【冲刺提分】方法技巧·三角函数式的化简与求值

1255ggg 2017-03-08

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【冲刺提分】方法技巧·三角函数式的化简与求值

所属专辑：【冲刺提分】方法技巧·三角函数

靳晓杰老师

笔记简介

通过例题展示这类题目的命题规律，通过解析与方法探究来提炼解答这类题目的通性通法。

典例1

典型例题

（2015·新课标全国卷Ⅰ）sin20°cos10°－cos160°sin10°＝

详解详析

【解析】原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=.

【答案】D

误区警示

本题在运用诱导公式cos 160°=-cos 20°时极易漏掉符号.

方法探究

解此类题的关键：

一是熟记诱导公式的口诀：奇变偶不变，符号看象限. “奇”“偶”指的是诱导公式k·+α中的整数k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化,若k是奇数,则正、余弦互变,若k为偶数,则函数名称不变.“符号看象限”指的是在k·+α中,将α看成锐角时k·+α所在的象限.

二是灵活运用两角和与差的正弦公式，两角和与差的正弦公式、余弦、正切公式的结构特征和符号特点如下:C_(α±β)同名相乘,符号反; S_(α±β)异名相乘,符号同;T_(α±β)分子同,分母反.

典例2

典型例题

（2015·四川卷）sin 15°+sin 75°的值是　　　　.

详解详析

【解析】sin15°+sin75°=sin(45°-30°)+sin(45°+30°)=2sin45°·cos30°=.

【答案】

答题提醒

三角函数的化简与求值要注意三个方面:一是发现差异,即观察所求函数式不同结构间的差异;二是寻找联系,即运用相关三角函数公式,找出差异之间的内在联系;三是合理转化,即选择恰当的三角函数公式,促成差异的转化

典例3

典型例题

（2015·江苏卷）已知tan α=-2,tan(α+β)=,则tan β的值为　　　　.

详解详析

【解析】tan β=tan[(α+β)-α]==3.

【答案】3

典例4

典型例题

（2015·福建卷）若sin α=-,且α为第四象限角,则tan α的值等于

A. B.- C. D.-

详解详析

【解析】因为sin α=-,且α为第四象限角,所以cos α=,所以tan α=-,故选D.

【答案】D

误区警示

本题易错点是利用同角三角函数的基本关系式求cos α时,未注意到角α的取值范围,或注意到角的范围但因为角在某象限时的余弦值的符号判断出错,导致所求结果错误.

典例5

典型例题

已知α∈R,sin α+2cos α=,则tan 2α=

A. B. C.- D.-

详解详析

【解析】由sin α+2cos α=,得sin α=-2cos α,　 ①

又sin²α+cos²α=1,　②

联立①②,解得或

所以tan α==3或-.

当tan α=3时,tan 2α===-;

当tan α=-时,tan 2α===-.

综上,tan 2α=-.

【答案】C

方法探究

三角函数式化简与求值的常用方法

1.弦切互化法

主要利用公式tan α=化成正、余弦.

2.和积转换法

利用(sin θ±cos θ)²=1±2sin θ·cos θ的关系进行变形、转化.

3.巧用“1”的变换

1=sin²θ+cos²θ=cos²θ(1+tan²θ)=tan=….

总结

zongjie

利用同角三角函数之间的平方关系sin²α+cos²α=1求值时,需要注意角的取值范围的限制,从而确定三角函数值的符号.如本题中,因为α∈R,所以sin α与cos α有两组解,如果限制α为第四象限角,则必有三角函数的核心是“角”的问题——角的范围、角的变换、角的函数值等,如同函数问题一样,求解三角函数问题时要先考虑角的取值范围,从而限制角的三角函数值的符号,避免产生增根或漏根现象.