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正概问题和逆概问题 贝叶斯定理，是源于英国人贝叶斯为解决一个“逆概”问题而提出来的写的一篇文章。 在贝叶斯写这篇文章之前，人们已经能够解决“正概问题”，如“假设袋子里面有N个白球，M个黑球，你伸手进去摸一把，摸出黑球的概率是多大”。 而一个自然而然的问题是反过来：”如果我们事先并不知道袋子里面黑白球的比例，而是闭着眼睛摸出一个（或好几个）球，观察这些取出来的球的颜色之后，那么我们可以就此对袋子里面的黑白球的比例作出什么样的推测”。这个问题，就是所谓的逆概问题。 贝叶斯定理回顾 通俗解释贝叶斯定理：在运用概率对某一事件进行推断之前，我们往往已经事先掌握了关于这一事件的概率，这个概率可能是主观概率或者相对概率，这种初始的概率可以称为先验概率。 如果在后续的研究中，通过抽样调查样本等消息源又获得了有关该事件的信息，我们就可以根据这些新信息对先验概率进行修正，使先验概率变为后验概率。这个修正概率的定理就称为贝叶斯定理。 贝叶斯定理 详解个例子让大家更好理解： 假定A,B,C三个工厂生产同一种零件市场占有率分别为10%、25%和65%。已知A,B,C三家工厂生产零件的不合格率分别是30%、20%和10%。现从市场上某一批零件中随机抽取一件，经检验该零件不合格，则这个零件由A,B,C生产的概率分别是多少？ 详解：在没有抽取零件之前，我们知道来自A,B,C三个工厂的产品分别占10%, 25%, 65%，这些就是先验概率。现在我们在市场上抽取的产品是不合格品，这是一个新的信息，我们利用这个信息可以得到后验概率。分析过程见下表： 先验概率与后验概率之间发生了变化，这就是条件概率对先验概率的修正。 医学患病概率问题 有一种疾病的发病率是千分之一，医院有一种化验技术可以对这种疾病进行诊断，但是有百分之五的误诊率（也即是说尽管有百分之五的人没有病，但是化验结果却显示为阳性(即假阳性)）。现在假设一个人的化验结果显示为有病，仅根据这一化验结果推测，那么这个人确实患病的概率有多大？ 分解： 先验概率： P(患病)=0.001 P(正常)=0.999 条件概率(新信息)： P(准确率)=1.00；准确率(患病者100%被检出)。 P(误诊率)=0.05；误诊率(正常人有5%被误检)。 根据上面的数据，就能够推测出一个人化验为阳性的情况下，这个人确实患病的概率(后验概率)为： P(患病|阳性)=P(患病)×P(准确率)/[(P(患病)×P(准确率)+P(正常)×P(误诊率)] =0.001×1.00/(0.001×1.00+0.999×0.05) =0.0198 =2% 结论：在没有其他症状增加患病概率的情况下，单凭化验结果显示为阳性来推测的话，其真实患病的概率还不到2%。所以对于年度常规体检出现的问题，应该进行复检。 |
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