§2.4　函数与方程

§2.4　函数与方程

 

一、知识导学

 

1.函数的零点与方程的根的关系：

　一般地，对于函数（）我们称方程的实数根也叫做函数的零点，即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值. 求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数的零点.

2.函数的图象与方程的根的关系：

　　一般地，函数（）的图象与轴交点的横坐标就是的根.综合方程f(x)=g(x)的根，就是求函数y＝f(x)与y=g(x)的图象的交点或交点个数，或求方程的图象与轴交点的横坐标.

　　3.判断一个函数是否有零点的方法：

　　如果函数在区间[a,b]上图象是连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间（a,b）上至少有一个零点，即至少存在一个数使得，这个c也就是方程的一个根.对于我们学习的简单函数，可以借助图象判断解的个数，或者把写成，然后借助、的图象的交点去判断函数的零点情况.

4. 二次函数、一元二次方程、二次函数图象之间的关系：

　　二次函数的零点，就是二次方程的根，也是二次函数的图象与x轴交点的横坐标.

5. 二分法：

对于区间[a,b]上的连续不断，且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

 

二、疑难知识导析

 

1.关于函数的零点，就是方程的实数根，也就是与函数图象的交点的横坐标. 要深刻理解，解题中灵活运用.

2.如果二次函数，在闭区间[m,n]上满足，那么方程在区间（m,n）上有唯一解，即存在唯一的，使，方程另一解.

3. 二次方程的根在某一区间时，满足的条件应据具体情形而定.如二次方程＝的根都在区间时

应满足：

4.用二分法求二次方程的近似解一般步骤是

（1）取一个区间（）使

（2）取区间的中点，

（3）计算，①若，则就是的解，计算终止；②若，则解位于区间（）中，令；若则解位于区间（）令

（4）取区间是（）的中点，重服第二步、第三骤直到第n步，方程的解总位于区间（）内

（5）当精确到规定的精确度的近似值相等时，那么这个值就是所求的近似解.

 

三、经典例题导讲

 

[例1]已知函数若时，≥0恒成立，求的取值范围.

错解：（一）恒成立，∴△＝≤0恒成立

　解得的取值范围为

错解：（二）∵若时，≥0恒成立

∴即

解得的取值范围为

错因：对二次函数＝当上≥0恒成立时，△≤0

片面理解为，≥0，恒成立时，△≤0 ；或者理解为

这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误.二次函数最值问题中“轴变区间定”要对对称轴进行分类讨论；“轴定区间变”要对区间进行讨论.

正解：设的最小值为

（1）当即＞4时，＝＝7－3≥0，得故此时不存在；

(2) 当即－4≤≤4时，＝3－－≥0，得－6≤≤2

又－4≤≤4，故－4≤≤2；

（3）即＜－4时，＝＝7＋≥0，得≥－7，又＜－4

故－7≤＜－4

综上，得－7≤≤2

[例2]已知有且只有一根在区间（0,1）内，求的取值范围.

错解：设∵有且只有一根在区间（0,1）内

∴得＜－2

错因：对于一般，若，那么，函数在区间（a,b）上至少有一个零点，但不一定唯一.对于二次函数，若则在区间（a,b）上存在唯一的零点，一次函数有同样的结论成立.

　　　但方程＝0在区间（a,b）上有且只有一根时，不仅是，也有可能.如二次函数图象是下列这种情况时，就是这种情况.由图可知＝0在区间（a,b）上有且只有一根，但是

正解：设，（1）当＝0时方程的根为－1，不满足条件.

（2）当≠0∵有且只有一根在区间（0,1）内

又＝1＞0　

　∴有两种可能情形①得＜－2，或者②得不存在。

综上所得，＜－2。

[例3]已知一次函数与二次函数图象如图，其中

的交点与轴、轴的交点分别为A（2，0），B（0，2）；与二次函数的交点为P、Q，P、Q两点的纵坐标之比为1︰4.（1）求这两个函数的解析式.（2）解方程：。

（1）错解：把 A（2，0），B（0，2）两点坐标分别代入一次函数解得

∴一次函数为 

设P（₁，₁），Q（，₂），则

₁︰₂＝1︰4

∴︰＝1︰4　　∴₁︰₂＝1︰2或₁︰₂＝（－1）︰2

当₁︰₂＝1︰2时，Q点坐标为（2₁，4₁），把P、Q两点坐标分别代入直线方程即得　　　解得

∴P（3，－1），Q（6，－4），抛物线方程为

当₁︰₂＝（－1）︰2时， Q点坐标为（－2₁，4₁）把P、Q两点坐标分别代入直线方程即得　　　解得

∴P（1， 1），Q（－2， 4），抛物线方程为

错因：在得到₁︰₂值之后，要注意题意判断点的位置关系，多余的解要舍去，题中Q在第二象限，所以不合条件.

正解：（1）抛物线方程为

（2）方法一：由（1）得方程　即为　

解得₁＝－2，₂＝1.

　　方法二：方程的根即为二次函数与一次函数的交点的横坐标.由（1）知它们交点的坐标分别为P（1， 1），Q（－2， 4），　

∴方程的解为₁＝－2，₂＝1.

 

[例4]是否存在这样的实数k，使得关于x的方程

²+（2k－3）－（3k－1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试说明理由.

错解：令那么由条件得到

即此不等式无解

即不存在满足条件的k值.

错因：方程两根都在0与2之间，根据图象，可知除满足上述条件外，还要考虑二次函数的对称轴在区间（0,2）内.

正解：令那么由条件得到

即即此不等式无解

即不存在满足条件的k值.

[例5]已知二次函数对于₁、₂R，且₁＜₂时

，求证：方程＝有不等实根，且必有一根属于区间（₁，₂）.

解：设F（）＝－，　　

则方程　　　　＝　　　　　　①

与方程　　　　F（）＝0　　　　　　　　　　　　②　等价

∵F（₁）＝－＝

F（₂）＝－＝

∴　F（₁）·F（₂）＝－，又

∴F（₁）·F（₂）＜0

故方程②必有一根在区间（₁，₂）内.由于抛物线y＝F（）在轴上、下方均有分布，所以此抛物线与轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（₁，₂）.

点评：本题由于方程是＝，其中因为有表达式，所以解题中有的学生不理解函数图象与方程的根的联系，误认为证明的图象与轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证＜0，使本题没法解决. 本题中将问题转化为F（）＝－的图象与轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.

[例6]试确定方程最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数.

分析：只要构造函数＝，计算的自变量取整数值时的函数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布.

解：令＝

∵＝－54－9＋12＋2＝－49＜0　

＝－16－4＋8＋2＝－10＜0

＝－2－1＋4＋2＝3＞0

＝0－0－0＋2＝2＞0

＝2－1－4＋2＝－1＜0

＝16－4－8＋2＝6＞0

根据·＜0，·＜0，·＜0

可知的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内.

因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（－2，－1）内.

点评：计算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元n次方程最多有n个实根，当然本题也可以用因式分解方法来解.

所以＝0有三个根：

[例7]设二次函数方程的两个根，满足0.

（1）当时，证明；

（2）设函数的图象关于直线对称，证明：

.

分析：（1）用作差比较法证明不等式；

（2）函数图象关于直线对称，实际直线就是二次函数的对称轴，即，然后用已知条件证明不等式即可.

证明：（1）依题意，设

当时，由于，∴，又

∴>0即

∵0.∴

∴

综合得

（2）依题意知，又

∴

∵∴

点评：解决本题的关健有三：一是用作差比较法证明不等式；二是正确选择二次函数的表达式，即本题选用两根式表示；三要知道二次函数的图象关于直线对称，此直线为二次函数的对称轴，即

[例8] 已知函数，且方程有实根.

 (1)求证：-3<c≤-1,b≥0.

(2)若m是方程的一个实根，判断的正负并加以证明

分析：（1）题中条件涉及不等关系的有和方程有实根.

及一个等式，通过适当代换及不等式性质可解得；（2）本小题只要判断的符号，因而只要研究出值的范围即可定出符号.

(1)证明：由，得1+2b+c=0,解得，又，

1

解得，

又由于方程有实根，即有实根，

故即解得或

∴，由，得≥0.

（2）=

∵，∴c<m<1（如图）

∴c—4<m—4<—3<c.

∴的符号为正.

点评：二次函数值的符号，可以求出其值判断，也可以灵活运用二次函数的图象及性质解题.

 

四、典型习题导练

 

1. 方程的实根的个数是（　　）

A. 0       B. 1        C. 2         D. 3.

 

2.已知抛物线与轴的两个交点在（1,0）两旁，则关于的方程的根的情况是（　　）

ａ.有两个正数根              　　　 　B.有两个负数根

C.有一个正数根和一个负数根　　　　　　D.无实数根

3.若关于的方程在（0,1）内恰有一解，则的取值范围为（　　）

A. ＜－1　　　　　B. ＞1　　C. －1＜＜1　　　D.0＜＜1

 

4.已知函数的图象如图所示，则b的取值范围是（　　）

A.(-∞,0)     B.(0,1)       C.(1,2)      D.(2,+∞)

5.已知函数对一切实数都有成立，且方程=0恰有6个不同的实根，则这6个根的和是             .

6. 已知在二次函数的解析式中，＝－3，＝－8，且它的两个零点间的距离等于2，求这个二次函数的解析式.

7. （06年高考浙江卷）设f(x)=3ax,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：

(1)a＞0且-2＜＜-1；

(2)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.

8.已知二次函数f(x)=ax²+bx+c.

(1)若a>b>c且f(1)=0，证明：f(x)的图象与X轴相交；

(2)证明：若对x₁、x₂，且f(x₁)f(x₂),则方程必有一实根在区间（x₁,x₂）内；

(3)在（1）的条件下，是否存在实数m，使f(m) = －a成立时,f(m+3)>