有关圆锥展开图计算的两个重要公式

大家在解决有关圆锥侧面展开图的计算问题时，通常利用了两个等量关系，第一个是=×底面圆周长(或侧面的弧长)×母线长，第二个就是侧面的弧长等于底面的周长，但每次都直接利用这两个等量关系来计算还是很麻烦，特别是同学们往往容易忘记乘以系数，基于此我们不妨把这两个等量关系进一步推导，得出实质性的乘积、比例公式。我相信同学们在理解并运用这两个公式后，解题的思路可以变得清晰，速度和准确度也可以得到很大的提高。

一、推导公式：

1.乘积式：侧面积：

全面积：

 

2.比例式：弧长 等于⊙O1的周长

∵  ∴

又∵

           即：

     这两组公式的优点是避开了求底面圆周长，而直接建立了S侧 与R、r的乘积关系，以及圆心角n与R、r的比例关系，减少了许多中间过程，特别是比例式给我们的计算带来了极大的便利。

二、运用乘积式：

类型一：顺向使用公式

【问 题】（2009济南）在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径高则这个圆锥漏斗的侧面积是（  ）

A．　B．   C．   D．

分 析：从刚才推导出的可以看出，只与圆锥的母线长度以及底面圆半径有关，若题目没有直接给出母线长度以及底面圆半径，往往还可以利用R、r和h组成的直角三角形，求出未知的R或r来，从而计算出侧面积。

结 论：要求,就求R、r。

解 答：此题由底面半径高可以求出母线BC为10cm，即R=10cm，r=6cm，再由，选C。

【练 习】

1. （2009铁岭）小丽想用一张半径为5cm的扇形纸片围成一个底面半径为4cm的圆锥，接缝忽略不计，则扇形纸片的面积是        cm²．（结果用表示）20

2.（2009南昌）一个圆锥的底面直径是80cm,母线长是90cm,则它的侧面积是____    。

3600cm²

3. （2008成都）小红同学要用纸板制作一个高4cm，底面周长是6πcm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是（    ）B

A．12πcm²          B．15πcm²          C．18πcm²          D．24πcm²

 

类型二：逆向使用公式

【问 题】（2009义乌）如图，圆锥的侧面积为，底面半径为3，则圆锥的高AO为        .

分 析：从刚才推导出的可以看出，已知、R、r中任意两个量可以求出余下未知的量，若题目要求求出圆锥的高h，往往还可以利用R、r和h组成的直角三角形，从而求出。

解 答：此题由=，r=3，可以求出R=5，再根据勾股定理求出高AO= 4。

【练 习】

（2009营口）小红用一个半径为36cm，面积为324cm²的扇形纸板，制作一个圆锥形

玩具帽（接缝的重合部分忽略不计），则帽子的底面半径为           cm．9

三、运用比例式：

类型一：公式

【问 题】（2009抚顺）如图所示，已知圆锥的高AO为8cm，底面圆的直径BC长为

12cm，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为          度．

分 析：从刚才推导出的可以看出，已知n、R、r中任意两个量可以求出余下未知的量，若题目没有直接给出母线长度以及底面圆半径，往往还可以利用R、r和h组成的直角三角形，求出未知的R或r来，从而计算出侧面展开图的圆心角。

结 论：n、R、r三个量中知二可以求余一。

解 答：此题由底面直径BC=12cm，高AO=8cm可以求出母线AB为10cm，即R=10cm，r=6cm，再由计算出n=216，即圆锥的侧面展开图的圆心角为216度。

【练 习】

1．（2009江西）用直径为80cm的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计接缝部分），则此圆锥的底面半径是          cm．20

2．（2009成都）  若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（      ）C

    A．40°      B．80°       C．120°      D．150°

3．（2008枣庄）如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1 cm，则这个圆锥的底面半径为（      ）C

A．cm    B．cm   C．cm   D．cm

4．（2009仙桃）现有30％圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么剪去的扇形纸片的圆心角为（   ）．B

A、9°     B、18°     C、63°     D、72°

　

类型二：公式

【问 题】（2008仙桃）.如图，小明从半径为5cm的圆形纸片中剪下40%圆周的一个扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为(     ) A．3cm      B．4cm     C．cm   D．cm

　　

分析：从刚才推导出的可以看出，n为扇形的圆心角，则可以看做，即。

解答：此题由R=5cm，以及剪下40%的扇形为圆锥侧面展开图，根据可求出r =2cm，再由勾股定理求出高为cm，选C.

【练 习】

1.（2009山东）将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为 (     ) A

A．10cm     B．30cm           C．40cm    D．300cm     

2.（2009临汾）若一个圆锥的底面积是侧面积的，则该圆锥侧面展开图的圆心角度数是____     _度．120

3.（2008泰安）如图，圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为（    ）D

A．              B．    C．          D．

 

四、综合运用乘积式，比例式：

【问 题】（2009崇左）已知圆锥的侧面积为，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为            cm．

分 析：从刚才推导出的，可以看出，，n都要依靠R、r来建立联系，当我们已知时，可以建立R、r的乘积关系，当我们已知n时，又可以建立R、r的比例关系。最终可以求出未知量。

解 答：此题由=，得到Rr =8，由n=，得到，则R=8cm，r=1cm

       即：圆锥的母线长为8cm

【练 习】

1.（2009郴州） 如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（　　）D

A．             B．         C．          D．

2.（2009来宾）若圆锥的底面周长是10π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为90°，则该圆锥的侧面积是（     ）C

A．25π               B．50π         C．100π       D．200π

3.（2009青海）如图11，一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆．

求：（1）圆锥的母线长与底面半径之比；2：1

（2）求的度数；            60°

（3）圆锥的侧面积（结果保留）． 18