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什么是正态分布 正态概率分布是连续型随机变量概率分布中最重要的形式，它在实践中有着广泛的应用。在生活中有许多现象的分布都服从正态分布，如人的身高、体重、智商分数；某种产品的尺寸和质量；降雨量；学习成绩，特别是，在统计推断时，当样本的数量足够大时，许多统计数据都服从正态分布。下面以人的身高为例，通俗解释一下什么是正态分布？ 随机抽取200位同等年龄上下的男性，测量好他们的身高之后计算出平均身高，通过将平均身高和他们各自的身高对比，我们可以轻松发现这一现象：大多数男性的身高都集中在平均身高上下浮动，有极少数男性身高很矮，也有极少数男性身高很高。这200为男性身高的概率密度函数可能如下图所示： 实际上，这种形状十分常见，应用很广泛，它叫做正态分布。 正态分布的概率密度函数 正态分布之所以被称为正态，是因为它的形态看起来合乎理性。在现实生活中，遇到测量值之类的大量连续数据时，正常情况下都会期望看到这种形态。正态分布的概率密度函数的计算公式如下： 其中μ＝均值，σ＝标准差，π＝3.14159，e＝2.71828。如果随机变量X符合上述概率密度函数的分布，则称X是服从参数为μ，σ2的正态分布，记为X～N(μ，σ2)。 正态分布的概率密度函数具有下列性质；
正态分布求概率 在《每天一点统计学——概率密度函数》中，我们已经知道如何使用概率密度函数求概率的方法。但是在正态分布中求概率是非常困难的，提供包括所有不同的μ和σ的正态分布表也是不可能的。所以统计学家通过一种简单的方法来解决这一问题。对于一个随机变量X～N(μ，σ2)，如果令Z=(x-μ)/σ（标准分），则随机变量Z服从μ=0,σ2=1的正态分布，记为Z～N(0,1)，称为标准正态分布。 标准正态分布的概率密度函数为： 通过上式可以看出标准正态分布不再依赖于参数μ和σ，它是固定的，是唯一的。因此，标准正态分布中随机变量与其概率的对应关系被计算出来，并列为标准正态概率分布表，以便查询。于是，对于不同的μ和σ，只要将变量值转化为Z值，然后查表即可得到其概率值。 标准正态概率分布表 例子：已知研究生完成一篇硕士论文的时间服从正态分布，平均花费2500h，标准差为400h，现随机找到一个已完成论文的学生，求： （1）他完成论文的时间超过2700h的概率； （2）他完成论文的时间低于2000h的概率； （3）他完成论文的时间在2400h～2600h之间的概率。 解：用X表示完成论文的时间，则X～N(2500，400*400)。这是非标准的正态分布，如果直接计算概率是非常麻烦的，我们首先将其转化为标准正态分布，然后通过标准正态分布表查出变量的概率值。 （1）求P(X>2700) Z=(x-μ)/σ=(2700-2500)/400=0.5 可以查询标准正态分布概率表，表中第一列是z值，第一行是z值的补充值，现z=0.5求的是从0.5到+∞的区间上的概率，即1-0.6915 = 0.3085。 （2）求P(X<> Z=(x-μ)/σ=(2000-2500)/400=-1.25 根据正态分布的对称性，1.25的概率值与－1.25的概率值完全对称，所以只查1.25的概率值即可。Z=1.25时，P(1.25)=0.8944，则P(-1.25)= 1-P(1.25)=0.1056 （3）求P(2400<><> Z1=(x-μ)/σ=(2600-2500)/400=0.25 Z2=(x-μ)/σ=(2400-2500)/400=-0.25 查询标准正态分布概率表,可得出P(0.25) = 0.5987,P(-0.25) = 0.4013。 P(2400<><><2600) -=""><2400) =="" 0.5987="" -="" 0.4013=""> |
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