莱布尼茨发明了dx/dy，那牛顿那套符号是什么样子的？

Leibniz

下面讲讲牛顿和微积分的故事吧.

牛顿在他1669年写的《运用无限多项方程的分析》（不过这篇论文直到1711年才发布）中第一次提及微积分. 在这篇论文中，他没有明显的采用流数法的记法或观念，采用了面积的无限小矩形或“瞬”的思想，找到了曲线求积的方法. 在这里，牛顿给出了求一个变量对于另一个变量的瞬时变化率的普遍方法，而且证明了面积可以由求变化率的逆过程得到，因为面积也是用无穷小面积的和来表示从而获得的，这个事实其实就是微积分基本定理. 但是正如他自己说他的方法“与其说是精确的证明，不如说是简短的说明”.

而在他1671年写的《流数法与无穷级数》（这个1736年才发表），这里他引进了他独特的记法个概念.他把他的变量看作由点、线、面的连续运动所生成的，而不是无限小单元的集合.他称变量为流（fluent），而变量的变化率叫流数（fluxion），在字母上标上一个点来表示。例如，假设和是流量，则它们的流数是和，而和的流数就是和. 如果是个无限小的时间，那么和就是变量和的无限小增量或者瞬. 在这些书里对于和的对于时间的流数和却没有真正定义过.

在写于1676年发表与1704年的第三篇微积分论文《求曲边形的面积》中，他放弃了无穷小量，他认为数学的量并不是由非常小的部分组成的，而应该用连续的运动来描绘. 在这篇文章里他提出了一个新的概念“最终变化率（有些书翻译成“最初增量的最终比”，没有找到原版书），举个例子就能理解这个了，考虑，要求它的流数，代替，就有了
,
而和增量的比，即和的比就是 ，也就是，让接近于0——让它消失，比值就是，牛顿叫它最终变化率.

他的第一本包括他的微积分的书是他的《自然哲学的数学原理》（1687年出版），之前提到的论文都是在这本后才发表的. 他应该也觉得理解无限小这个观点很困难，在他的进一步的叙述中时这样说的：“消失量的最终比严格地说并不是最终量的比，而是这些量无限减小时他们之比所趋近的极限，并且虽然它们能比任何给定的无论什么差值都接近于它，但在这些量无限减小之前，即不能超过也不能达到它. ”【看完这个我的表情是这样的(°ー°〃)】总之，牛顿给出了它的三个解释方法，一个是用无限小的，一个是用流数的，还有一个是用最初与最终比或极限的（这个是他认为的最严密的观点）

而且在《自然哲学原理中》他还承认过莱布尼兹在考虑量的生成时也有类似的方法，不过这个在第三版里被删去了……

牛顿和微积分的故事就讲到这里，接下来说说牛顿和莱布尼兹，关于微积分，至于是不是独立的还是合作的我不多做评价，当时造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立的影响还是蛮大的……反正你们不是说牛顿莱布尼兹公式是“以我之名冠你之姓”嘛（其实……这么说的话瑞士数学家法蒂奥.德.杜利尔……嗯……）呃，我们……回来……

首先，他俩都算术化了微积分，也就是在代数的概念上建立了微积分，他们使用的代数记号和方法，不仅给他们提供了比几何更为有效的工具，还允许了许多不同的几何和物理问题用同样的方法出来。他们把关于速率、切线、最大值最小值以及求和这些问题都归结为微分和反微分。

对于，两人不同的地方. 牛顿是把和的无穷小增量作为求流数或导数的手段，当增量越来越小的时候，流数就是增量的比的极限。而莱布尼兹却直接用和的无穷小增量（即微分）求出它们之间的关系. 这个差别反应了牛顿的物理方向和莱布尼兹的哲学方向.在物理方向中，速度之类是中心的概念，而哲学则着眼于物质的最终的微粒.

所以，牛顿是从考虑变化率出发解决面积和体积问题的，对他来说，微分是基础，这个过程和它的逆解决了所有的微积分问题，相反莱布尼兹首先想到的是和，当然这些和仍然是用反微分计算的.

对于函数的表示，牛顿自由的用级数表示函数，而莱布尼兹宁愿用有限的形式.
牛顿是经验的、具体的和谨慎的，而莱布尼兹是富于想象的、喜欢推广的而且是大胆的.莱布尼兹更关心的是用运算公式创造出广泛意义下的微积分，是他建立了微积分的规范，即法则和公式的系统.

对于无穷小的认识，牛顿的无穷小不分阶，莱布尼兹将无穷小分阶.

最后就是对于记号的表示，莱布尼兹的符号比较先进，为后人沿用至今。

最后，用这句话来结束吧——当巨人的哲学沉思变成科学的结论时，对科学发展的影响是深远的。