面、柱侧面和球形面称为简单面．
定义 2.2.43 简单面F 运动，如果，面F 上除了边线的一部分线段l 外的所有的点都在已有面（原F 面和线l 画出的新面）上移动，则称面F 为沿面移动或沿面运动，面作沿面运动得到的图形仍然是面． 说明：1. 有旋转对称轴【定义 2.6.18】的曲面（平面、球面、椭球面、正圆柱侧面、正圆锥面、旋转抛物面、环面等）上的任何一条闭线所圈出的曲面部分，绕对称轴旋转都是沿面移动． 2. 平面部分、球面部分，正螺旋面部分还可以进行非绕对称轴旋转的沿面运动． 定义 2.2.44 面F 运动的轨迹如果不包含面的部分（不能仅断开一条闭线得到一个单面），我们则称面F 运动的轨迹为体，并称面F 为该体的成体面． 定义 2.2.45 JK 是包含图形F 上点K的小球（通常JK是以K点为球心的小球），如果球JK内部任何包含点K的球与图形F 的公共部分的性质和数量（无图形、有点、线或面）都和球JK与图形F 公共部分的性质和数量相同，我们称该小球JK 为K点的定维球． 定义 2.2.46 图形的拓扑分类和图形的维数. (1) 如果图形F 上任何一点在定维球上都无截点（无截点，定义为截点为-1维图形），我们就称图形F 为0维图形．显然图形F 是由点构成的离散图形．图形中的单个点称为孤立点． (2) 如果图形F 上任何一点在定维球上的截图都是有限个0维图形（有限个点），我们就称图形F 为1维图形．1维图形是点运动的轨迹，称为线或网络． 线上在定维球上的截图为1个点（Y=1）的点是端点，截图为2个点（Y=2）的点是中间点，截图为≥3个点（Y≥3）的点是歧点（定义2.2.14）．
(3) 如果图形F 上任意一点K定维球上的截图都是1维图形（有限条线），我们称该图形为2维图形，也称为面或网面，简称为面．它是线运动形成的不再含“线”的轨迹， ① 在定维球上的截图为1条闭线的点 ② 完全由面的内点构成的面称为封闭腔，无端柱面或无边单面（无限单面）．有限的图形是封闭腔，无限的图形是无限单面或无端柱面．封闭腔将空间分割成腔内（有限区域）、腔壁（封闭腔本身）和腔外（无限区域）三个部分．如果腔壁上的任何一条闭线都能把封闭腔分割成不相连（除了该闭线之外再无连接）的两部分，我们称其为球形腔，否则称其为复杂腔（例如环形腔）． ③ 面上的所有边点组成一条闭线的面称单面（如平面的一部分、截圆锥的侧面、球冠等），能得到两条闭线的面称为管状面（如圆柱面、中间带有一个孔洞的单面）．单面、管状面和球形面称为简单面，除此之外的面，称为复杂面或网面． ④ 面M 将每一个内点定维球分成两个腔． ⅰ.任意选出一个定维球，并选定一个腔，将该腔内的M表面涂上第1种颜色，并把所有内点定维球和涂上第1种颜色区域相连的面M的部分都涂上第1种颜色．如果M的表面都涂上了第1种颜色，那么M为单侧面． ⅱ.如果M 的表面没有都涂上了第1种颜色，那么一定能找到有腔体内M 的表面没有涂颜色的定维球，将该腔体内的M 表面涂上第2种颜色，并将与之相连的M 表面都涂上第2种颜色．如果M的表面都涂上了第1种和第2种颜色，那么M为双侧面． ⅲ．如果尚有M的表面没有涂上颜色，那么M是多侧面的复杂面． 简单曲面（单面、圆锥侧面、球形面）、圆柱侧面、环面等都是双侧面，莫比乌斯带是单侧曲面，其它复杂曲面为多侧面． ⑤ 面上由非内点组成的连通图形称为面的边棱，隔开两个侧的边棱称为面的边缘线，边缘线是由边点和孤立的歧点构成的连通图形，但并不是所有由边点构成的连通图形都是边缘线，例如，莫比乌斯带的边棱完全由边点构成，但却不是边缘线，因为该曲面没有边缘线（证明略）．
(4) 图形F 上任何一点在定维球上的截图都是2维图形（有限块面），我们称其为3维图形，3维图形称为体（体也可以定义为封闭腔内充满点的图形）．体是由面运动形成的，不再包含“面”的轨迹． ① 在定维球上的截图为整个球面的点是体的内点，截图为一个闭区域的点是体的边界点．截图为两个或两个以上无交点闭区域的点是体的对顶点（图2.2-9中的A点），截图为两个或两个以上由点连接闭区域的点是体的歧点（图2.2-10中的A点、B点）．
③ 由体的内点充满（占据全部）一个封闭腔内全部空间的体称为实心体． ④将实心体内一个封闭腔中的所有点都清空后剩余点形成的体（一定是体，不得退化成面）称为空心体． 说明：这里定义的3维体，是由点充满封闭腔构成的图形，不包括维数不是正整数3（维数为分数）的海绵体（如谢尔宾斯基“海绵”[24]）．
① 定维球截图上有有限条线同时又有有限个点的点（图2.2-11a，A、B点）称为(1、2)变维点，此点1维一侧的图形为线，2维一侧的图形为面． ② 定维球截图上含有有限个面又含有限个点的点（图2.2-11b，C点）称为(1、3)变维点，此点1维一侧的图形为线，3维一侧的图形为体． ③ 定维球截图上含有有限个面，又含有限条线和有限个点的点（图2.2-11b，B点）称为(1、2、3)变维点，此点1维一侧的图形为线，2维一侧的图形为面，3维一侧的图形为体． ④ 定维球截图上含有限个面又含有限条线的点（图2.2-11b，A点）称为(2、3)变维点，此点2维一侧的图形为面，3维一侧的图形为体． 含有变维点的图形，不是我们定义的线、面或体，而是拼合图形．本书基本不讨论拼合图形． (6) 组成图形的点中如果包括没有定维球的点，该图形是分维图形（维数不为正整数的图形，如断续线、筛网面、海绵体），分维图形是分形几何的研究对象，不在本书研究范围． 说明：本定义给出的是孤立点、线、面和体的具有微观特征的普适定义，它和前面给出的点、线和面的定义并不矛盾． 定义 2.2.47 面F 被面上的线分割开的两部分称为面的区域，分割两个区域的线称为界限．空间中被面分隔开的两部分称为空间区域，分割两个空间区域的面称为界面．当不至于混淆时面的区域和空间区域都可以简称为区域． 定义 2.2.48 (1) 将n维（n=1，2，3）图形上选定的低于n维的部分取走，在原处仍复制出这部分称为拷贝这部分； (2) 将n维（n=1，2，3）图形上选定的n维的部分取走，却复制出该部分和残留图形交界处的低维图形（以保证两个图形的完整性），称为分离出这部分． 定义 2.2.49 (1) 线的端头如果能拷贝一个点，则说线的该端头是点．(2) 面的边缘如果能拷贝一条线，则说面的该边缘是线．(3) 体的边界如果能拷贝一块面，则说体的该边界是面． 说明：欧几里得(Euclid)在《几何原本》给出的定义中，指出的“一线的两端是点”，“面的边缘是线”，“边界是物体的边缘”和“图形是被一个边界或几个边界所围成的”[25]．就是说明，欧几里得(Euclid)几何学中图形是完整的． 定义 2.2.50 (1) 有限的（在有限区域内的）单线是最简单的1维图形．(2) 端头是点的连通单线是完整的线．(3) 用点将完整的单线连接在一起得到的图形仍是完整的线． 定义 2.2.51 (1) 有限的（在有限区域内的）单面是最简单的2维图形．(2) 以完整单线为成面线（母线）运动得到的开始和终止位置都是线的单面是完整的面．(3) 用点或完整的线将完整的单面连接在一起得到的面仍是完整的面． 定义 2.2.52 (1)有限的（在有限区域内的）实心体是最简单的3维图形．(2) 以完整单面为成体面（母面）运动得到的开始和终止位置都是面的实心体是完整的体．(3) 用点、完整的线或完整的面将完整的体连接在一起得到的体仍是完整的体． 定义 2.2.53 如果图形L 的任何一个点都是图形M 的点，而图形M 的任何一个点也都是图形L 的点（图形L 和图形M 占据完全相同的空间位置），我们则说图形L 和图形M 重合．重合的图形实际上就是同一个图形． 定义 2.2.54 如果通过运动能使图形F1和图形F2的所有点都重合（即F1上的任意一点都有F2上的一点与之合同，F2上的任意一点也都有F1上的一点与之合同），我们说图形F1和图形F2可以重合（或可合同）．可以重合的图形相等．可合同图形上的可重合的点称为对应点． 例如，移动图形F2 使之与图形F1合同，图形F2移动前位于位置A2的点移动后和图形F1的A1点合同，我们则说图形F1 上的点A1（位置为A1的点）和图形F2上的点A2（原位置为A2的点）是对应点． 定义 2.2.55 (1) 图形A 和图形B 是同维图形，如果图形A 的点都是图形B 的点，但图形B 的点并不全是图形A 的点，则说图形A 是图形B 的一部分，即图形B 为整体图形A 为部分，记为 B ⊃A 或 A⊂B．当图形A 既可以是图形B 的一部分又可以等于图形B 时，则记为B ⊇A 或 A⊆B． (2) 图形A 和图形B 是同维图形．如果通过运动，图形A 能完全和图形B 重合，但图形B 不能完全和图形A 重合，我们说图形A 等于图形B 的一部分． 说明：图形A是图形B的一部分或等于图形B的一部分的前提是图形A和图形B是同维图形，低维图形不是高维图形的一部分． 定义 2.2.56 (1) 如果图形S 的所有点都在闭球域[ (2) 如果通过刚性移动闭球域[ 定义 2.2.57 无限多个具有整体和部分关系的图形列 S1，S2，S3，…，Sn，…… (Sn+1⊂Sn，且Sn≠Ø) (1*) 称为无限递减图形列，表示为{⊃Sn↘} 定义 2.2.58 球F 的闭球域【定义 2.2.28】包括的所有位置表示为[F ]，如果闭球域[FK]包括闭球域[FJ]的所有位置，则说闭球域[FK]覆盖了[FJ]，表示为[FK]⊇[FJ]或[FJ]⊆[FK]．如果闭球域[FJ]的所有位置都在闭球域[FK]的内部，则说闭球域[FK]包盖了[FJ]，表示为[FK]⊃[FJ]或[FJ]⊂[FK]． 定义 2.2.59 我们将以图形F 上各点为球心所作的等球Q构成的邻域【定义 2.2.29】F [Q]，无限个这样的邻域排成一列 F [Q 1]，F [Q 2]，F [Q 3]，…，F [Q n]，……（Q n+1＜Q n） (1*) 称为无限递减邻域列，表示为{F
[Q
n]↘} 定义 2.2.60 闭球域[F1]内的图形Sn拓扑变换成闭球域[F1]内的图形Sn+1，若Sn+1上任意两点的距离小于Sn对应两点的距离，称图形Sn收缩（拓扑变换是点的连接情况不变的变换），收缩图列， S1，S2，S3，…，Sn，……（Sn＞Sn+1） (2*)， “Sn＞Sn+1”表示图形在逐步缩小（显然变化是非刚性的）．若存在一个闭球域列， [F1]，[F2]，[F3]，…，[Fn]，……（[Fn]⊃[Fn+1]） (2**)，且闭球Fn+1可以覆盖图形Sn+1，但不能覆盖图形Sn（[Fn+1]◎{Sn+1}且[Fn+1] S1，S2，S3，…，Sn，……（Sn＞Sn+1，Sn↘0） (2)． 定义 2.2.61 两个不重合的图形有公共点称为相交，它们的公共点称为交（包括线与线（或面）的交点，面和面的交线，面和面（或体）的交面，体和体的交体），当两个图形各自的一个区域仅有一个接触交点（所谓接触交点是说，两图形再稍微移动一下相对位置，这个交点处交点的数量就会改变的交点）时，我们习惯上称这两个图形（在此区域）相切．相切也属于相交，只不过是相交的特殊情况．例如，两球内切，球和圆外切，两环外切等． 定义 2.2.62 (1) 空间中图形的最高维数【定义 2.2.46】称为空间的维数，空间中可以存在的图形最高维数维3维，所有空间是3维的． (2) 可以使连续图形【定义 2.2.4】存在的空间称为连续空间． (3) 如果空间不能圈定在某个球面之内，我们说空间是无限的． (4) 存在刚性图形和刚性运动【定义 2.2.9】的空间，称为各向同性的空间．
§3 假设、工具和公理 基本假设 我们认定直尺棱的直线特性、圆规两脚张开程度决定的两脚尖端的距离以及膜平面的平面属性不因所处空间位置的不同而改变，也不因外界环境（如温度、压力、光照、辐射和各类场）的不同或内部应力改变而变化．即认为直尺、固定两脚张开程度后的圆规以及膜平面都是绝对刚体． 使用的工具 1.笔：带有可以留下痕迹尖头的物体，通常制成杆状． 2.圆规：将一根一端装有针尖的刚性杆和一根一端装有笔尖的刚性杆的另一端铰接，使装有针尖、笔尖的一端（称为脚）可以开合也可以保持开启程度不变．使用时可以认为它的两个刚性杆有所需的有限长度． 3.直尺：一条边棱为直线的条状物体，使用时可以认为它有所需的有限长度．直尺在定义直线段之后方可使用． 4.膜平面：一个物质的平面，它上面铺有一层可以保留画痕的薄膜（例如纸），使用时可以认为它有所需的有限大的面积．膜平面在定义平面之后方可使用． 工具的用途 1.笔的用途： (1) 在任何一个空间位置标注一个点． (2) 描绘并保留点运动的轨迹． (3) 描绘并保留图形运动轨迹上的点或线． (4) 描绘并保留线和其它图形的交点，描绘并保留面和面（或体）的交线或线上的点，描绘并保留体和体交面上的线或点． (5) 和直尺配合使用，过空间的两点作一条直线． 2.圆规的用途： (1) 检验A、B两点的距离和C、D两点的距离是否相等． 检验方法：调整圆规两脚张开的程度使针尖与点A重合，笔尖与点B重合，固定圆规两脚的张开程度；移动圆规并保持圆规两脚张开程度不变，使针尖和点C重合，旋转圆规看笔尖是否能和点D重合． 结果判定：如果圆规笔尖能和点D重合，我们说点A、B之间的距离和点C、D间的距离相等，否则说点A、B之间的距离和点C、D间的距离不相等．如果点D位于旋转圆规笔尖形成的球面的内部，我们说点A、B之间的距离大于点C、D间的距离，如果点D位于旋转圆规笔尖形成的球面的外部，我们说点A、B之间的距离小于点C、D间的距离． (2) 空间有A、B两点，过点B作一条各点到A点距离相等的单线． 具体作法：调整圆规两脚张开的程度使针尖与点A重合，笔尖与点B重合，固定圆规两脚的张开程度，移动圆规并保持圆规两脚张开程度不变，保留笔尖运动的轨迹，得到一条经过B点的单线． (3) 以点A为球心过点B作一个球． 具体作法： ① 按照2中规定的方法做一条各点到A点距离相等的单线l ； ② 使圆规的针尖和A点重合，在保持(1)中圆规两脚的张开程度不变的条件下，使笔尖带动线l 在空间中转动，保留线l 运动的轨迹，并使该轨迹充满它所能到达的所有位置，得到一个球面． (4) 给出以点A为球心过点P的球A 和以点B为球心过点P的球B 两个球的交线或切点． 具体作法：按(3)规定的方法，以点A为球心过点P作球A，以点B为球心过点P作球B，球A 和球B 如果相交于一个圆，该圆即为所求的交线，球A 和球B 如果相交于一个点，该点即为所求的切点． (5) 作出点P以点A和点B为基点，同向旋转一周的轨迹圆（给出以A点为球心过P点的球A 和以B点为球心过P点的球B 的交线）． 具体作法： 作法一：按(4)规定的方法，得出球A 和球B 的交线． 作法二：取甲、乙两个圆规，使甲圆规的针尖和点A重合，调整甲圆规两脚张开程度使笔尖和点P重合，使乙圆规的针尖和点B重合，调整乙圆规两脚张开程度使笔尖和点P重合，将甲乙两圆规的笔尖粘合在一起，保证甲圆规针尖和A点重合且乙圆规针尖和B点重合的条件下，使粘合在一起的笔尖同向旋转一周，保留笔尖运动的轨迹，得到所求过P点的圆周． (6) 给出以点A为球心过膜平面M 上的一点B的球F 和膜平面M 的交线或切点． 具体作法： ① 使圆规的针尖和A点重合，调整圆规两脚张开程度使笔尖和点B重合， ② 如果笔尖和膜平面M 只有一个交点B，点B即为所求的切点． ③ 保持圆规两脚的张开程度不变的条件下，使笔尖在膜平面M 上转动一周，保留笔尖运动的轨迹，得到所求的交线（圆周l ）． (7) 以膜平面M上A点为圆心，过膜平面M上B点划一个圆． 具体作法： ① 使圆规的针尖和A点重合，调整圆规两脚张开程度使笔尖和点B重合． ② 在保持圆规两脚张开程度不变的条件下，使笔尖在膜平面M 上转动一周，保留笔尖运动的轨迹，得到所求的交线（圆周l ）． (8) 膜平面M上有A、B、C、D四点，求出以A点为圆心，过点B的圆a和以C点为圆心过点D的圆c的交点或切点． 具体作法： 按(7)中规定的作法，在膜平面M上分别划出圆a和圆c，即可获得所求的交点或交线． (9) 膜平面M上有A、B、C、D四点，求出膜平面M上以A点为圆心，过点B的圆a和过C、D两点的直线l 的交点或切点（和直尺配合）． 具体作法： ① 按(7)中规定的作法，在膜平面M上划出圆a． ② 借用直尺在膜平面M上，过C、D两点划直线l． 圆a和直线l 的交点即为所求． 3.直尺的用途： (1) 过空间的两点，使用笔（笔尖）绘制一条直线． (2) 使用笔（笔尖）延长一条直线段． (3) 确定（用笔尖标出）两条相交直线（直线段）的交点． (4) 确定（用笔尖标出）膜平面上直线（直线段）和圆的交点（配合圆规）． 4.膜平面的用途： (1) 在它的表面上绘制并保留平面图形． (2) 在它的表面上绘制并保留三维图形的轴测图． (2) 在它的表面上绘制并保留三维图形在平面上的投影．
公理 公理 2.3.1（空间公理） 1. 几何空间是3维的、连续的、无限的和各向同性的【定义 2.2.62】． 2. 空间中有无限多个位置．任何一个区域都至少有一个位置【定义 2.2.2】． 公理 2.3.2（置点公理） 1.任何一个位置均可以用假想的物体标为一个几何点【定义 2.2.3】（简称为点）．几何点具有下列特征: (1) 点的位置信息可以被感官直接认知，即是可以用确切实数描述（标注）的； (2) 点仅占据一个空间位置，它没有部分，是不能再分割的，它占据的空间的度量值为0，即对于图形的任何度量，点对应的度量值都是0； (3) 点不再具有位置信息之外，物质的任何特性，也不能排它性地占据空间． 说明：如果点a占据了某个空间位置之后，其它点就无法再占据该空间位置，称为点a 排它性的占据空间． 公理 2.3.3（运动公理） 1. 空间【定义 2.2.1】不能运动（即空间位置不能运动），能在空间运动的是物质，能在几何空间运动的是点或由点运动形成的图形【定义 2.2.5】． (1) 运动中图形的形状【定义 2.2.8】不变，能经过途中的所有位置，并可以得到运动的轨迹【定义 2.2.4】． (2) 运动中基点【定义 2.2.19】的位置不变，且图形上任何一点到基点的距离也不变【定义 2.2.17】． (3) 图形可以移动，可以绕一个基点（实点或虚点【定义2.2.16】）转动，也可以绕两个基点（实点或虚点）旋转．但如果点C是绕A、B两点旋转的一个动点，那么任何图形都不能以A、B、C三点为基点运动，而保持自身形状【定义 2.2.8】不变． 2. 在一个封闭腔【定义 2.2.46】Q 内有一个位置A，腔壁上有一个位置B，可以使P点从位置A运动至位置B，划出一条端点为A、B的单线【定义 2.2.13】，并可使该单线AB和封闭腔Q 没有B点之外的交点． 公理 2.3.4（图形公理） 1.（图形连续公理） 几何图形是连续的．连续的n维图形被（n-1）维图形分离出来的n维子图形也是连续的． 2.（图形完整性公理）几何图形是完整的．任何一个图形都至少有一个点，最简单图形【定义 2.2.50～52】是完整的，由完整图形组成的图形也是完整的． 说明：1.该公理是说，孤立点（0维最简单图形）只能整体产生，整体消失；单线（1维最简单图形）的端头是点，不存在端头不是点的有限单线【定义 2.2.50】；单面（2维最简单图形）的边缘是线，不存在边缘不是线的有限单面【定义 2.2.51】；实心体（3维最简单图形）的边界是面，不存在边界不是面的有限实心体【定义 2.2.52】． 2.和该公理等价的结论欧几里得(Euclid)在《几何原本》中以定义的形式给出，它们分别是：一线的两端是点．面的边缘是线．边界是物体的边缘，图形是被一个边界或几个边界所围成的[1]． 3.（刚性图形公理）如果不特殊声明，我们讨论的所有图形都是刚性图形．刚性图形在空间运动过程中并不改变本身的形状． 公理 2.3.5（合同公理） 1. 图形M上有A、B两点，图形N上有C、D两点，调整圆规开启程度使圆规的针尖和笔尖分别和A、B两点重合，保持圆规开启程度不变，移动圆规使针尖和点C重合，转动圆规如果笔尖能和D点重合，则A、B两点间的距离和C、D两点间的距离相等【定义 2.2.7】． 2. 如果A、B两点间的距离和C、D两点间的距离相等，那么移动图形可以使点A、点B分别和点C、点D重合（合同），否则不能分别重合． 3. 如果图形F 能和图形和L 重合，图形L 能和图形和W 重合，那么图形F 一定能和图形和W 重合． 4. 可以重合的两个图形F 和L 任何对应的部分都能重合，就是除了占据的空间位置可能不同之外，其它任何属性都相等． 关于公理的说明： 1．在几何学的新基础中，没有将阿基米德(Archimedes)准则列为公理，这并不是说在本体系中阿基米德准则不成立，恰恰相反，对于建立在新基础上的几何学阿基米德准则是成立的．但是由于阿基米德准则和列出的置点公理1(1)“点的位置信息可以被感官直接认知，即是可以用确切实数描述的”是等价的．既然我们已经将点位置是可以用确切实数描述的列为了公理，就没有必要再将阿基米德准则列为公理了，因此我们将阿基米德准则当成了一个定理，在后面的章节给出． 2. 由于直尺和圆规是最容易得到的绘图工具，在古希腊，欧几里得完成《几何原本》的时候（约公元前300年），整个几何学基本是建立在尺规作图的基础之上的．其实在那个时期著名的学者阿波罗尼奥斯(Apollonius)（约公元前262-前190年）就完成了一部巨著《圆锥曲线论》．在该部著作中详细地讨论了圆锥曲线的各种性质，显然有绘制圆锥曲线的具体要求，后来随着射影几何学的建立和发展这种需求就更加迫切了．由于没有人设计出这种工具，致使这一愿望一直没能实现．现在本书的第二作者潘昊楠先生设计出了一套二次曲线规，该二次曲线规结构简单，可以很方便地划出给定焦点和其它附加条件的二次曲线（包括圆、椭圆、抛物线和双曲线），该二次曲线规已经获得了中国发明专利，专利号为：ZL 2013 1 0601490.6．详见本书附录． §4 基础定理 定理 2.4.1 一个n 维图形上不能缺少有限个小于n维的子图形．即，(1) 线上不能缺少有限个点；(2) 面上不能缺少有限个点或有限条线；(3) 体上不能缺少有限个点、有限条线或有限块面． 证明 孤立点（0维图形）是维数最低的图形，只能整体产生，整体消失，没有比它维数更低的图形了． (1) 假设线l 上某位置P处缺少一个点，在线l 上与位置P相距不远处选一点Q，那么由位置P到点Q仅有一条单线，也就是仅可以分离【定义 2.2.48】出一条缺少端点的单线PQ．根据图形完整性公理，缺少端点的单线不存在，那么单线上就不能缺少一个点．由于任何一条线都可以分离出一条单线，即任何一条线（网络）上都不能缺少一个点．重复上述过程就可以得到线上不能缺少有限个点． (2) ① 假设面M上在位置P处缺少一个点，在面M上位置P的附近一定能找到一点Q，由于面M是连通的，那么在面M 上一定能从位置P到点Q引一条线l ，即在面M上可以拷贝【定义 2.2.48】出一条缺少一点的线l ．根据结论(1)缺少一个点的线不存在，那么面上就不能缺少一个点．重复上述过程就可以得到面上不能缺少有限个点．② 假设面M上缺少一条单线AB，在面M上划一条不经过AB所占据位置的单线CD，在面M上连接位置A和点C，连接位置B和点D，得到一个边缘AB不是线的单面ABDC（如果AC和BD相交，则将C点改为D点，将D点改为C点），即在面M上可以分离出一块边缘不是线的单面．根据图形完整性公理，缺少边缘线的单面不存在，那么面上就不能缺少一条单线．又由于任何一条线都可以分离出一段单线，所以面上就不能缺少一条线．重复上述过程就可以得到面上不能缺少有限条线． (3) ① 假设体W 在位置P处缺少一个点，在体W 位置P的附近一定能找到一点Q，由于体W 是连通的，那么在体W 上一定能从位置P到点Q引一条线l ，即在体W 上可以拷贝出一条缺少一点的线l ．根据结论(1)缺少一个点的线不存在，那么体就不能缺少一个点．重复上述过程就可以得到体不能缺少有限个点．②假设体W 缺少一条单线AB，在体W 上划一条不经过AB所占据位置的单线CD，在体W 内连接位置A和点C，连位置B和点D，得到一个边缘AB不是线的单面ABDC（如果AC和BD相交，则将C点改为D点，将D点改为C点），即在体W 内可以拷贝出一块边缘不是线的单面．根据图形完整性公理，缺少边缘线的单面不存在，那么体就不能缺少一条单线．又由于任何一条线都可以分离出一段单线，那么体就不能缺少一条线．重复上述过程就可以得到体不能缺少有限条线．③假设体W 缺少一块单面N ，那么让单面N 所占据的位置上的虚点【定义 2.2.16】，不沿面N 在体W 内运动到N1处．现在让单面N1沿上述路线逆向运动至位置N ，N1的轨迹就是一个部分边缘不是面的实心体，即在体W 内可以分离出一个边缘不是面的实心体．根据图形完整性公理，缺少边缘面的实心体不存在，那么体就不能缺少一块单面．又由于任何一个面都可以分离出一块单面，那么体就不能缺少一块面．重复上述过程就可以得到体不能缺少有限块面． □ 定理 2.4.2 对于连续的有限图形F 和连续的有限图形W ． (1) 如果有公共点P，那么以点P为球心所作的球中一定既包含图形F 的点又包含图形W 的点．进而图形F 任何一个邻域中都含图形W 的点． (2) 如果图形F 的任何一个邻域内都包含图形W 的点，那么图形F 和图形W 一定有公共点（一定相交）．如果图形F 的外侧或左侧（内侧或右侧）的任何一个邻域内都包含图形W 的点，那么图形F 的外侧或左侧（内侧或右侧）和图形W 一定有公共点． (3) 如果一个图形F 的一个邻域中没有图形W 的点，那么图形F 和图形W 没有公共点（不相交）．如果图形F 的外侧或左侧（内侧或右侧）的一个邻域内都没有图形W 的点，那么图形F 的外侧或左侧（内侧或右侧）和图形W 一定没有公共点． (4) 如果图形F 和图形W 没有公共点（不相交），那么图形F一定有无限多个不含图形W 点的邻域． 证明： (1) 假设图形F 和图形W 有交点，那么图形F 和图形W 就连在了一起，按照我们的定义它们构成了一个图形（可能是拼合图形【定义 2.2.46(5)】），为了讨论方便我们要严格地区分图形上的哪些点属于图形F ，哪些点属于图形W ，并确定两图形的一个公共点P．① 认定点P属于图形W ，在图形F 上任选一点A1，以点P为球心过点A1作一个球Q ，由于点P是图形F 及图形W 的公共点，那么闭球域[Q]中就既有图形F 的点也有图形W 的点．进而有 图形W 的任何一个邻域【定义 2.2.29】中一定有属于图形F 的点（闭球域[Q1]内有属于图形F 的点）．② 认定点P属于图形F ，点A1在图形W 上，我们也可以得出图形F 的每个邻域内一定有属于图形W 的点． (2) 设有限图形F 的一个邻域F [Q 1]内有图形W 的一个点A1，那么一定能找到一个其内部既包含点A1，也包含属于图形F 的一点B1的球Q 1*．对于F 的一个邻域F [Q 2]（Q 2＜Q 1）至少有图形W 的一个点A2在邻域F [Q 2]内，那么一定能找到一个其内部既包含点A2，也包含图形F 的一点B2的球Q 2*．这样不休止地进行下去，就得到一个球列， Q 1*，Q 2*，…，Q n*，……（Q n+1*＜Qn*，且n→∞时，Q n*→0）． 并且当n为确切自然数时，每一个球Qn*中都至少有一个属于图形F 的点和一个属于图形W 的点．由于图形F 是有限的，那么所有的球Q n*都在有限区域内．根据空间公理和置点公理，当n→∞时，球Q n*内至少有一个具有的位置信息的实点Q．假设当n→∞时，球Q n*中并不只有一个实点Q，那么，至少还有异于点Q的一点P，即有P、Q两点的距离大于0（以P点为球心，过Q点的球大于0），这显然和当n→∞时，球Q n*→0相矛盾，该矛盾表明，当n→∞时，球Q n*内并不只有一个实点Q的假设不真，故一定有唯一的一个既属于图形F 又属于图形W 的实点Q属于球Q n*．即有限图形F 和连续图形W 一定有交点．同理可证，图形F 的外侧或左侧（内侧或右侧）的任何一个邻域内都包含图形W 的点，那么图形F 的外侧或左侧（内侧或右侧）和图形W 一定有公共点． (3) 假设图形F 和图形W 有公共点（相交），那么图形F 的任何一个邻域都有属于图形W 的点【本定理(1)】，现在图形F 有一个邻域没有属于图形W 的点，那么图形F 和图形W 没有公共点（不相交），同理图形W 的一个邻域没有属于图形F 的点，图形F 和图形W 也没有公共点（不相交）．同理可证，图形F 的外侧或左侧（内侧或右侧）的一个邻域内都没有图形W 的点，那么图形F 的外侧或左侧（内侧或右侧）和图形W 一定没有公共点． (4) 假设图形F 没有不包括图形W 的点的邻域，那么图形F 的每一个邻域都一定包括图形W 的点，即图形F 和图形W 相交【本定理(1)】．现在图形F 和图形W 不相交，那么就一定有图形F 球Q为常量的邻域不包括图形W 的点．由于Qn+1＜Qn时，F[Qn+1]⊂F[Qn]，那么当邻域F[Qn]内不包含图形W 的点时，邻域F[Qn+1]内不包含图形W 的点，这样的邻域一定有无限多个． □ 定理 2.4.3 (1) 只有简单线l 【定义 2.2.13】才能作沿线运动【定义 2.2.24】，如果作沿线运动的线l 是一条单线，那么引导点P【定义 2.2.24】为单线l 的端点． (2) 线l 沿线运动得到的轨迹仍然是简单线． 证明 (1) 如果线l 能作沿线运动，那么线l 上一定没有歧点，假设线l 上有一个歧点A，那么在歧点A处无论选那两条出路作为进出方向都至少存在一个枝杈，那么无论点A沿那一条路线移动枝杈上的点都将运动至线l 之外，即线l 不能作沿线运动．那么能作沿线运动的线一定是简单线．作沿线运动的线l 上的点的轨迹出路数Y仅可以等于1或2．假设引导点P是中间点（Y=2），现在让点P运动着离开线l 那么点P不能沿P点的任何一条轨迹出路运动，它一定要另辟新路，P点离开线l 时其身后就有两条分杈，那么运动中总有一个分杈上的点会运动至线l 之外，即线l 不能作沿线动．这说明引导点P为中间点的假设不真，即引导点P为单线l 的端点．网络线至少有一个歧点（Y≥3），因此网络线不能作沿线运动． (2) 由于线l 可以作沿线运动，那么l 是简单线【定理2.4.3】． 假如线l 沿线运动中没有引导点，那么线l 上的各点都在原线所占据的位置运动，即运动过程各点不会占据新位置，其运动的轨迹仍然是原线l ，即是简单线．当线l 上有一个引导点引领其余各点沿线运动时，线l 为单线．假设单线l 的原线为单线AB, A、B为端点，点C为线AB上一个非端点，点B为引导点（运动时B点在前，A点在后），带领线l 在线AB上沿线运动， ① 点C可以沿线移动至位置B（此时B点移至原线AB之外）． ② 当点B移动至位置B′，点A移动至位置A′时，点C移动至位置C′．由于线A′B′就是线AB移动过来的，且线AB为刚性图形，那么线A′B′的形状并没改变仍和线AB相同，根据结论①点C′可以沿线移动至位置B′． ③ 将线AB′（端点分别在位置A和位置B′的单线）当作一条原线，让点B′带着线AB′按②的运动重新运动一次，（此时B点移至位置B′处，B′点移至线原线AB′之外B″的位置），点C可以沿线AB′移动至位置B′，并且还可以沿线运动至位置B″，由于点C是任选的，且点A一直在点C后面跟随点C作沿线运动，因此原线AB′仍然是一条可以沿线运动的线． ④ 假设原线AB沿线运动过程轨迹上的一点和原线或轨迹的其它点相交成一个歧点，得到一条有歧点的线m ，根据结论③线m仍然是可以沿线运动的线，根据结论(1) 线m应当是简单线．这和原线AB沿线运动轨迹有一个歧点的假设相矛盾．那么原假设不真，即线沿线运动的轨迹仍然是简单线． □ 说明：能作沿线运动的线是很少的，没有引导点的闭线是圆周，有引导点的单线有直线段（直线的定义后面给出）、空间正圆柱螺旋线和圆弧．前两者沿线运动的轨迹不和原线相交，后者引导点和原弧线的另一端相交成圆周． 定理 2.4.4 (1) 球F 和球F1相等，移动球F1球使两球心重合，那么这两个球重合．(2) 一个球有一个球心且仅有一个球心． 证明 (1) 移动球F1使球F1的球心重合于球F 的球心点O，由于两球相等，那么两球至少有一个公共点P（合同公理1）,即点P既在球F 上又在球F1上，因而以点O为球心过点P所作的球就既是球F 又是球F1，因此球F 和球F1重合． (2) 空间中到点K距离相等的点构成的图形称为球，点K称为球心【定义 2.2.28】，因此球一定有一个球心．假设球F 的球心为点K，下面我们来证明和点K不重合的一点P不能也是球F 的球心．以点P为球心作和球F 相等的球F ′，使点P带动球F ′移动（移动时保持P点到球面的距离不变）直至点P和点K重合，此时球F ′和球F 重合．由于K点和P点原来不重合，运动了一段路程之后才重合，那么球F ′也是运动了同样的路程后才与球F 重合，那么移动前点P不是球F 的球心．即球F 仅有一个球心．□
证明 设球F 的球心为点A，球F1的球心为A1,且球F 和球F1相等，设球R 的球心为点B,球R1的球心为B1,且球R 和球R1相等，如果点A、B之间的距离等于点A1、B1之间的距离．球F 和球R 构成图形W，球F1和球R1构成图形W1．移动图形W1，使点A1重合于点A，点B1重合于点B（图2.4-1）．由于球F 和球F1相等，就有球F 和球F1重合【定理 2.4.4】．同理，球R 和球R1重合．两对球分别重合那么它们的公共部分（如图中的交圆l 和l 1）也重合． □ 说明：该定理说明对于由球组成的图形从它处移动到本处（图形W1）和在本处按定义直接绘制的图形（图形W）一定重合． 定理 2.4.6 (1)不相等的两个球一定不能重合； (2)球心不重合的两个球，一定不能重合． 证明 (1) 假设球A 和球B重合，那么球A 和球B一定相等．现在球A 和球B不相等，那么这两球不能重合． (2)假设球A 和球B 两个球相等，球心分别为点A和点B（点A和点B不重合），将球心A连同球面A 一同运动，使点A运动至位置B与点B重合．那么移动后的球面A 和球B 重合．现在使球A 沿来时的路径退回原处，那么球面A就一定有一点要移到球B的外部，也就是球心分别在不重合的两点A、B的两个相等的球，球A上至少有一点在球B之外，即这两个球不重合．综上所述两个不相等的球不能重合，两个相等的球球心不重合时也不重合，即任何两个球心不重合的球都不能重合．□ 定理 2.4.7 以点A和点B为基点将动点P同向旋转一周的轨迹是唯一的到基点距离相等的一条闭线——圆k．且圆k和点P的旋转方向无关．
定理 2.4.8 球A和球B不重合，且它们的公共点多于一个点K（图2.4-3），那么， (1) K点是以A、B两点为基点旋转的动点． (2) 点K以A、B两点为基点同向旋转一周的轨迹圆k 是这两个球的交线，且除圆k 之外两个球再无公共点，即交圆k是唯一的． (3) 圆k 上的弧可以沿圆k 作沿线移动．
(2) 因为点K是球A 和球B 的交点，当点K以点A和点B为基点同向旋转一周得到闭合曲线是圆周k【定理 2.4.7】，那么圆周k 上的任意一点F到A点的距离等于点K到点A的距离，且点F在球面A 上．同理点F在球面B 上．即点F位于两球公共部分．由于点F是在圆周k上任选的，那么圆k 上的任意一点都位于两球公共部分．即点K以A、B两点为基点同向旋转一周的轨迹圆k 是这两个球的公共部分．该公共部分称为两球的交线．假设空间中有一点E 不是球A 和球B 的交点，即不在圆k上，那么它要么不在球A 上，要么不在球B 上，即球A 和球B 的交线圆k 是唯一的． (3) 由于弧JF是圆k 的一截段，弧JF上的各点都在圆k 上，故当弧JF以A、B两点为基点旋转时弧JF各点都在圆k上运动，即圆k 上的弧可以在圆k 上沿线运动 □ 说明：该定理(3)表明圆周或它的截段(圆弧)可以沿线运动． 定理 2.4.9 (1) 如果以圆l 上的一点P为球心所作的球F0和圆l 仅有唯一的一个公共点Q，那么P、Q两点是圆l 的对径点【定义 2.2.26】． (2) 如果P、Q两点是圆l 的对径点,那么以点P为球心过点Q作球F0与圆l 仅有唯一的一个公共点Q． (3)以圆l 的劣弧AQB的端点B为球心，过端点A作球FB，那么劣弧AQB在闭球域FB之内（[F B]◎{弧AQB}）． 证明 (1) 以点P为球心作球F1与圆l 交于A、B两点（图2.4-4），则点P、A和点P、B之间距离相等，因为左侧弧PA和右侧弧PB均不为优弧，故左侧弧PA和右侧弧PB相等【定义 2.2.25】．如果以点P为球心的球F0仅与圆l 有一个公共点，那么左侧弧PAQ和右侧弧PBQ相等．故左侧弧PAQ和右侧弧PBQ均为半圆，即P、Q两点为圆l 的对径点．
弧PAQ′＜弧PBQ′，PAQ″＞弧PBQ″，即球不经过点Q．球心相同的球F0和球Q 都过点Q′应当重合，不都过点Q不能重合，这显然是矛盾的，那么以点P为球心过点Q的球与圆l 仅有唯一的一个公共点Q． (3) 由于点B在圆l 上，弧AQB是劣弧，那么以点B为球心过点A的球FB 一定和圆l 有另一个交点C，则有弧AQB等于弧BPC．那么，整条弧AQB和整条弧BPC都在球FB 的闭球域之内，即劣弧线AQB在球FB 的闭球域之内． □ 说明：该定理是说，如果以点P为球心和圆l 仅有一个公共点（相切）的球存在的话，那么该公共点Q是点P的对径点，并且如果点Q是点P的对径点的话，那么以点P为球心过点Q的球和圆l 仅有一个公共点（切点）．但该定理并不说明圆l 上的点P的对径点一定存在，也没有说明以点P为球心和圆l 仅有一个公共点（相切）的球一定存在，这两点一定存在的证明将由定理 2.4.11给出． 定理 2.4.10 无限趋0图形列{⊃Sn↘0} 证明 根据图形完整性公理1，当n→∞时，图形Sn上至少有一个具有的位置信息的实点Q．假设当n→∞时，图形Sn上并不只有一个实点Q，那么，至少还有异于点Q的一点P，即当n→∞时，图形Sn→0时，Q、P两点同时位于图形Sn上，这显然和当n→∞时，图形Sn→0相矛盾，该矛盾表明，当n→∞时，图形Sn上并不只有一个实点Q的假设不真，故一定有唯一的一个具备各Sn都具有的位置信息的实点Q，属于所有一切图形Sn． □ 定理 2.4.11 (1) 圆l 上的一点P 一定有唯一的一个对径点Q． (2) 以圆周l 上一点P为球心过其对径点Q的球一定和圆l 相切于Q点． 证明 (1) ① 以点P为球心作球F1，交圆l 于A1、B1两点，并使弧A1QB1为劣弧（图2.4-5），以点B1为球心过点A1作球W1，那么球W1覆盖劣弧A1QB1【定理 2.4.9】． ② 在劣弧A1QB1上取一点A2，以点P为球心过点A2作球F2，若球F2和圆l 仅有一个交点，即弧PA1A2等于弧PB1A2【定理 2.4.9(1)】，则点A2为点P的对径点（点P的对径点找到，仅需再证它是唯一的）．如果球F2和圆l 有A2、B2两个公共点，则以点B2为球心过点A2作球W2，那么球W2覆盖劣弧A2QB2．
(A1B1，(A2B2，…，(AnBn，…… [(An+1Bn+1⊂(AnBn] (1*)． 有球列W3，W3，W3，…，W3，……（Wn+1＜Wn） (2*)． 根据球列(2*)作法可知，[Wn+1]◎{(An+1Bn+1}，[Wn+1] ④ 如果Q是由弧列(1*)确定的，那么根据定理2.4.10对径点Q是唯一的．如果Q是第m步选得的，那么对径点Q是唯一的【定理 2.4.9】．因此P点的对径点Q是唯一的，即是以P点为球心和圆l 相切球的切点． (2) 本定理(1)证明了圆周l 上一点P的对径点Q一定存在，那么根据根据定理 2.4.9(2)以点P为球心过其对径点Q的球F0和圆l 仅有唯一的一个交点Q，即球F0和圆l 相切于Q点． □ 说明：该定理说明，对于给定圆l 上的一点P一定有唯一的一个对径点Q，该对径点Q我们可以通过以P点为球心和圆l 相切球的切点得到，且可以作出．我们可以利用可以获得切点来证明有关的定理．等到我们定义了“直线段”和圆“直径”之后，我们能很方便地，准确地找出该对径点． 定理 2.4.12 已知球F 的球心为O，空间有一点A． (1) 如果点A不和球心O重合，那么以点A为球心包含球F 且和球F 内切的球FK是球心为A与球F 有交点的最大球．
证明 (1) 以点A为球心作球F1与球F 相交于圆l 1．假设球 F1就是以点A为球心和球F 有交点球中的最大者（大球）．由于球F1与球F 相交于圆l 1，那么球冠l 1(K)上除边缘l 1外的所有点都在球F1的外部．在球F1之外的球F 上取一点C（图2.4-6），以点A为球心过点C作球F2，那么球F2 ＞球F1，这说明假设球F1是和球F 有交点球中的最大者不真，即任何以点A为球心和球F 相交于一个圆的球都不是以点A为球心和球F 有交点球中的最大者（不是大球）．即如果最大球和球F 不重合，最大球和球F 的交点就不能多于一个（多于一个交点时两球相交于一个圆）【定理2.4.8】．由于点A不和点O重合，那么最大球和球F 不能重合【定理 2.4.6】，所以以点A为球心和球F 有交点球中的最大的一个球就一定和球F 仅有一个公共点（相切）．即最大球FK和球F 相切于K点，并把球F 包含于其中． (2) 假设球F1就是以点A为球心和球F 有交点球中的最小者（小球）．由于球F1与球F 相交于圆l 1，那么，球冠l 1(Q)上除边缘l 1外的所有点都在球F1的内部．在球F1之内的球F 上取一点D（图2.4-6），以点A为球心过点D作球F3，那么球F3 ＜球F1，这说明假设球F1是和球F 有交点球中的最小者不真，即任何以点A为球心和球F 相交于一个圆的球都不是以点A为球心和球F 有交点球中的最小者（不是小球）．即最小球和球F 的交点不能多于一个（多于一个交点时两球相交于一个圆【定理2.4.8】）．由于点A不在球F 上，那么最小的一个球就一定和球F 仅有一个公共点（相切）．即最小球FQ和球F 相切于Q点,且当点A在球F 内时，球FQ和球F 内切，当点A在球F 外时，球FQ和球F 外切． □ 说明：该定理是说，如果以点A为球心的球和球心为O的球F 有公共点的球中，有最大的一个（当点A不和点O重合时），那么就有以点A为球心的球FK和球F 相切于K点，并将球F 包含在球FK内．如果以点A为球心的球和球心为O的球F 有公共点的球中，有最小的一个（当点A不在球F 上时），那么就有以点A为球心的球FQ和球F 相切于Q，但并不将球F 包含在球FQ内．但该定理并不说明这个最大球和最小球存在，即也没有证明以A点为球心和球F 相切的球一定存在，这两点一定存在的证明将由定理 2.4.14和定理 2.4.15 给出．
证明 设球F 的球心为点O．由于点A在球F 上，又因为球冠l (Q)为劣球冠，以点A为球心过A点圆l 上的对径点B的球为球W（图2.4-7），那么点B是以球心A和球心O为基点旋转的动点，即球F 和球W相交于过B点的圆k，则球F 的球冠k (A)在闭球域[W]内．对于球F 有 k(A)⊃l (Q)，那么球冠l (Q)在闭球域[W]内，即[W]◎{l (Q)}．□ 定理 2.4.14 已知球心为O的球F 和不和点O重合的一点P，那么以P点为球心和球F 有公共点的球中一定有唯一一个最大的球，即有唯一一个以P点为球心和球F 相切的大球． 证明 由于点P不和球F 的球心O重合，那么以下的论述成立： (1) 以点P为球心作球F1，交球F 于圆l 1，并使球冠l 1(Q)为劣球冠（图2.4-8），在圆l 1上任取一点A1那么在圆l 1上一定能找到点A1的对径点B1【定理 2.4.11】，以点A1为球心过点B1作球W1，那么球W1覆盖劣球冠l 1(Q)【定理 2.4.13】．
(3)仿照(2)在劣球冠l 2(Q)上取一点A3，以点P为球心过点A3作球F3，如果球F3和球F 仅有一个公共点，那么球F3为所求的最大球，仅需再证明它的唯一性．如果球F3不是所求的最大球，可得球W3，并有球W3覆盖球冠l 3(Q)．…… 如此下去，要么得到所求的最大球，要么得到球冠列 l 1(Q)，l 2(Q)，…，l n(Q)，…… （l n+1(Q)⊂l n(Q)） (1*)． 有球列W1，W2，W3，…，Wn，……（Wn+1＜Wn） (2*)． 且不论事先给定的球Q ε多么小，都能找到一个自然数N当n＞N时，球Q ε＞Wn，即能覆盖任何一个球冠l n(Q)，那么就有当n→∞时，l n(Q)可以被→0的闭球域所覆盖．即图形列(1*)是一个无限趋0图形列【定义 2.2.57】．因此，当n→∞时，有唯一的一点Q属于球冠列中的一切球冠l n(Q)【定理 2.4.10】，那么以P点为球心过Q点的球FQ就是所求的最大球．由于球面中间没有空隙，点Q就是球F 上的实点【定理 2.4.1】，即当点P不和球F 的球心O重合时，以点P为球心和球F 有交点的球中一定有最大的一个FQ．即以不和已知球球心重合的点为球心有一个球和已知球相切于Q点，并将已知球包括在其内部（称为已知球的含球内切球）． (4) 如果Q是由球冠列(1*)确定的，那么根据定理2.4.10点Q是唯一的．如果Q是第m步选得的，那么根据定理2.4.12点Q是唯一的．即是以P点为球心和球F 有交点的球中一定有唯一一个最大的球，该球就是球F 的含球内切球． □ 说明：该定理说明，以不和已知球F 的球心重合的一点P为球心有唯一的一个包含球F 并和球F 相切于Q点的球FQ．即我们可以依据球FQ能作出，切点Q能获得，来证明有关定理．等我们定义了“直线段”和球“直径”之后，我们能很方便地求出Q点． 定理 2.4.15 已知球心为O的球F 和不在球F 上的一点P，那么以P点为球心和球F 有公共点的球中一定有唯一一个最小的球，即有唯一一个以P点为球心和球F 相切的小球． 证明 由于点P不在球F 上，那么以下的论述成立： (1) 以点P为球心作球F1，交球F 于圆l 1，并使球冠l 1(Q)为劣球冠（图2.4-9），在圆l 1上任取一点A1那么在圆l 1上一定能找到点A1的对径点B1【定理 2.4.11】，以点A1为球心过点B1作球W1，球W1覆盖球冠l 1(Q)【定理 2.4.13】．
(3)仿照(2)在劣球冠l 2(Q)上取一点A3，以点P为球心过点A3作球F3，如果球F3和球F 仅有一个公共点，那么球F3为所求的最小球，仅需再证明它的唯一性．如果球F3不是所求的最小球，可得球W3，并有球W3覆盖球冠l 3(Q)．…… 如此下去，要么得到所求的最小球，要么得到球冠列 l 1(Q)，l 2(Q)，…，l n(Q)，…… （l n+1(Q)⊂l n(Q)） (1*)． 有球列W1，W2，W3，…，Wn，……（Wn+1＜Wn） (2*)． 且不论事先给定的球Q ε多么小，都能找到一个自然数N当n＞N时，球Q ε＞Wn，即能覆盖任何一个球冠l n(Q)，那么就有当n→∞时，l n(Q)可以被→0的闭球域所覆盖．即图形列(1*)就是无限趋0图形列【定义 2.2.57】．因此，当n→∞时，有唯一的一点Q属于球冠列中的一切球冠l n(Q)【定理 2.4.10】，那么以P点为球心过Q点的球FQ就是所求的最小球．由于球面中间没有空隙，点Q就是球F 上的实点【定理 2.4.1】，即当点P不在球F 上时，以点P为球心和球F 有交点的球中一定有最小的一个FQ．即以不在已知球上的一点为球心有一个球和已知球相切于Q点，且不能将已知球包括在其内部（称为已知球的不含球相切球）． (4) 如果Q是由球冠列(1*)确定的，那么根据定理2.4.10点Q是唯一的．如果Q是第m步选得的，那么根据定理2.4.12点Q是唯一的．即以不在球F 上的P点为球心和球F 有交点的球中一定有唯一一个最小的球，该球就是球F 的不含球的相切球．当点P在球F 内部时两球相内切，当点P在球F 外部时两球相外切．□ 说明：请参阅定理 2.4.14后面所列的说明． 定理 2.4.16 空间有不重合的P1、P2两点，存在两个分别以点P1和点P2为球心的相等球相互外切，并且这对球和它们的切点（称为等球中切点）都是唯一的． 证明 (1) ①以点P1为球心作球F1，使点P2为位于球F1的外部，以点P2为球心作和球F1相等的球F1′，设球F1和球F1′相交于圆l 1（图2.4-10）．显然圆l 1把球F1和球F1′都分成两个球冠，并且位于另一个球内部的球冠都是劣球冠，我们称这两个劣球冠形成的球形腔为铁饼状闭区域[饼l 1]，简记为[l 1]．在圆l 1上任取一点A1，那么在圆l 1上一定能找到点A1的对径点B1【定理 2.4.11】，以点A1为球心过点B1作球W1，那么球W1覆盖以l 1为边缘的每一个劣球冠【定理 2.4.13】，因此也覆盖[l 1]． (2) 以点P1为球心，过[l 1]内任意一点作球F2，以点P2为球心作和球F2相等的球F2′．那么有以下三种可能：
ⅱ 球F2和球F2′仅有一个交点Q，即球F2和球F2′相切于Q点，这时我们找到了以点P1为球心和以点P2为球心的两个相等、相切的球及其切点Q，剩下就仅需要证明这两个球和它们切点的唯一性了． ⅲ 球F2和球F2′相交于圆l 2，这时我们得到铁饼状闭球域[l 2]，那么[l 1]＞[l 2]．在圆l 2上任取一点A2，那么，在圆l 2上一定能找到点A2的对径点B2【定理 2.4.11】，以点A2为球心过点B2作球W2，那么球W2覆盖[饼l 2]不覆盖[饼l 1]，且有W2＜W1． (3) 按(2)的规则继续做，要么得到以点点P1为球心和以点P2为球心的相等、相切的球和切点Q，要么得到饼状闭区域[l 3]和覆盖[l 3]的球W3．……，如此下去，要么得到所求的相等相切球和切点，要么得到闭铁饼域列和覆盖球列， [l 1]，[l 2]，[l 3]，…，[l n]，……（[l n+1]＜[l n]） (1*)． 并有球列W1，W2，W3，…，Wn，……（Wn+1＜Wn） (2*)． 且不论事先给定的球Q ε多么小，都能找到一个自然数N，使得当n＞N时，球Q ε＞Wn恒成立，那么Wn缩小着趋向于0（Wn↘0）．由于Wn覆盖[l n]，即图形列(1*)为收缩趋0图形列【定义 2.2.60】．因此，当n→∞时，有唯一的一点Q属于闭铁饼域列中的一切闭铁饼域【定理 2.4.10】，即以P1点为球心过Q点的球F 和以P2点为球心过Q点的球F ′相切于Q点．由于球面中间没有空隙，点Q就是球F 和球F ′上的实点【定理 2.4.1】，即对于不重合的两点P1和P2，一定有以P1点为球心和以P2点为球心的两个相等并相切于Q点球．
说明：请参考定理 2.4.14后面所列的说明．
证明 由于点A1和点A2不重合，因此1#球和2#球不重合【定理 2.4.6】，又由于点K是不重合的1#球和2#球的公共点，如果两球的交点多于一个点，那么点K为以A1、A2两点为基点进行旋转时的动点【定理 2.4.8】，现在点K是以A1、A2两点为基点进行旋转的不动点，那么1#球和2#球的公共点就不能多于一个．即这两个球仅有一个公共点K（相切于K点）．两球的关系仅有一个球面除公共点K之外的点都在另一个球的内部（相内切，图2.4-11）或每一个球面除公共点K之外的点都在另一个球的外部（相外切，图2.4-12）这两种情况． □ 定理 2.4.18 如果点A1和点A2 不重合，且以点A1为球心的1#球和以点A2为球心的2#球相切于K点（仅有一个公共点K），那么点K是以A1、A2两点为基点进行旋转时的不动点，不能成为1#球和2#球切点的点就是以A1、A2两点为基点进行旋转时的动点． 证明 点K是以点A1为球心的1#球和以点A2为球心的2#球的切点（1#球和2#球仅有一个交点K），那么点K既在1#球上又在2#球上．假设点K是以点A1、A2为基点旋转的动点，那么在点K以点A1、A2为基点同向旋转一周时，K点的轨迹是一个圆【定理2.4.7】．现在1#球和2#球的交点仅是一个点，而不是一个圆，那么点K就不是以点A1、A2为基点旋转的动点，即点K是以A1、A2 两点为基点进行旋转时的不动点．对于空间中的一个不能成为以点A1为球心的1#球和以点A2为球心的2#球切点的点P，假设点P为是以A1、A2两点为基点进行旋转时的不动点，那么P点就一定是某一对1#球和2#球的切点【定理 2.4.17】，这显然是矛盾的，故不能成为1#球和2#球切点的点就是以A1、A2两点为基点进行旋转时的动点． □ 定理 2.4.19 以不重合两点A1、A2为基点对图形作旋转时的不动点构成的图形仅和基点A1、A2的位置有关，和选定的旋转图形无关． 证明 点A1、A2不重合．如果以点A1、A2为球心经过位置P的两球彼此相切于P点，那么位于位置P的点P为以点A1、A2为基点对某一个图形进行旋转时的不动点（实点或虚点）【定理 2.4.18】．如果以点A1、A2为球心经过位置P的两球彼此不相切，那么位于位置P的点P为以点A1、A2为基点对某一个图形进行旋转时的动点（实点或虚点）【定理 2.4.18】．显然以基点A1、A2为球心过位于位置P的球是否彼此相切，仅仅和基点A1、A2所在的位置以及位置P有关，和选择的旋转图形没有关系，也和旋转图形是否经过位置P，即点P是否是图形上的点（点P是否是实点）也没有关系．综上所述，以不重合两点A1、A2为基点对图形作旋转时，不动点构成的图形仅和所选的基点有关，和选定的旋转图形无关． □ 说明：根据本定理，今后我们在讨论旋转不动点构成的图形时，可以仅指明它是由以那两个点为基点旋转产生的，而不必再指出具体的旋转图形，但需要时我们可以讨论任何图形的旋转情况． 定理 2.4.20 用不动点替换旋转过程的基点，不改变图形S 刚性旋转的轨迹． 证明： (1)设K是图形S 上的一个动点，连单线A1K．以两个不重合的点A1、A2为基点对单线A1K（K表示原位于位置K的一个动点） （2）下面我们来证明在用一个不动点替换一个基点再旋转过程中不动点的轨迹也不改变所占据的空间位置（仍然为不动点）．假设在将旋转基点由点A1、A2转变成点A1、C后再旋转时，点D原为不动点后转换成了动点．由于转换过程是可逆的，那么当我们再将旋转基点由点A1、C转变成点A1、A2时，点D将由动点变成不动点．这显然和已经证明了的结论（1）相矛盾， 因此用不动点替换一个旋转基点之后再旋转，任何一个不动点都还是不动点． （3）由于用一个不动点替换一个基点再旋转图形S ，空间中的动点和不动点（实点和虚点）的轨迹都不改变所在（或所经过）的空间位置，那么整个图形S 的运动轨迹也不改变所占据的空间位置．当我们再用一个不动点替换另一个基点再旋转，图形S的运动轨迹仍不改变所占据的空间位置．即当我们将两个基点都换成其它不动点后再旋转，图形S 的轨迹和空间中的动点或不动点（实点和虚点）都不会改变它们所占据（或经过）的空间位置． □ 推论 如果点O是以点A和点B为基点旋转的不动点，那么点A是以点O和点B为基点旋转的不动点，点B也是以点O和点A为基点旋转的不动点． 定理 2.4.21 已知球F，以球F 上的一点A为球心作球F1切球F 于B点（图2.4-14），那么点A和点B是球F 的一组对极点．
定理 2.4.22 已知点A和点B是球F 的一对对极点，那么以点A为球心过点B的球F1 和球F 相切于B点（图2.4-14）． 证明 设球F 的球心为O，由于点A和点B是球F 的一组对极点，那么点B就是以点A和球心O为基点旋转的不动点【定义 2.2.36】．即以点A为球心过B点的球和球F 相切于B点【定理 2.4.17】． □ 定理 2.4.23 点A、B是以点O为球心的球F 的一对对极点，那么，(1)球心O为以点A、B为基点旋转的不动点，(2)球面F 上两端点均为对极点的单线AB，以A、B为基点同向旋转一周的轨迹是球F . 证明 (1) 因为点A和点B是球心为O的球F 的一对对极点，因此点B是以A点和O点为基点旋转的不动点，即点O是以A点和B点为基点旋转的不动点【定理 2.4.20 推论】． (2) 单线AB在球面F 上，那么单线AB上的任意一点到球心O的距离都相等（图2.4-15）．让单线AB以点A、B为基点旋转，由于球心O为旋转不动点，那么单线AB上的任意一点到球心O的距离保持不变，即单线AB的轨迹在球面F 上．设点Q在球面F 上，让点Q以点A、B为基点同向旋转一周，那么Q点的轨迹圆k 在球面F 上．由于点A、B为旋转的基点，那么圆k 一定和单线AB有一个交点S．当单线AB以点A、B为基点同向旋转一周时一定经过点Q，因此球面F 上的任何一点都一定被单线AB的轨迹所覆盖，那么单线AB以点A、B为基点同向旋转一周时覆盖整个球面F □
(1) 将圆l 以对径点A、B为基点旋转半周,那么圆l 和原来的圆l 重合．
(3) 球F 上过对极点A、B的圆是球F 的大圆． (4) 球F 的对极点A、B就是大圆l 的一组对径点． (5) 半圆l 以它的两个端点A、B为基点同向旋一周的轨迹是以圆l 为大圆的一个球． 证明 在球心为O的球F 上取一点A，以点A为球心作球F1和球F 相切于B点，那么点B为以点A和球F 的球心O为基点旋转的不动点【定理 2.4.18】，即点A和点B是球F 的一组对极点【定义 2.2.36】．以点B为球心过点A作球F2，那么球F2和球F 相切于A点【定理 2.4.22】．设球F1和球F2相交于圆k，在圆k上任取一点C，以点C为球心作球F4切圆k 于D点，那么点C和点D是圆k 的对径点【定理 2.4.11】，即有圆k 的虚线半圆CD等于实线半圆CD．以点C为球心过点A作球F3，由于B、C两点间的距离等于B、A两点间的距离，等于A、C两点间的距离，那么点B在球F3上．以点D为球心过点A作球F5，那么F5经过点B（图2.4-16）．将图2.4-16中的全部图形以点A和点B为基点整体同向旋转半周，那么，① 圆k 位置不变但实线半圆和虚线半圆位置互换，即点C和点D位置互换（圆k 是动点C,以点A、B为基点旋转的轨迹【定理 2.4.8】，虚线半圆CD等于实线半圆CD）；② 点A、B位置不变，球F 位置不变（球心O为A、B两点的等球中切点【定理 2.4.27】，点O为以点A、B为基点旋转的不动点）；③ 球F3和F5位置互换，且球心位置互换；④ 圆l 位置不变，实线半圆和虚线半圆位置互换，球F 左右半球位置互换． 那么就有， (1) 圆l 以点A、B为基点旋转半周后和原来的圆l 重合； (2) 过对极点A、B的大圆l 将球F 分成左右两个半球，球F 绕其对极点A、B旋转半周，左半球旋转后和原球右半球重合，右半球旋转后和原左半球重合． (3) 由于球F 被圆l 分成的两个半球可以重合，那么过对极点A、B的圆l 是球F 的大圆． (4) 由于圆l 的实线弧AB和虚线弧可以重合（都是半圆），那么球F 的对极点A、B就是圆l 的一组对径点． (5) 由于圆l 的实线半圆的各点都在球面F 上，且它的端点A、B是球F 的对极点，那么圆l 的实线半圆以点A、B为基点同向旋转一周的轨迹就是以圆l 为大圆的球F 【定理 2.4.23】． □ 说明：该定理表明，定义2.2.28中关于球定义的a、b两种表述方法是等价的． 定理 2.4.25 大圆是球面上最大的圆．
定理 2.4.26 空间有不重合的两点A、B，那么一定存在一个以A、B为对极点的球F． 证明 对于空间不重合的两点A、B，一定可以找到以点A为球心和以点B为球心的两个相等且相切的球F1和F2，它们的等球中切点为O【定理 2.4.16】．以点O为球心，过点A作球F（图2.4-18），由于O、A两点间的距离等于O、B两点间的距离，那么点B在球F 上．由于以点A为球心的球F1和以点B为球心的球F2相切于O点，那么点O是以点A和点B为基点旋转的不动点【定理 2.4.18】，用不动点替换基点，那么点B是以点A和点O为基点旋转的不动点【定理 2.4.20】，即点A和点B是球F 的一对对极点【定义 2.2.36】． □ 定理 2.4.27 已知以O为球心的球F 上有一组对极点A、B（图2.4-18），那么， (1) 分别以点A和点B为球心作两个相等的球F1和球F2相外切．那么，切点（等球中切点）为球F 的球心O点． (2) 分别以点A和点B为球心过点O作球F1和球F2，那么，球F1和球F2两球相等，且相切于O点． 证明 (1) 设球F 的球心为点O．假设球F1、F2和球F 不相等，那么仅有两种情况，① 球F1、F2都大于球F ，由于球F1、F2的球心A、B都在球面F 上，那么，点O在球F1内部，也在球F2的内部，那么两球多于一个公共点，两球相交而不相切【定理 2.4.8】．② 球F1、F2都小于球F ，由于球F1、F2的球心A、B都在球面F 上，那么，点O在球F1外面，也在球F2外面．以点A为球心过点O作球F1′，以点B为球心过点O作球F2′，那么，球F1′和球F2′外切于O（点O是以对极点A、B为基点旋转的不动点【定理 2.4.23】），那么球F1′上除切点O之外的所有点都在球F2′之外，球F2′上除切点O之外的所有点都在球F1′之外．现在球F1在球F1′的内部，球F2在球F2′的内部，那么球F1和球F2没有交点．由上可知，假设球F1、F2和球F 不相等不真，因此，球F1和球F2都等于球F ．即球F1和球F2都经过球F 的球心O点，又因为球F1和球F2相外切（仅有一个交点），那么，球F1和球F2的切点就是球F 的球心O． (2) 由于点A和点B是球F 上的一对对极点，那么点B是以点A和点O为基点旋转的不动点【定义 2.2.36】，故有点O是以点A和点B为基点旋转的不动点【定理 2.4.20】，就有球F1和球F2相切于O点．又由于点A到点O和点B到点O距离相等，那么球F1和球F2相等． □ 定理 2.4.28 如果弧AB移动后可以和弧A′B′重合，重合时可以A与A′重合，B与B′重合，也可以A与B′重合，B与A′重合． 证明 (1) 弧AB和弧A′B′可以重合，那么弧AB和弧A′B′所在的圆相等，即弧AB和弧A′B′要么在同一个圆上，要么在相等的圆上．当两弧在相等的圆上时，我们可以将它们移动到同一个 定理 2.4.29 如果两个相等的球相交的交线是一个球的大圆，那么这两个球重合． 证明 球FA和球FB相等且相交于圆k，圆k是球FA的大圆，假设圆k不是球FB的大圆，那么，FB的大圆l 就一定和圆k不相等，以半圆l 的端点（对径点）为基点将该半圆同向旋转一周得到的球FB一定不等于球FA，这显然和球FA和球FB相等的已知条件矛盾，因此如果圆k 是球FA的大圆就也是球FB的大圆．那么以半圆k 的端点（对径点）为基点将该半圆同向旋转一周，既得到球FA也得到球FB，因此球FA和球FB重合． □
证明 由于点A、B是空间不重合的两点，那么一定有一个以点A和点B为对极点的球W【定理 2.4.26】，设球F 和球W 相交于圆l （图2.4-20）．因圆l 过球W 的对极点A、B，则圆l 是球W 的大圆【定理 2.4.25】． □ 定理 2.4.31 如果以点为A为球心的球FA和以点B为球心的球FB相交于圆l．那么球上被圆l 分割出的任何一个球冠以点A和点B为基点旋转所占据的空间位置不变．
定理 2.4.32 球面F 上的一条闭线，圈定的球面的一部分（包括该闭线）可以在球面上作沿面运动． 证明 球面F 上的一条闭线l 圈定的球面的一部分W （包括闭线l ）,让图形W 以球面F 的球心O为基点转动，那么图形W 上的任何一点到球心O的距离在运动中保持不变，即图形W 上的所有点都始终在球面F 上运动，即图形W 可以在球面F 上沿面运动． □
定理 2.4.33 同球或等球上被相等的交线圆分割出的小（大）球冠可以相互重合． 证明 (1)设FA和FB两球的交线是圆l ，圆l 1在球FB上，圆l 等于圆l 1（图2.4-22）．在球面FB 上旋转球冠l 1(C1)，如果圆l 1和圆l 重合，那么球冠l 1(C1)和球冠l (C)重合．(2) 当球冠l 1(C1)不在球FB上，而是在和FB相等的球F 上时，移动球F 使之和球FB重合，那么，球冠l 1(C1)就转移到了球FB上，仿照(1)可以证明球冠l 1(C1)和球冠l (C)重合． □ 定理 2.4.34 (1) 大圆相等的球相等（可以重合）． (2) 同球或等球的大圆相等（可以重合）．
(2) ① 设球F 的球心为点O，点A和点B是球F 的一对对极点，圆l 1是球F 过点A和点B的大圆．那么点A和点B是圆l 1的一组对径点【定理 2.4.25】（图2.4-23）．让圆l 1以点A和点B为基点旋转至圆l 2处，那么圆l 2在球面F 上，且仍然是球F 的大圆【定理 2.4.25】．由于圆l 1是刚性图形，即有过同一对对极点的大圆相等．② 在球F 上另选一个对径点为C、D的大圆l 3，以点C为球心过点O作球C ，以点D为球心过点O作球D , 由于C、D两点为球F 的大圆l 3的一组对径点，那么C、D两点为球F 的一对对极点【定理 2.4.24】，故球C 和球D 相切于O点【定理 2.2.27】．使球C 、球D及圆l 3构成的图形整体绕基点O转动．使点C 移动至和点A 重合，此时点D的位置为D仍然在球F 上．圆l 3移动至圆l 3′处，球C 和球D 移动至球C ′和球D ′处，并保持依然相切于O点．由于球C ′和球D ′相切于O点，那么点O为以点A(C)和点D为基点旋转的不动点【定理 2.4.18】，就有点D为以点A(C)和点O为基点旋转的不动点【定理 2.4.20 推论】，故点A(C)和点D为球F 的一对对极点，由于球F 点A的对极点是唯一的【定理 2.4.21】，那么点B和点D重合．也就是圆l ′3也是经过对极点A和B的大圆，那么大圆l 3等于l ′3等于l 1．那么就有同一个球上所有大圆都相等．对于相等球上的大圆，我们可以将其转移至同一个球上再仿此证明，亦有等球上的大圆都相等． □ 定理 2.4.35 已知球F 的球心为点A，以点B为球心的球F1和球F 内切于点P，若另一个球和球F 相切于Q点，且该球的球心是以点A、B为基点旋转的不动点，那么点P、Q是球F 的一对对极点．
定理 2.4.36 任何一个 n（n = 1，2，3）维图形，都可以分离出一个n 维子图形，分离时子图形和原图形交界部分将被拷贝，使子图形和剩余的原图形都是完整图形． 证明 (1)任何线上都可以分离出一条单线，但断开点将被拷贝． 任何一条线（网络）上都可以找到非端点的一点A（Y≥2），当A点直接与一个端点B相连时，在点A处断开，将A点让单线AB带走，在剩余网络的断开处再拷贝出一个新点，使分离出的单线和剩余网络都是完整图形．另外选取A点后，还可以在线上再找有限个点，使这些点断开后就有一条子网络和原线分开（显然，所选的点不包括端点）．将子网络和原线分开，并带走所有断开点，但在原图形断开点处再拷贝出一个点【定义 2.2.48】，使分离出的子网络和剩余的原线都是完整图形．这是网络线分离出一个子网络唯一允许的分离方法． (2) 任何一个有限的面上都可以分离出一块面，但断开线将被拷贝． 任何一个有限面上都可以找到一条由内点和边缘点组成的闭线，使得当该线断开时可以分离出一块面．将所选线中所有需要断开才能分离出一块面的点断开，将分离处的点让分离出的子图形带走，在原图形剩余部分再拷贝出新点【定义 2.2.48】，使分离出的图形和原图形剩余部分都是完整的图形．这是一个面上分离出一块面唯一允许的分离方法． (3) 任何有限的体上都可以分离出一块体，但断开面将被拷贝． 任何一个有限的体上都可以找到一个由内点和边界点组成的闭区域，使得当该区域断开时可以分离出一个体．将所选体上所有需要断开才能分离出一个体的点断开，将分离处的点让分离出的子图形带走，在原图形剩余部分再拷贝出新点【定义 2.2.48】，使分离出的图形和原图形剩余部分都是完整的图形．这是一个体上分离出一部分体唯一允许的分离方法． □ 说明：1 .显然，n维图形可以拷贝出任何低于n维的图形，我们之所以仅讨论从n维图形中分离出n维图形的情况，是为了证明，对于建立在新基础上的几何学，图形的任何度量都有整体大于部分（本书定理 2.4.37，欧几里得《几何原本》中的公理5） 2. 缺少孤点（包括端点）的线，缺少孤点或孤线（包括边缘线）的面，缺少孤点、孤线或孤面（包括边界面）的体以及断续线、筛网面和海绵体都不是建立在新基础上的几何学的研究对象． 定理 2.4.37 对于完整几何图形所建立的测度而言，整体大于部分． 证明 完整几何图形是维数为0、1、2、3的图形．由于0维图形（孤立点）仅占据一个没有部分的空间位置，所以对于孤立点所建立的任何测量的测度都是0．那么我们对其它完整几何图形所建立的测量就仅有1维测度m(1)（长度）、2维测度m(2)（面积）、3维测度m(3)（体积），根据测度理论，测度m(n)具有下列性质：① m(n)≥0；② 可重合的图形具有相同的测度；③ 同维测度中开区域、半开区域、闭区域具有相同的测度；④ 用 k 测度度量低于k 维的图形，测量结果（测度）为0，即点的所有测度均为0，线的2维测度m(2)为0、3维测度m(3)为0，面的3维测度m(3)为0；⑤ 任何一个k 维图形，它的k 维测度m(k)不为0；⑥ 如果n维（n=1，2，3）图形a1，a2，a3，…，an不相交，那么这些图形和的测量m(k)∑an 等于这些图形测量的和，即等于∑m(k)an [26]． 设k 维图形a 分离出了一个k 维图形b【定义2.2.48】后剩余图形[a-b]．由于不能从a 中分离出一个m(k)为0的k维部分【定理 2.4.1】，那么，有m(k)[b]＞0，m(k)[a-b]＞0 (“[ ]”内表示闭区域)，由于不允许有不完整的图形，因此我们仅讨论闭区间．那么， m(k)[a-b]+ m(k)[b] = m(k)[a] 由于m(k)[a-b]＞0，就有，m(k)[a]＞m(k)[b]，（整体大于部分）． □ 说明：将该定理用于几何命题的证明，会给我们带来很多的方便． 定理 2.4.38 球形腔内部有一点A，外部有一点B，那么，以点A和点B为端点的单线至少和腔壁有一个交点． 证明 球形腔W 内有一点A，腔W 外有一点B．要想使单线AB穿过球形腔W 的腔壁不和腔壁相交，也就是说单线和球形腔没有交点，那么，就需要球形腔W 的小邻域没有属于单线AB的点，而单线AB的小邻域也没有属于球形腔W 的点【定理 2.4.2】．此时，仅有如下三种情况：1，单线上有断点，2，腔壁上有孔洞，3，单线上有断点，且腔壁上有孔洞．由于单线AB中间没有空隙，且球形腔上没有孔洞【定理 2.4.1】．因此，球形腔内部的A点，外部的B点之间链接的单线至少和腔壁有一个交点． □ 定理 2.4.39 球面F 上有一条闭线l 将球面分成小片、大片和闭线l 三部分，那么球面F 上端点A在小片区域，端点B在大片区域的单线AB至少和闭线l 有一个交点． 证明 球面F 被其上的闭线l 分成小片、大片两个区域，小片区域内有一点A，大片区域内有一点B．如果单线AB和闭线l 没有交点，那么，闭线l 的小邻域没有属于单线AB的点，而单线AB的小邻域也没有属于闭线l 的点【定理 2.4.2】．此时，仅有如下三种情况：1.单线AB有间断点，2.闭线l 有间断点，3.单线AB有间断点且闭线l 也有间断点．由于单线AB上没有空隙，闭线l 上也没有空隙【定理 2.4.1】．即单线AB至少和闭线l 有一个交点． □
证明 设在球面F 上有l 、k 两个圆周，在圆k 分成的一个球冠的表面区域内（不包括圆k）有圆l 的点A，另一个球冠的表面区域内（不包括圆k）有圆l 的点B（图2.4-25）．那么劣弧AB至少和圆k 有一个交点P【定理 2.4.39】，又因为该劣弧AB经过圆k 之后绝不会再返回来经过一次圆k，因此劣弧AB和圆k 仅有一个交点P．同理，优弧AB和圆k 仅有一个交点Q．那么圆l 和圆k 共有两个交点．由于圆l 和圆k都在球面F 上，因此交点P、Q都在球面F 上． □
本文作者 潘永城 邮箱 panyongcheng@163.com 潘昊楠 |
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