高中数学：二分法的应用

二分法在求函数的零点，求方程的近似解、求函数图象的交点的横坐标等方面有广泛的应用，本文列举几例，供同学们参考。

 

一、确定函数的零点个数

例1  二次函数中，则函数的零点个数是（    ）

A. 1        

B. 2        

C. 0        

D. 无法确定

分析：可以利用函数图象或方程的判别式。

解法1：由，得。

∴方程有两个不相等的实根。

∴函数有两个零点，选B。

解法2：∵，

∴或不论哪种情况，二次函数图象与x轴都有两个交点，所以函数有两个零点，选B。

解答形如的零点判断问题时，注意对a的讨论。

 

二、用二分法求方程的近似解

例2  借助计算器用二分法求方程在区间内的根（精确到0.1）。

解：令，即求函数在内的零点。

∵，

∴可取作为初始区间。

用二分法列表如下：

中点	中点（端点）函数值	取区间
2.5
2.25
2.125
2.1875
2.21875

∵，

∴所求方程的根为2.2（精确到0.1）。

用二分法求方程的近似解，应先求出相应函数的零点的近似值，再求出近似解，这是求方程根的近似值的常用方法。应注意利用二分法求方程的近似解时，取不同的初始区间，其计算就有简繁之分，一般地，可用特殊值代入计算并结合估算寻找一个使计算最简单的初始区间，其实，利用可以判断精确度。

 

三、用二分法求两函数图象交点的横坐标

例3  借助计算器或计算机，用二分法求函数的图象交点的横坐标（精确到0.1）。

分析：首先在同一坐标系中画出两个函数的图象，直观地观察交点的位置，然后再转化为用二分法求函数的零点的近似值。

解：在同一坐标系中，作出的图象。令

，画出函数的简图，如下图所示。

∴，

∴。

∴函数的零点。

取区间的中点，借助计算器计算得，所以。

∴函数的零点。

同理可得。

由于区间两端点值精确到0.1的近似值都是0.7，所以函数精确到0.1的零点值为0.7。

可知函数的图象交点的横坐标为0.7。

求方程的根，等价于求函数的零点，也等价于求函数图象交点的横坐标。

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