一元二次函数根的分布规律探究

[导读] 分两根分布在同一区间与两根分布在不同区间两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用，有助于学生掌握其精髓。

　　常庆（安徽师范大学，安徽芜湖241000）

　　引例：方程x2-2ax+4=0 的两根均大于1，求实数的取值范围。


　　分析:此种解法思路简单，但是求解过程计算量太大。此例属于一元二次函数根的实根分布问题。一元二次函数根的实根分布问题是初高中数学衔接的一个重要问题，也是高考的一个热点问题。一元二次方程根的分布也是二次函数中的重要内容，也是历来学生难以掌握的地方。这部分知识在初中数学中虽有所涉及，但远远不够系统和完整。而且解题方法多局限于应用判别式法和根与系数的关系。本文通过'数形结合、函数与方程'浅显易懂的简析。分两根分布在同一区间与两根分布在不同区间两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用，有助于学生掌握其精髓。

　　设方程ax2+bx+c=0(a>0)的不等两根为x1,x2 且x1

　　情况一：两根分布在同一区间


　　情况二：两根分布在不同区间


　　对表二的根的分布表中一些特殊情况作说明：

　　（1）有且仅有一根在(m,n)内有以下特殊情况：1.若f(m)=0或f(n)=0，则此时f(m).f(n)

　　练习：已知二次方程x2+(m-3)x=0，根据下列条件求m 的范围.