整体观察——
若有线性趋势则走思路 A,
若没有线性趋势或线性趋势不明显则走思路 B。
注:线性趋势是指数列总体上往一个方向发展,即数值越来越大,或越来越小,且直观上数值的大小变化跟项数本身有直接关联。
第一步思路 A:分析趋势
1.增幅(包括减幅)一般做加减
基本方法是做差,但如果做差超过三级仍找不到规律,立即转换思路,因为公考没有考过三级以上的等差数列及其变式。
例1:-8,15,39,65,94,128,170,( )
A.180 B.210 C.225 D.256
解:观察呈线性规律,数值逐渐增大,且增幅一般,考虑做差,
得出差:23,24,26,29,34,42,
再度形成一个增幅很小的线性数列,再做差得出:1,2,3,5,8,
很明显的一个和递推数列,下一项是:5+8=13,
因而二级差数列的下一项是:42+13=55,
因此一级数列的下一项是:170+55=225,选 C.
总 结:做差不会超过三级;一些典型的数列要熟记在心。
2.增幅较大做乘除
例2:0.25,0.25,0.5,2,16,( )
A.32 B.64 C.128 D.256
解:观察呈线性规律,从0.25增到16,增幅较大考虑做乘除,后项除以前项得出:1,2,4,8,典型的等比数列,二级数列下一项是:8×2=16,因此原数列下一项是:16×16=256
总 结:做商也不会超过三级
3.增幅很大考虑幂次数列
例3:2,5,28,257,( )
A.2006 B.1342 C.3503 D.3126
解:观察呈线性规律,增幅很大,考虑幂次数列,最大数规律较明显是该题的突破口,注意到257附近有幂次数256,同理28附近有:27、25,5附近有:4、8,2附近有1、4。
而数列的每一项必与其项数有关,所以与原数列相关的幂次数列应是:1,4,27,256(原数列各项加1所得)即:1^1,2^2,3^3,4^4,下一项应该是:5^5,即3125,所以选 D.
总 结:对幂次数要熟悉。
第二步思路 B:寻找视觉冲击点
注:视觉冲击点是指数列中存在着的相对特殊、与众不同的现象,这些现象往往是解题思路的导引。
【视觉冲击点1】长数列,项数在6项以上。基本解题思路是分组或隔项。
例4:1,2,7,13,49,24,343,( )
A.35 B.69 C.114 D.238
解:观察前6项相对较小,第七项突然变大,不成线性规律,考虑思路B.
长数列考虑分组或隔项,尝试隔项得两个数列:1,7,49,343;2,13,24,( )。明显各成规律,第一个支数列是等比数列,第二个支数列是公差为11的等差数列,很快得出答案A。
总 结:将等差和等比数列隔项杂糅是常见的考法。
【视觉冲击点2】摇摆数列,数值忽大忽小,呈摇摆状。基本解题思路是隔项。
例5:64,24,44,34,39,( ) 10
A.20 B.32 C.36.5 D.19
解:观察数值忽小忽大,马上隔项观察,做差如上,发现差成为一个等比数列,下一项差应为:5/2=2.5,易得出答案为36.5。
总 结:隔项取数不一定各成规律,也有可能如此题一样综合形成规律。
【视觉冲击点3】双括号。一定是隔项成规律。
例6:1,3,3,5,7,9,13,15,( ),( )
A.19,21 B.19,23 C.21,23 D.27,30
解:看见双括号直接隔项找规律,有:1,3,7,13,( );3,5,9,15,( ),很明显都是公差为2的二级等差数列,易得答案:21,23,选 C.
例7:0,9,5,29,8,67,17,( ),( )
A.125,3 B.129,24 C.84,24 D.172,83
解:注意到是摇摆数列且有双括号,义无反顾地隔项找规律!
有0,5,8,17,( );9,29,67,( )。支数列二数值较大,规律较易显现,注意到增幅较大,考虑乘除或幂次数列,脑中闪过:8,27,64,发现支数列二是:2^3+1,3^3+2,4^3+3的变式,下一项应是:5^3+4=129。直接选 B。
回头再看会发现支数列一可以还原成:1-1,4+1,9-1,16+1,25-1.
总 结:双括号隔项找规律,一般只确定支数列其一即可,为节省时间,另一支数列可以忽略不计。
【视觉冲击点4】分式。
类型(1):整数和分数混搭,提示做乘除。
例8:1200,200,40,( ),10/3
A.10 B.20 C.30 D.5
解:整数和分数混搭,马上联想做商,很易得出答案为10.
类型(2):全分数。解题思路为:能约分的先约分;能划一的先划一;突破口在于不宜变化的分数,称作基准数;分子或分母跟项数必有关系。
例9:3/15,1/3,3/7,1/2,( )
A.5/8 B.4/9 C.15/27 D.-3
解:能约分的先约分3/15=1/5;分母的公倍数比较大,不适合划一;突破口为3/7,因为分母较大,不宜再做乘积,因此以其作为基准数,其他分数围绕它变化;再找项数的关系3/7的分子正好是它的项数,1/5的分子也正好它的项数,于是很快发现分数列可以转化为:1/5,2/6,3/7,4/8,下一项是5/9,即:15/27.
例10:-4/9,10/9,4/3,7/9,1/9
A.7/3 B.10/9 C.-5/18 D.-2
解:没有可约分的;但是分母可以划一,取出分子数列有:-4,10,12,7,1,后项减前项得:14,2,-5,-6,(-3.5),(-0.5)与分子数列比较可知下一项应是:7/(-2)=-3.5,
所以,分子数列下一项是1+(-3.5)=-2.5。
因此,(-2.5)/9=-5/18.
【视觉冲击点5】正负交叠。基本思路是做商。
例11:8/9, -2/3, 1/2, -3/8,( )
A.9/32 B.5/72 C.8/32 D.9/23
解:正负交叠,立马做商,发现是一个等比数列,易得出 A.
【视觉冲击点6】根式。
类型(1)数列中出现根数和整数混搭,基本思路是将整数化为根数,将根号外数字移进根号内。
例12:0,3,1,6,√2,12,( ),( ),2,48
A.√3,24 B.√3,36 C.2,24 D.2,36
解:双括号先隔项有:0,1,√2,( ),2;3,6,12,( ),48,支数列一即是根数和整数混搭类型,以√2为基准数,其他数围绕它变形,将整数划一为根数有:√0 ,√1 ,√2 ,(),√4,易知应填入√3;支数列二是明显的公比为2的等比数列,因此答案为A.
类型(2)根数的加减式,基本思路是运用平方差公式:a^2-b^2=(a+b)(a-b)
例13:√2-1,1/(√3+1),1/3,( )
A.(√5-1)/4 B.2 C.1/(√5-1) D.√3
解:形式划一:√2-1=(√2-1)(√2+1)/(√2+1)=(2-1)/ (√2+1)=1/(√2+1),这是根式加减式的基本变形形式,要考就只能这么考。
同时,1/3=1/(1+2)=1/(1+√4),
因此,易知下一项是1/(√5+1)=( √5-1)/[( √5)^2-1]=(√5-1)/4.
【视觉冲击点7】首一项或首两项较小且接近,第二项或第三项突然数值变大。基本思路是分组递推,用首一项或首两项进行五则运算(包括乘方)得到下一个数。
例14:2,3,13,175,( )
A.30625 B.30651 C.30759 D.30952
解:观察,2,3很接近,13突然变大,考虑用2,3计算得出13有2×5+3=3,也有3^2+2×2=13等等,为使3,13,175也成规律,显然为13^2+3×2=175,
所以下一项是175^2+13×2=30651.
总 结:有时递推运算规则很难找,但不要动摇,一般这类题目的规律就是如此。
【视觉冲击点8】纯小数数列,即数列各项都是小数。基本思路是将整数部分和小数部分分开考虑,或者各成单独的数列或者共同成规律。
例15:1.01,1.02,2.03,3.05,5.08,( )
A.8.13 B.8.013 C.7.12 D.7.012
解:将整数部分抽取出来有:1,1,2,3,5,( ),是一个明显的和递推数列,下一项是8,排除C、D;将小数部分抽取出来有:1,2,3,5,8,( )又是一个和递推数列,下一项是13,所以选A.
总 结:该题属于整数、小数部分各成独立规律。
例16:0.1,1.2,3.5,8.13,( )
A.21.34 B.21.17 C.11.34 D.11.17
解:仍然是将整数部分与小数部分拆分开来考虑,但在观察数列整体特征的时候,发现数字非常像一个典型的和递推数列,于是考虑将整数和小树部分综合起来考虑,发现有新数列:0,1,1,2,3,5,8,13,( ),( ),显然下两个数是8+13=21,13+21=34,选A.
总 结:该题属于整数和小数部分共同成规律。
【视觉冲击点9】很像连续自然数列而又不连贯的数列,考虑质数或合数列。
例17:1,5,11,19,28,( ),50
A.29 B.38 C.47 D.49
解:观察数值逐渐增大呈线性,且增幅一般,考虑作差得:4,6,8,9,……,很像连续自然数列而又缺少5、7,联想和数列,接下来应该是10、12,
代入求证28+10=38,
38+12=50,
正好契合,说明思路正确,答案为38.
【视觉冲击点10】大自然数,数列中出现3位以上的自然数。因为数列题运算强度不大,不太可能用大自然数做运算,因而这类题目一般都是考察微观数字结构。
例18:763951,59367,7695,967,( )
A.5936 B.69 C.769 D.76
解:发现出现大自然数,进行运算不太现实,微观地考察数字结构,发现后项分别比前项都少一位数,且少的是1,3,5,下一个缺省的数应该是7;另外缺省一位数后,数字顺序也进行颠倒,所以967去除7以后再颠倒应该是69,选 B.
例19:1807,2716,3625,( )
A.5149 B.4534 C.4231 D.5847
解:四位大自然数,直接微观地看各数字关系,发现每个四位数的首两位和为9,后两位和为7,观察选项,很快得出选 B.
第三步:另辟蹊径
一般来说完成了上两步,大多数类型的题目都能找到思路了,可是也不排除有些规律不容易直接找出来,此时若把原数列稍微变化一下形式,可能更易看出规律。
变形一:约去公因数。数列各项数值较大,且有公约数,可先约去公约数,转化成一个新数列,找到规律后再还原回去。
例20:0,6,24,60,120,( )
A.186 B.210 C.220 D.226
解:该数列因各项数值较大,因而拿不准增幅是大是小,但发现有公约数6,约去后得:0,1,4,10,20,易发现增幅一般,考虑做加减,很容易发现是一个二级等差数列,下一项应是:20+10+5=35,还原乘以6得210.
变形二:因式分解法。数列各项并没有共同的约数,但相邻项有共同的约数,此时将原数列各数因式分解,可帮助找到规律。
例21:2,12,36,80,( )
A.100 B.125 C.150 D.175
解:因式分解各项有:1×2,2×2×3,2×2×3×3,2×2×2×2×5,
稍加变化把形式统一一下,易得:1×1×2,2×2×3,3×3×4,4×4×5,
下一项应该是:5×5×6=150,
故选 C.
变形三:通分法。适用于分数列各项的分母有不大的最小公倍数。
例22:1/6,2/3,3/2,8/3,( )
A.10/3 B.25/6 C.5 D.35/6
解:发现分母通分简单,马上通分去掉分母得到一个单独的分子数列:1,4,9,16,( )。增幅一般,先做差的:3,5,7,下一项应该是:16+9=25。还原成分母为6的分数即为B.
第四步:蒙猜法——不是办法的办法
有些题目就是百思不得其解,有的时候就剩那么一两分钟,那么是不是放弃呢?当然不能,一分万金啊!有的放矢地蒙猜往往可以救急,正确率也不低。下面介绍几种蒙猜法:
第一蒙:选项里有整数也有小数,小数多半是答案。
见例5:64,24,44,34,39,( )
A.20 B.32 C.36.5 D.19
直接猜 C!
例23:2,2,6,12,27,( )
A.42 B.50 C.58.5 D.63.5
猜:发现选项有整数有小数,直接在C、D里选择,出现“.5”的小数说明运算中可能有乘除关系。
观察数列中后项除以前项不超过3倍,猜C正解:
做差得:0,4,6,15。
(0+4)×1.5=6;(2+6)×1.5=12 ;(4+6)×1.5=15;(6+15)×1.5=31.5;
所以,原数列下一项是:27+31.5=58.5.
第二蒙:数列中出现负数,选项中又出现负数,负数多半是答案。
例24:-4/9,10/9,4/3,7/9,1/9,( )
A.7/3 B.10/9 C.-5/18 D.-2
猜:数列中出现负数,选项中也出现负数,在C/D两个里面猜,而观察原数列,分母应该与9有关,猜 C.
第三蒙:猜最接近值。有时候貌似找到点规律,算出来的答案却不在选项中,但又跟某一选项很接近,别再浪费时间另找规律了,直接猜那个最接近的项,八九不离十。
例25:1,2,6,16,44,( )
A.66 B.84 C.88 D.120
猜:增幅一般,下意识地做差有:1,4,10,28;
再做差:3,6,18,
下一项或许是(6+18)×2=42,或许是6×18=108,
不论是哪个,原数列的下一项都大于100,
直接猜 D.
例26:0.,0,1,5,23,( )
A.119 B.79 C.63 D.47
猜:首两项一样,明显是一个递推数列,
而从1,5递推到25必然要用乘法,
而5×23=115,
猜最接近的选项119.
第四蒙:利用选项之间的关系蒙。
例27:0,9,5,29,8,67,17,( ),( )
A.125,3 B.129,24 C.84,24 D.172,83
猜:首先注意到B,C选项中有共同的数值24,立马会心一笑,知道这是阴险的出题人故意设置的障碍,而又恰恰是给我们的线索,第二个括号一定是24!
而根据之前总结的规律,双括号一定是隔项成规律,我们发现偶数项9,29,67,( )后项都是前项的两倍左右,
所以猜129,选 B.
例28:0,3,1,6,√2,12,( ),( ),2,48
A.√3,24 B.√3,36 C.2,24 D.√2,36
猜:同上题理,第一个括号肯定是√3!
而双括号隔项成规律:3,6,12,易知第二个括号是24,
很快选出A.