720815 / 函数1 / §2.4 函数与方程

分享

   

§2.4 函数与方程

2013-12-08  720815

§2.4 函数与方程

 

一、知识导学

 

1.函数的零点与方程的根的关系:

 一般地,对于函数)我们称方程的实数根也叫做函数的零点,即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值. 求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数的零点.

2.函数的图象与方程的根的关系:

  一般地,函数)的图象与轴交点的横坐标就是的根.综合方程f(x)=g(x)的根,就是求函数yf(x)与y=g(x)的图象的交点或交点个数,或求方程的图象与轴交点的横坐标.

  3.判断一个函数是否有零点的方法:

  如果函数在区间[a,b]上图象是连续不断的曲线,并且有,那么,函数在区间(a,b)上至少有一个零点,即至少存在一个数使得,这个c也就是方程的一个根.对于我们学习的简单函数,可以借助图象判断解的个数,或者把写成,然后借助的图象的交点去判断函数的零点情况.

4. 二次函数、一元二次方程、二次函数图象之间的关系:

  二次函数的零点,就是二次方程的根,也是二次函数的图象与x轴交点的横坐标.

5. 二分法:

对于区间[a,b]上的连续不断,且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

 

二、疑难知识导析

 

1.关于函数的零点,就是方程的实数根,也就是与函数图象的交点的横坐标. 要深刻理解,解题中灵活运用.

2.如果二次函数,在闭区间[m,n]上满足,那么方程在区间(m,n)上有唯一解,即存在唯一的,使,方程另一解.

3. 二次方程的根在某一区间时,满足的条件应据具体情形而定.如二次方程的根都在区间

应满足:

4.用二分法求二次方程的近似解一般步骤是

(1)取一个区间()使

(2)取区间的中点,

(3)计算,①若,则就是的解,计算终止;②若,则解位于区间()中,令;若则解位于区间()令

(4)取区间是()的中点,重服第二步、第三骤直到第n步,方程的解总位于区间()内

(5)当精确到规定的精确度的近似值相等时,那么这个值就是所求的近似解.

 

三、经典例题导讲

 

[例1]已知函数时,≥0恒成立,求的取值范围.

错解:(一)恒成立,∴△=≤0恒成立

 解得的取值范围为

错解:(二)∵时,≥0恒成立

解得的取值范围为

错因:对二次函数≥0恒成立时,△≤0

片面理解为,≥0,恒成立时,△≤0 ;或者理解为

这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误.二次函数最值问题中“轴变区间定”要对对称轴进行分类讨论;“轴定区间变”要对区间进行讨论.

正解:设的最小值为

(1)当>4时,=7-3≥0,得故此时不存在;

(2) 即-4≤≤4时,=3-≥0,得-6≤≤2

又-4≤≤4,故-4≤≤2;

(3)<-4时,=7+≥0,得≥-7,又<-4

故-7≤<-4

综上,得-7≤≤2

[例2]已知有且只有一根在区间(0,1)内,求的取值范围.

错解:设有且只有一根在区间(0,1)内

<-2

错因:对于一般,若,那么,函数在区间(a,b)上至少有一个零点,但不一定唯一.对于二次函数,若则在区间(a,b)上存在唯一的零点,一次函数有同样的结论成立.

   但方程=0在区间(a,b)上有且只有一根时,不仅是,也有可能.如二次函数图象是下列这种情况时,就是这种情况.由图可知=0在区间(a,b)上有且只有一根,但是

正解:设,(1)当=0时方程的根为-1,不满足条件.

(2)当≠0∵有且只有一根在区间(0,1)内

=1>0 

 ∴有两种可能情形①<-2,或者②不存在。

综上所得,<-2。

[例3]已知一次函数与二次函数图象如图,其中

的交点与轴、轴的交点分别为A(2,0),B(0,2);与二次函数的交点为P、Q,P、Q两点的纵坐标之比为14.(1)求这两个函数的解析式.(2)解方程:

(1)错解:把 A(2,0),B(0,2)两点坐标分别代入一次函数解得

∴一次函数为 

设P(11),Q(,2),则

12=1︰4

=1︰4  ∴12=1︰2或12=(-1)︰2

12=1︰2时,Q点坐标为(21,41),把P、Q两点坐标分别代入直线方程即得   解得

∴P(3,-1),Q(6,-4),抛物线方程为

12=(-1)︰2时, Q点坐标为(-21,41)把P、Q两点坐标分别代入直线方程即得   解得

∴P(1, 1),Q(-2, 4),抛物线方程为

错因:在得到12值之后,要注意题意判断点的位置关系,多余的解要舍去,题中Q在第二象限,所以不合条件.

正解:(1)抛物线方程为

(2)方法一:由(1)得方程 即为 

解得1=-2,2=1.

  方法二:方程的根即为二次函数与一次函数的交点的横坐标.由(1)知它们交点的坐标分别为P(1, 1),Q(-2, 4), 

∴方程的解为1=-2,2=1.

 

[例4]是否存在这样的实数k,使得关于x的方程

2+(2k-3)-(3k-1)=0有两个实数根,且两根都在0与2之间?如果有,试确定k的取值范围;如果没有,试说明理由.

错解:令那么由条件得到

即此不等式无解

即不存在满足条件的k值.

错因:方程两根都在0与2之间,根据图象,可知除满足上述条件外,还要考虑二次函数的对称轴在区间(0,2)内.

正解:令那么由条件得到

即此不等式无解

即不存在满足条件的k值.

[例5]已知二次函数对于12R,且12

,求证:方程有不等实根,且必有一根属于区间(12).

:设F()=,  

则方程          ①

与方程    F()=0            ② 等价

∵F(1)=

F2)=

∴ F(1)·F(2)=-,又

∴F(1)·F(2)<0

故方程②必有一根在区间(12)内.由于抛物线y=F()在轴上、下方均有分布,所以此抛物线与轴相交于两个不同的交点,即方程②有两个不等的实根,从而方程①有两个不等的实根,且必有一根属于区间(12).

点评:本题由于方程是,其中因为有表达式,所以解题中有的学生不理解函数图象与方程的根的联系,误认为证明的图象与轴相交于两个不同的点,从而证题中着眼于证<0,使本题没法解决. 本题中将问题转化为F()=的图象与轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.

[例6]试确定方程最小根所在的区间,并使区间两个端点是两个连续的整数.

分析:只要构造函数,计算的自变量取整数值时的函数值,根据其符号,确定方程根的个数及根的分布.

解:令

=-54-9+12+2=-49<0 

=-16-4+8+2=-10<0

=-2-1+4+2=3>0

=0-0-0+2=2>0

=2-1-4+2=-1<0

=16-4-8+2=6>0

根据·<0,·<0,·<0

可知的零点分别在区间(-2,-1),(0,1),(1,2)内.

因为方程是一个一元三次方程,所以它最多有三个根,所以原方程的最小根在区间(-2,-1)内.

点评:计算一元高次函数值可借助于计算器来完成,在实数范围内一元n次方程最多有n个实根,当然本题也可以用因式分解方法来解.

所以=0有三个根:

[例7]设二次函数方程的两个根,满足0.

(1)当时,证明

(2)设函数的图象关于直线对称,证明:

.

分析:(1)用作差比较法证明不等式

(2)函数图象关于直线对称,实际直线就是二次函数的对称轴,即,然后用已知条件证明不等式即可.

证明:(1)依题意,设

时,由于,∴,又

>0即

∵0.∴

综合得

(2)依题意知,又

点评:解决本题的关健有三:一是用作差比较法证明不等式;二是正确选择二次函数的表达式,即本题选用两根式表示;三要知道二次函数的图象关于直线对称,此直线为二次函数的对称轴,即

[例8] 已知函数,且方程有实根.

 (1)求证:-3<c≤-1,b≥0.

(2)若m是方程的一个实根,判断的正负并加以证明

分析:(1)题中条件涉及不等关系的有和方程有实根.

及一个等式,通过适当代换及不等式性质可解得;(2)本小题只要判断的符号,因而只要研究出值的范围即可定出符号.

(1)证明:由,得1+2b+c=0,解得,又

1

解得

又由于方程有实根,即有实根,

解得

,由,得≥0.

(2)=

,∴c<m<1(如图)

∴c—4<m—4<—3<c.

的符号为正.

点评:二次函数值的符号,可以求出其值判断,也可以灵活运用二次函数的图象及性质解题.

 

四、典型习题导练

 

1. 方程的实根的个数是(  )

A. 0       B. 1        C. 2         D. 3.

 

2.已知抛物线轴的两个交点在(1,0)两旁,则关于的方程的根的情况是(  )

a.有两个正数根                   B.有两个负数根

C.有一个正数根和一个负数根      D.无实数根

3.若关于的方程在(0,1)内恰有一解,则的取值范围为(  )

A. <-1     B. >1  C. -1<<1   D.0<<1

 

4.已知函数的图象如图所示,则b的取值范围是(  )

A.(-∞,0)     B.(0,1)       C.(1,2)      D.(2,+∞)

5.已知函数对一切实数都有成立,且方程=0恰有6个不同的实根,则这6个根的和是             .

6. 已知在二次函数的解析式中,=-3,=-8,且它的两个零点间的距离等于2,求这个二次函数的解析式.

7. 06年高考浙江卷)设f(x)=3ax,f(0)0f(1)0,求证:

(1)a0-2-1

(2)方程f(x)=0在(01)内有两个实根.

8.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.

(1)若a>b>c且f(1)=0,证明:f(x)的图象与X轴相交;

(2)证明:若对x1、x2,且f(x1)f(x2),则方程必有一实根在区间(x1,x2)内;

(3)在(1)的条件下,是否存在实数m,使f(m) = -a成立时,f(m+3)>

    本站是提供个人知识管理的网络存储空间,所有内容均由用户发布,不代表本站观点。请注意甄别内容中的联系方式、诱导购买等信息,谨防诈骗。如发现有害或侵权内容,请点击一键举报。

    0条评论

    发表

    请遵守用户 评论公约

    类似文章 更多
    喜欢该文的人也喜欢 更多

    ×
    ×

    ¥.00

    微信或支付宝扫码支付:

    开通即同意《个图VIP服务协议》

    全部>>