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假期中,好题仍在:神奇的数学,神奇的“圆”!

2017-02-16  保定市大...

    数学是一门奇妙的学科,先看看下面的图案

         这是一棵勾股树,感兴趣的话自己运用勾股定理画画试试吧!

         再看看下面的等式

         数学就是这么神奇!

         数学中,还有很多奇妙的内容。其中几何中关于圆就有很多定理、性质,让我们一起来看看,关于圆的这些好题!


1
选择题


         数学课上,老师让学生用尺规画Rt△ABC,使其斜边AB=c,一条直角边BC=a.小明的作法如图所示,你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是(      )


A.勾股定理

B.直径所对的圆周角是直角

C.勾股定理的逆定理

D.90°的圆周角所对的弦是直径



不会解?看这里



名师指导】    解答这类问题,需要大家熟练掌握垂直平分线、角平分线、垂线等基本图形的作图方法,并熟悉它们的性质.能熟练运用圆周角定理的推论,是正确解答本题的关键.

【思路点拨】    考查尺规作图、圆周角定理的推论.从作图过程可以看出,首先作了线段AB的垂直平分线,然后以线段AB的中点为圆心,以AB为直径作圆,再以点B为圆心,以a为半径画弧,与前圆交于点C.连接AC,即作出了Rt△ABC.∵AB为直径,∴∠ACB=90°.

【参考答案】    B



2
解答题


1.如下图,AC与BD是⊙Ⅰ的直径,AD=4,CD=10,点G是AB上一动点,点E、F、H分别是DC、DG、CG的中点.

(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;

(2)填空:

①当AG=__________时,四边形EFGH是菱形;

②当AG=__________时,四边形EFGH是矩形.



不会解?看这里▼


【思路点拨】  

 (1)利用三角形的中位线定理与平行四边形的判定定理即可证明四边形EFGH是平行四边形.

(2)易证四边形ABCD是矩形.①当GD=GC时,四边形EFGH是菱形,此时AG=BG=5;②若四边形EFGH是矩形,则∠DGC=90°.利用勾股定理即可求出AG.

【参考答案】  

  (1)证明:在△DCG中,

∵点E、F、H分别是DC、DG、CG的中点,

∴EF∥ CG,HE∥ DG,

∴四边形EFGH是平行四边形.


(2)①5 

②2或8 

解法提示↙

易证四边形ABCD是矩形.

①由(1)知,四边形EFGH是平行四边形,

若要使EFGH为菱形,则有FG=GH,

∴CG=DG.

由矩形的对称性可知,此时点G为AB的中点,

∴AG=5.

②若四边形EFGH是矩形,则∠DGC=90°.

设AG=x,则BG=10-x,

∴DG2=16 x2,CG2=16 (10-x)2,DC2=100,

在Rt△DCG中,由勾股定理可得,DG2 CG2=DC2

即16 x2 16 (10-x)2=100.

解得x=2或8.

∴AG=2或8.


2.如下图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,O为BC边上一动点,以点O为圆心,OC为半径作半圆与对角线AC和直线BC分别交于点E、G,连接EG.过点E作直线EF交AB边于点F,若EF=AF,求证:直线EF为半圆O的切线;





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【解题思路】    

连接OE.通过证明∠BAC=∠AEF,∠CEO=∠ACB,可得∠AEF ∠CEO=90°,即∠FEO=90°,即可得出直线EF为半圆O的切线.

【参考答案】

(1)连接OE.

∵四边形ABCD为矩形,

∴∠B=90°,

∴∠BAC ∠ACB=90°.

∵EF=AF,OE=OC,

∴∠BAC=∠AEF,∠CEO=∠ACB,

∴∠AEF ∠CEO=90°,

∴∠FEO=90°,

∴直线EF为半圆O的切线.






                                                   




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