初中奥数专题解析

一、填空选择题

题1:s=,则4S的整数部分是_____。

A.4     B.5   C.6   D.7

解析：

此题从第五项起分别扩大，即

.

.

.

由此可得，

原式S

提取公因式1/4，即为

原式S

则

原式S =

则可知，

4S < 4="" ×="">= 5

即4S的整数部分为4。故选A.

题2：两条直角边长分别是整数a、b（其中b<>（选自2014年全国初中数学联赛）

解析：

根据直角三角的勾股定理可知：

        a2=2b+1,

        已知 b<>

        a2<><>

        已知a是整数，且是直角边a>0，可计算得0<><>

         因2b+1（b是整数且大于0）是奇数且大于1，所以a也是奇数    

      且大于1，即可的a的集合：3、5、7、9、11、13......61、63，

      可得个数：（63-3）/2 +1=31

  

   

题3：一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分1、2、2、3、3、4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别1、3、4、5、6、8。同时掷两个骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是：_______。（选自2014年全国初中数学联赛）                      

解析：

5=1+4=2+3=2+3=4+1，共有4种可能，所有的可能 性：C1,6)*C(1,6)=36，则4/36=1/9

题4：的三个不同内接正三角形将分成的区域个数是_____。（选自2014年全国初中数学联赛）                                  28

解析：只需手画，较简单。

题5：对于任意实数a、b、c、d，定义有序实数对（a、b)与（c、d）之间的运算“△”：（a、b)△（c、d）=（ac+bd，ad+bc）。如果对于任意实数u、v，都有（u、v）△（x、y）=（u、v），那么（x、y）为_____。（选自2014年全国初中数学联赛）                 （1、0）

解析：只需代入，较简单。

题6：，则=_____。（选自初中数学奥林匹克基础知识与题解）       

解析：较简单。             62

 

      

题7：如果，则_____。（选自初中数学奥林匹克基础知识与题解）

解析：较简单。               或

题8：除以13的余数是________。（选自初中数学奥林匹克基础知识与题解） 

解析：较简单。                       3

题9：㏒3（81）×㏒2（49）×㏒7（125）×㏒5（2）=____________。     解析：较简单。     24

题10：已知是168位数，请问____位数。（选自初中数学奥林匹克基础知识与题解）                             29

解析：

47︺100取以10为底的对数为100Lg47，则根据已知条件，100Lg47的值在167-168之间，则Lg47在1.67-1.68之间。

将47︺17继续取以10为底的对数，即是17Lg47，由前面结论代入，17Lg47的值是在17*1.67～17*1.68之间，即在28.39～28.56之间，47︺17是在10︺28.39～10︺28.56之间，所以

47︺17是29位数。

题11：如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”。如：2=13-（-1）3，26=33-13，2和26均为“和谐数”。那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 _______。    （选自2016年全国初中数学联赛）

解析：

根据“和谐数”的定义，可以计算出不超过2016的最大和谐数，根据立方差公式，

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)<>

a2+ab+b2<>

a、b两数之差是2，假设b=a+2,那么

3a2+6a+4<><1007>

则a<><>

193-173=1946，

接下来就是要找到最小的那个和谐数，因为定义的和谐数都是正整数，所以最小的是

13-(-1)3=2，

则所有和谐数的和可以写成

S=(193-173)+(173-153)+…+(33-13)+[(13-(-1)]3

=193-(-1)3=6859-(-1)=6860

题12：在四边形ABCD中，BC//AD,CA平分∠BCD，O为对角线的交点，CD=AO,BC=OD,则∠ABC=________。（选自2016年全国初中数学联赛）

解析：

根据条件可以试着画一个四边形，有点接近一个平行四边形，由众多已知条件可假设∠ACB=X，则和X相等的角有∠ACD、∠CAD、∠CDB，所以∠ADB=180°-3X，而在?BCO内，∠CBO=∠COB=180°-3X，则有等式

2(180°-3X)+X=180°

解得

X=36°

由此可知

∠BCD=∠CBD=∠ADB=72°

可推出

DC=DB

而DC=DA

则DA=DB，可知

∠BAD=∠ABD，

而∠ADB=72°，

所以

∠ABD=(180°-72°)/2=54°

则

∠ABC=∠CBD+∠ABD=72°+54°=126°

题13：已知锐角?ABC的外心为O，AO交BC于D，E、F分别为?ABD、ACD的外心，若AB>AC,EF=BC,则∠C-∠B=_______。（选自2016年全国初中数学联赛）

解析：

根据题意可知，EF⊥AD,因EF=BC,可过F点作BC的平行线分别交AD、AB、AM于点N、M、I,如下图，由于点E是?ABD的外心，点F是?ACF的外心，BD与DC的中垂线平行且FI=1/2*BC(两垂足之间的距离)因此

 

∠FEI=30°，∠EFI=60°，

 

∵FE⊥AD

 

∴∠ANF=30°

 

又∵∠ANF=∠AMF+∠MAN,∠AMF=∠ABC

 

∴∠ABC+∠MAN=30°(1)

 

∵点O是△ABC的外心

 

∴∠ABC+∠ACO=90°(2)

(2)-(1)得

 

∴∠ACO-∠MAN=60°

而∠CBO=∠OCB

则

(∠ACO+∠OCB)-(∠ABO+∠CBO)=60°

 又因

∠ACB=∠ACO+∠OCB，

∠ABC=∠ABO+∠CBO

则

∠ACB-∠ABC=60°

题14：已知实数x、y满足关系式x2+xy+y2=3，则（x-y)2的最大值为_______。（选自2016年全国初中数学联赛）

解析：

假设t=x-y，则由已知条件可知、

x2+x（x-t）+（x-t）2=3?3x2-3tx+t2-3=0

∵x、y是实数

∴△≥0

即（-3t）2-4×3×（t2-3)≥0

t 2≤12     

≤ t ≤

∴要使t2取最大值，即只有当t=或时

即（x-y)2的最大值为（）2=12

题15：设n是小于100的正整数且使2n2-3n-2是6的倍数，则符合条件的所有正整数n的和是_______。（选自2016年全国初中数学联赛）

解析：

可将式子化简得，

2n2-3n-2=2(n+1)(n-1)-3n

要使该式子为6的倍数，即既能被3整除也能被2整除。

因为3n是3的倍数，所以2(n+1)(n-1)也是3的倍数，即(n+1)(n-1)是3的倍数，则可知n≠3的倍数。

又因为2(n+1)(n-1)是2的倍数，3n也是2的倍数，即n是2的倍数。

综合前面所知，n是偶数且不是3的倍数且小于100，即

2、4、8、10、14、16、…、92、94、98

只要将100以内所有的正偶数相加再减去所有6的倍数即可

   (2+98)×98÷2÷2-(6+96)×96÷6÷2

=  2450-816

=   1634

题16：已知a=?5 -1，则2a3+7a2-2a-12的值等于_______。

解析：

由于(?5-1)(?5+1)=4，即a(a+2)=4

原式 = 2a*a(a+2)+3a(a+2)-8a-12

    = 8a+12-8a-12

    = 0

题17：一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上同一方向匀速行驶，在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车和轿车的正中间，过了10分钟，小轿车追上了货车，又过了5分钟，轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t=_______。

解析：

可设该某时刻小轿车与货车的距离为S千米，那么与客车的距离为2S千米，则由题意可知

轿车比货车的速度快S/10(千米/分钟)?也称相对速度)，轿车比客车的速度快2S/15(千米/分钟)，由此还可知，货车比客车的速度快2S/15-S/10=S/30，而在某时刻货车与客车的距离等于货车与轿车的距离S，则从该时刻起需要S÷S/30=30(分钟)，而轿车追上客车已经过了10+5=15(分钟)，所以t=30-15=15(分钟)

题18：对于i=2，3，4，5，…，k，正整数n除以i所得的余数为i-1,若n的最小值n0满足2000<><>

解析：

此题按照余数的特点：即余数比除数小1，则只要该正整数n加1即可被所有连续整数整除，所以只要求出连续自然数2，3，4，5，...，k的最小公倍数在2000-3000范围内即可，经过简单演算，2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍数是2520，那么根据题意，满足条件的正整数n是2520-1=2519，整数k的最小值为9。

题19：如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D。若CD=CF，则AE/AD=______。

解析：

连接C、E，由CD=CF、EC共用，∠CDE=∠EFC=90°，可得?CDE§?CFE，由此可知ED=EF，而?BCE的面积等于矩形ABCD的一半，即BC×CD÷2或BE×CF÷2=BE×CD÷2，则BE=BC=AD

由EF：AE=AE：BE?ED：AE=AE：AD

即点E为线段AD的黄金分割点，AE/AD=(?5-1)/2

题20：如图，在平面直角坐标系XOY中，多边形OABCDE的顶点分别是O(0,0)，A(0,6)，B(4,6)，C(4,4)，D(6,4)，E(6、0)。若直线L经过点M(2,3)，且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线L的函数表达式是_________。

解析：

第一步：计算出多边形的面积

6×6-2×2=32

则直线L所截的直角梯形中位线的长度为16/6=8/3，即直线L经过点(3，8/3)，令直线L的表达式为

y=k x+a，则k=(3-8/3)÷(2-3)=-1/3，a=11/3

可得解析式为

y=-1/3x+11/3

题21：已知非负实数x，y，z满足x+y+z=1，则t=2xy+yz+2zx的最大值为_________。

解析：

可将t式子转化为

t=2x(y+z)+yz≤2x(1-x)+(1-x)2/4=-7/4(x-3/7)2+4/7

则当x=3/7，y=z=2/7时，t取最大值为4/7。

题22：若x>1，y>0,且满足则x+y的值为_________。

解析：

分别取对数可得，

Lgx+Lgy=yLgx，Lgx-Lgy=3yLgx，

化解得，y=1/2，x=4，则x+y=9/2

题23：在等边三角形ABC所在的平面内存在点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，请指出具有这种性质的点P的个数是_________。

解析：

可按照顺序画，除三角形内的一个外心之外，还有每一条边的垂直平分线上有三点，一点是在与该边所对顶点外侧与顶点距离等于边长的点，另一点与该边所对顶点距离等于边长且靠近该边这一侧的点，第三点为与该边距离均为边长与顶点对称的一个点，则具有这种性质的点一共是3×3+1=10

题24：已知实数a、b、c满足a+b+c=1，，则abc=_________。

解析：

此题纯粹转化，将一式代入二式，最后一步为

[4(ab+bc+ac)-1]/[4(ab+bc+ac)-1-8abc]=1，则

abc=0

题25：如图，在RTABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于ABC，且其边长为12，则ABC的周长为_________。

解析：

可设Rt?ABC两直角边AC=x，BC=y，则根据面积可知

xy=12(x+y)

两边同时平方得

x2y2=144(x2+y2+2x y)

      =144(352+2x y)

即(xy)2-288xy-4202=0

xy=(288±37*24)/2

因x>0，y>0，则

xy=588

x+y=49，

由韦达定理的逆定理可知

x，y为方程t2-49t+588=0的两个根，分解得

(t-21)(t-28)=0

t?=21，t?=28

由于结果只是求?ABC的周长，实际上只需求得X+Y的值即可，

周长C=49+35=21+28+35=84

题26：已知P为等腰?ABC内的一点，AB=BC，∠BPC=108'，D为AC的中点，BD与PC交于点E,如果点P为ABE的内心、则∠PAC=_________。

解析：

可按照内心的特点先求出∠EAP=∠PAB=90°-(360°-2×108°)÷2=18°，可设∠EAC=x，则有

∠ACE=x，再得，

∠BEP=∠AEP=2x=∠ECB+∠CBE

再根据等腰三角形中线BD∟AC得

∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠BCE+∠DCE

                         =∠PEB+∠DCE

                         =2x+x=90°

x=30°

∠PAC=∠PAE+∠EAC=18°+30°=48°

题27：如果a、b、c是正数，且满足a+b+c=9，，那么的值为_________。

解析：

将第二个式子左右两边同时扩大9倍，即是

(a+b+c)/(a+b)+(a+b+c)/(b+c)+(a+b+c)/(c+a)=(10/9)×9=10

即

1+c/(a+b)+1+a/(b+c)+1+b/(c+a)=10

c/(a+b)+a/(b+c)+b/(c+a)=10-3=7

题28：如图，正方形ABCD的边长为215，E、F分别是AB、BC的中点，AF与DE,DB分别交于点M、N，则DMN的面积是_________。

解析：

由题意可知Rt?ABF§?DAE?∠AED+∠EAM=∠DEA+∠ADE90°?AF∟DE?EM/AM=AM/MD=AE/AD=1/2?S?AMD=4S?AEM?S?ADM

=1/5*S?AED=1/5*S?ABF

而S?BFN=1/3*S?ABF(连接E、N可得)

则S四边形EBNM=S?ABF-S?AEM-S?BFN

                             =S?ABF(1-1/5-1/3)

                             =S?ABF*7/15 

                             =(2?15)2×1/4×7/15

                             =60×7/60

                             =7

则S?DMN=S?BDE-S四边形BNME=60*1/4-7=8

题29：如果关于X的方程的两个实数根分别为X1,X2,那么的值为_________。

解析：

可将原方程转化为(x+k/2)2+1/2(k-3)2=0

则，k=3

则方程可进一步转化成

(x+3/2)2=0

x?=x?=-3/2

(x?︺2011)/(x?︺2012)=-2/3

题30：设N为整数，且1≤N≤2012，若（N2-N+3)(N2+N+3)能被5整除，则所有N的个数为_________。

解析：

可将(N2-N+3)(N2+N+3)转化为

(N2+3)2-N2=N?+5N2+9=(N?+9)+5N2

因5N2是5的倍数，只要N?+9是5的倍数就可满足。

要使N?+9是5的倍数，只要N?的尾数为1或者6就行，那么什么样的数的4次幂尾数为1或6？

个位数为1或3或7或9的自然数的4次幂的尾数为1；

个位数为2或4或6或8的自然数的4次幂的尾数为6。

所以只要尾数不是0和5的其他数且满足1≤N≤2012就是符合条件的数

尾数为0和5的数的总数量为：2012÷5=402…2

则所有满足条件的N的个数：2012-402=1610

二、证明解答题

题1 :  已知，求证：
（此题选自波兰全国数学竞赛）

解析：

由已知条件

可得，（bc+ac+ab）（a+b+c）=abc，

去括号可得，3abc+b^2×(a+c)+b(a^2+c^2)+ac^2+a^2×c=abc,

可化解得，b^2×(a+c)+b(a+c)^2+ac(a+c)=0,

即（a+b)(a+c)(b+c)=0,

由此可以得出结论，a、b、c三个数至少有两个数互为相反数。

由结论可得

（1）

这三个数至少有两个数互为相反数；

（2）
这三个数至少有两个数互为相反数；

不妨任意假设a、b互相相反数，则

，

即得结论：

题2  试证明：世界上任意6个人中，一定有3个人或者互相认识或者互相不认识。（此题选自《初中数学奥林匹克基础知识及题解-中央电视台专题讲座教材》---染色或抽屉原理）

解析：

这题一道推理题。从结论“一定有3个人或者互相认识或者互相不认识”看，这是一个分集模式，不是并集。两个结论只要满足一个结论即可成立。可以分两种方式来推理

第一种：纯文字推理

           定义6个人分别为A、B、C、D、E、F，那么可以想象其中A与另5个人的关系，要嘛认识，要嘛不认识。有且只有两种情况，分两种情况讨论，：1、A与另5个人中至少和3个人认识；2、A与另5个人中至少和3个人不认识

1、A与另5个人中至少和3个人认识

假设另外3个人是B、C、D和A认识，要分两种情况分心

（1）B、C、D互不认识，即结论成立；

（2）B、C、D三人中有两个人以上相互认识，那么不管是哪两个人，他们均和A认识，即3人互相认识，结论成立。

2、A与另5个人中至少和3个人不认识

同样假设另外3个人是B、C、D和A不认识，要分两种情况分心

（1）B、C、D互相认识，即结论成立；

（2）B、C、D三人中有两个人以上互不认识，那么不管是哪两个人，他们均和A互不认识，即3人互不认识，结论成立。

第二种：文字结合图像

            同样定义6个人分别是平面上6个点A、B、C、D、E、F，那么可连接点A与另外5个点B、C、D、E、F，同样分两种情况讨论，：1、A与另5个人中至少和3个人认识；2、A与另5个人中至少和3个人不认识。（这两种情况是包含所有可能的情况）

             那么再定义相互认识的两个人之间的连线为红色，不认识的两个人之间的连线为黑色；

则按以下两种情况讨论：

情况1、A与另5个人中至少和3个人认识；

假设A与C、D、E认识，那么如下图

（1）若C、D、E三人互不认识，即3人黑线连接，结论成立；

（2）若C、D、E三人中有两个人互相认识，即C、D或C、E或D、E互，不管是哪两个人，他们之间的连线是红线，必定和点A组成一个红色的三角形。即三个人互相认识，结论成立。

情况2、A与另5个人中至少和3个人不认识；

假设A与C、D、F不认识，那么如下图

（1）若C、D、F三人互相认识，即3人红线连接，结论成立；

（2）若C、D、E三人中有两个人互相不认识，即C、D或C、F或D、F互，不管是哪两个人，他们之间的连线是黑线，必定和点A组成一个黑色的三角形。即三个人互相不认识，结论成立。

以上两种情况即所有情况均证明6个人中，必定有三个人互相认识或者互相不认识。

题3：已知，求证：（a-1）（d-1）=（b-1）（c-1）

（选自初中数学奥林匹克基础知识及题解中央电视台专题讲座）

解析：

由已知条件可得，

           

分别取对数得知，

(a-1)lg2 + (b-1)lg5  =  (c-1)lg2 + (d-1)lg5 = 0

----->(a-1)/(b-1) = ；

   (c-1)/(d-1) =

----->(a-1)/(b-1) = (c-1)/(d-1)

----->(a-1)(d-1)  = (b-1)(c-1)

题4：已知0<><><><>

+ ≥ 

解析：

根据式子的特点，每个根号式子内都是两个数的平方和并且均关于x 、y的。可以把他们分别看成两点的距离。

不妨作一个图，如图所示:长方形ABCD的长宽分别为2、1。把点A看作原点，AB所在的直线为X轴，AD所在的直线为Y轴，假设点M的坐标为(x,y)，以下“根号”用“?”替代

(x2+y2)=AM

[(2-x)2 + y2]=BM

[x2+(1-y)2]=DM

[(2-x)2+(1-y)2]=CM

当点M和长方形对角线的交点重合的时候，AM+CM+BM+DM=2?5

当点M和长方形对角线的交点不重合时

∵  在?ACM中，AM+CM>AC

     在?BDM中，BM+DM>BD

∴AM+CM+BM+DM>AC+BD

又∵AC与BD是长方形ABCD的两条对角线，长AB=2，BC=1

∴ AC+BD=2?5

即AM+CM+BM+DM>2?5

综上所述:AM+CM+BM+DM≥2?5

即结论成立。

题5： 如下图△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，BE、CD相交于点F,设S四边形ADFE=S1,S△BDF=S2,S△BFC=S3,S△EFC=S4,则S1S3与S2S4的大小关系如何？(选自2014年全国初中数学联赛)

 

解析：

比较S1S3与S2S4的大小，咋一看，好像无从下手，迅速找原因，主要是S1和S3之间是乘法，S2和S4之间也是乘法，能否变成除法，瞬间迎刃而解，步骤如下:

S1/S2>S?DEF/S2=EF/BF(同高)

S4/S3=EF/BF                     (同高)

由此可知

S1/S2>S4/S3

则S1S3>S2S4(不必考虑变号，因为它们均大于0)

题6： 如下图△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC。点Ｐ在△ABC内，且  PA＝，PB＝５，PC＝２，求△ABC的面积。(选自2014年全国初中数学联赛)

分析：

由PA=，PB=5,PC=2，∠BAC=60°，数据大分析，

/ 2    =   SIN60°，

()2    =     3 

          =  5 - 2 ，

       22       =   4  ，

     PB        =    5，

3、4、5是一个直角三角的三条边，还有一个关键已知条件，AB=2AC,利用这个条件得如下：

解析：

取AB中点D，则AD=AC,为了将PC和PA、PB集合在一起，不妨将△APC绕点A顺时针旋转60度，使得AC与AB重合，因AB=2AC,则旋转后的C点与AB中点D重合，旋转后的P点为P’，如下图，延长AP'至E,使得P'E=AP',连接B、E与P、E，

由AE=2AP且夹角∠EAP=60°，可知△APE为直角三角形（也可连接PP'得知），

则PE=AE*Sin60°=3，

由△BPE中PE=3,BE=4,PB=5,可知△BPE为直角三角形，

∠AEP=90°-∠PAE=30°，则∠AEB=90°+ 30°= 120°,

由此可得AB的值，即

AB2 = BE2 + AE2 - 2BE×AE×COS120°= 4(7+2),

（AB的值也可过A点做BE的垂线，设垂足为F,则AF=3,EF=,在直角三角形ABF中，根据勾股定理也可计算出AB）

S△ABC =   AB×AC×Sin60°

      =   × AB^2×

       =   或者

题7：如下图，P为长方形ABCD内的一点，PA=3,PD=4,PC=5,求PB的值。(选自初中数学奥林匹克基础知识及题解-中央电视台专题讲座)

                             

解析：

题中已知3条线段的长度，必须充分利用现有条件，尽量多一些找出它们之间存在的关系。此题解法很多，下面介绍一种解法

可过点P分别做四条边的垂线，交AB于M，交CD于N，交BC于E，交AD于F，则有

AF=MP，DF=NP，DN=FP，NC=PE

可假设DN=FP=X，PM=FA=Y

则根据勾股定理可知

X2+PN2=42=16

NC2+PN2=52=25

由这两式可知

NC2=X2+9

再由

Y2+PF2=32=9

DF2+PF2=42=16

此两式结合可得

DF2=Y2+7

此时AD与DC两条边上的4条线段均有字母替代，则可得

X2+Y2=32=9(其实在最前面也可直接看出来)

而所求的

PB2=MB2+PM2

      =NC2+AF2

      =X2+9+Y2

      =9+9

      =18

则PB=32

题8：如下图，已经G是△ABC的重心，过G点作直线分别与△ABC的AB、AC交于E、F。求证：EG ≤  2GF (选自初中数学奥林匹克基础知识中央电视台专题讲座)

解析：

由已知条件G是△的重心,可连接B、G并延长交于AC于D点，则

BG=2GD（重心的特性，很容易求证）

∵  S△AGE≤ S△AGB=2S△AGD≤ 2S△AGF（AF>AD）

  即S△AGE≤ 2S△AGF

又∵ 在△AEF中，S△AEF=S△AGF+S△AGE,即△AGF、△AGE是不同底(EG和GF)等高的三角形

∴  EG ≤ 2GF

题9：设实数a、b满足a2（b2+1）+b（b+2a）=40，a（b+1）+b=8。求的值。

解析：

a2(b2+1)+b(b+2a)=40

(ab)2+(a+b)2=40

                                               ｝(ab)2+(8-ab)2=40

a(b+1)+b=8?a+b=8-ab

(ab)2-8ab+12=0?(ab-2)(ab-6)=0

ab=2或ab=6

(1)当ab=2时，a+b=6，此时a、b是方程x2-6x+2=0的两个根，此方程?=62-4×2=28>0,两根为实数根。

此时1/a2+1/b2=(a2+b2)/(a b)2=[(a+b)2-2ab]/(a b)2=(62-2*2)/22=8

(2)当ab=6时，a+b=2，此时a、b是方程x2-2x+6=0的两个根，此方程?=22-4*6=-20<0，该方程无实数根，即此a b="">

题10：求满足2P2+P+8=M2-2M的所有素数P和正整数M。

解析：

由2P2+P+8=M2-2M?P(2P+1)=(M-4)(M+2)

因P是质数， P<>

(1)当M-4是P的倍数时，可设M-4=KP，则原式可转化为

2P2+P=KP(KP+6)?3P2>K2P2(左边扩大，右边缩小)?3>K2(K是正整数)?K=1

此时，2P2+P=P(P+6)?P2-5P=0?P=5(P=0不符)，?M=9

(2)当M+2是P的倍数，可设M+2=KP，则原式可转化为

2P2+P=KP(KP-6)

(i)当素数P>5时，2P2+P>KP(KP-P)(右边缩小)=K(K-1)P2，再进行左边扩大，3P2>2P2+P>K(K-1)P2?3>K(K-1)?K=1或者K=2(K为正整数)

因素数P>5，那么2P2+P是奇数，所以K≠2

当K=1时，

M+2=P，M-4=2P+1，此时无解。

(i i)当P=5时，与上同解，M=9

(i i i)当P=3时，M2-2M-29=0，无整数解

(i i i i)当P=2时，M2-2M-18=0，无整数解。

至此，此题只有唯一解，即素数P=5，整数M=9。

题11：如图，曲线为y=1/x，直线L为y=x，已知A、B是直线L上的两点，AM//BN//Y轴，BN=2AM，求4OM2-ON2的值。

解析：

根据A，B是直线L上的两个点，可设A点坐标为(X?，X?)，B点坐标为(X?，X?)，而AM//BN//Y轴，M，N分别是曲线Y=1/X上的两个点，可知M点的坐标为(X?，1/X?)，N点的坐标为(X?，1/X?)，由BN=2AM?(X?-1/X?)=2(X?-1/X?)

则

4OM2-ON2 = 4[X?2+(1/X?)2]-[X?2+(1/X?)2]

        = 4[X?2+(1/X?)2]-[(X?-1/X?)2+2]

        = 4[X?2+(1/X?)2]-4(X?-1/X?)2-2

        = 4[X?2+(1/X?)2]-4[X?2+(1/X?)2]+8-2

          = 8-2

        = 6

题12：某停车厂白天和夜间两个不同时段的停车费用的单价不同。张明2月份白天的停车时间比夜间多40%，3月份白天的停车时间比夜间少40%。若3月份的总停车时间比2月份多20%，但停车费却少了20%，那么该停车场白天时段与夜间时段停车费用的单价之比是_____.

解析：

分别将时间比用数字比替代，例如

二月份白天与夜间比可写成1.4:1，3月份白天与夜间比可写成0.6:1，因三月份时间比二月份时间多20%，则三月份白天与夜间的时间比又可写成：1.08:1.8，再根据停车费的比例，二月份:三月份=1:0.8，则可根据停车费比列，三月份的停车费等同于时间比-白天:夜间=1.12:0.8，与之前1.08:1.8相比，白天多0.04，夜间少了1，即两个时间所需费用相同，则白天与夜间停车费用的单价之比为1：25.

题13：围着一张可以转动的圆桌，均匀地放着8把椅子，在桌子上对着椅子放有8个人的名片。这8个人入座后，将圆桌顺时针转动，第一次转45度，从第二次开始，每次转动比上一轮多转45度，每转动一次，当某人对着自己的名片时，取走自己的名片。如果入座时谁都没有对着自己的名片，那么桌子至少转了多少度才能保证所有入座可能的情况下8个人都拿到了自己的名片？

解析：

重点分析最后一句话，挖掘出潜在含义。要想使每个人都拿到自己的名片，可令其中一个点为起点0°,即要使该起点在转动的过程中至少出现过45°，90°，135°，180°，225°，270°，315°，只要这些角度全部转到时，即该起点的位置所对应的人必定会拿到自己的名片。

我们可将0°，45°，90°，135°，180°，225°，270°，315°分别用0，1，2，3，4，5，6，7替代，8为一个循环，如下图所示

当旋转7次后，角度1-7均出现过1次，此时可以说，起点位置所对应的各个角度均出现过，即起点所对应的人在旋转的过程中必定有对应自己的名片。同理其他各个位置也同样出现过各自对应的名片，这样可得旋转角度，即

（1+7）×7÷  2×45° =1260°

题14：两张8×12的长方形纸片重叠在放置，有一个顶点重合，尺寸如下图所示。问图中阴影部分的面积是多少？

解析：

连接A、H，可知

AH2=AD2+DH2=122+12=145

而AH2=AE2+EH2

EH2=145-64=81

EH=9

S阴影=12×8-12×1÷2-8×9÷2=54

题15：如下图，ABCD是正方形，F是其对角线的交点，E在BC边上，BE:EC=1:2，DE与对角线AC的交点为G，三角形DFG的面积等于2.求正方形ABCD的面积。

解析：

第一步：连接E、F，可设S?EFG=x，则

S?BEF=S?EFD=2+x

S?BED=4+2x，S四边形BEGF=2+2x

第二步：再连接B、G,可知

S?BEG=S四边形BEGF-S?BFG=2+2x-2=2x

而BE：EC=1：2

S?BCG=2x*3=6x

S?BCF=2+6x

第三步：结合正方形ABCD与?BED，?BCF的关系，即

S正方形=6S?BED=4S?BCF

              =6×(4+2x)=4×(2+6x)

    12x=16

    x=4/3

    S正方形=6×(4+2×4/3)或4×(2+6×4/3)

    S正方形=40

题16：设a、b、c是直角三角形形的三条边，c为斜边，整数n≥3，求证：a∧n+b∧n<>

解析：

思路分析-此题可利用三角函数求解。即不等式两边同时除以c∧n。

假设直角边a所对的角为a，直角边所对的角为b，斜边c所对的角为C，则有

sin2a+sin2b=1

sin∧(n)a+sin∧(n)b<>

(a/c)∧n+(b/c)∧n<>

a∧n+b∧n<>

也可根据勾股定理

a2+b2=c2

c2×c^(n-2）=a2×c^(n-2）+b2×c^(n-2）

因c>a，c>b，则c^n>  a2×a^(n-2）+b2×b^(n-2）= a^n+b^n即命题得证

题17：在RtΔABC中，∠C为直角，过点C作AB的垂线，垂足为D，过点D分别作AC和BC的垂线，垂足分别为E，F。求证：AE/BF=AC3/BC3

解析：此题主要是关系转换，如下

AC3/BC3=AE3/DE3

              =AE/DE  *AE2/DE2

              =AE/DE *AE2/(AE*EC)

              =AE/DE*AE/EC

              =DF/BF *AE/EC

而DF=EC，则

AC3/BC3=AE/BF(其中相似成比例关系省去一些说明)

即命题得证