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一 次函数与方程、不等式有深刻的内在联系.方程和不等式分别着眼于数量之间的相等关系和不等关系，而一次函数从研究数量的变化规律将二者统一起来，并实现在一定条件下的转化. 知识准备 在平面直角坐标系中， 在x轴上，点的纵坐标有何规律？ 在x轴上方的点，点的纵坐标有何规律？ 在x轴下方的点，点的纵坐标有何规律？ 如图  x轴上的点，纵坐标等于，即y=0； x轴上方的点，纵坐标都为正，大于0，即y＞0； x轴下方的点，纵坐标都为负，小于0，即y＜0； 追本溯源 例1 先来看一个函数问题： 函数y=2x-5的图象如图所示，观察图象回答问题  (1)x取何值时，y=0? (2) x取何值时，y＞0? (3) x取何值时，y＜0? (4) x取何值时，y＞1? 解：(1)因为y=0,表示直线在x轴上的部分，即直线与x轴交点的横坐标，如图x=2.5; (2) y＞0，表示直线在x轴上方的部分，如图红色部分所示，此时对应的横坐标x的范围是x＞2.5; (3) y＜0，表示直线在x轴上方的部分，如图蓝色部分所示，此时对应的横坐标x的范围是x＜2.5; （1）（2）（3）可表示为如下图  (4)如图，当x=3,时，y=1,所以，y＞1时，对应的x＞3.  例2 再来看一个不等式问题： (1)x取何值时，2x-5=0? (2) x取何值时，2x-5＞0? (3) x取何值时，2x-5＜0? (4) x取何值时，2x-5＞1? 解：因为y=2x-5,所以此题可以看成函数的问题，得到与例1完全相同的答案. 实际上， 解方程2x-5=0，可得x=2.5; 解不等式2x-5＞0，可得x＞2.5， 解不等式2x-5＜0，可得x＜2.5， 解不等式2x-5＞1，可得x＞3. 提升升华1 方程及不等式问题可以转化为函数问题，实现由数到形的转化。  进阶练习 练习1 如果y=-2x-5，x取何值时，y＜0？ 方法一，直接当成函数问题，y=0时，x=-2.5,y随x的增大而减小，y＜0，x＞-2.5. 方法二，转化为不等式问题，-2x-5＜0，解不等式得，x＞-2.5. 利用函数问题解决不等式有关题目时，往往先借助方程算出相等时的对应x的值，再根据函数的性质确定x的范围.如果已知函数与x轴交点横坐标，则考虑直接观察图象，得出结论. 练习2 已知y1=-x 3,y2=3x-4,x取哪些值时，y1＞y2? 方法一，直接当成函数问题，如图  首先，联立方程组，y1=-x 3,y2=3x-4，，解得，x=7/4,如图，此时A点横坐标为7/4. 如图，当x＜7/4时， y1＞y2， 如图中蓝色部分，x取x＜7/4任何一个值，都有y1＞y2 ,体现在坐标系中，即是x取相同值时，y1在y2 的上面。 方法二 解不等式-x 3＞3x-4，得x＜7/4. 提升升华2 一般地，方程组  的解是两个一次函数y=k1x b1, y=k2x b2的图象交点坐标， 当x取k1x b1＞k2x b2的解时,函数y=k1x b1的图象在y=k2x b2的图象上方； 当x取k1x b1＜k2x b2的解时,函数y=k1x b1的图象在y=k2x b2的图象下方. 中考直击 （2016 山东东营）如图，直线y=x b与直线y=kx 6交于点P（3,5），则关于x的不等式x b＞kx 6的解集是_______.  方法一：直接当成函数问题，两直线交于（3,5），则直线y=x b在y=kx 6上方部分对应的x的取值大于3，所以x＞3. 方法二：转化为不等式问题，将P点代入两个函数中可得y=x 2和y=-1/3x 6,解不等式x 2＞-1/3x 6，得x＞3. 这种类型的题目一般考虑使用函数的方法，直接利用图象观察得出结论，有时不能也不需要得出常数的值，只需要有交点的横坐标即可. 不等式与函数，方程是紧密联系的一个整体.我们既可以运用函数图象解方程、不等式，也可以运用解方程，不等式研究函数问题，它们相互渗透，互相作用。 |
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