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小学数学思维过程分析的理论和方法 朱乐平 备课，从本质上说是在分析数学家、数学教材的作者的数学思维过程，分析学生的思维特征和制定学生学习的“程序”。我们平时说的“理解编者的意图”，就是分析作者的思维过程。我们在教学某一个较抽象的内容时，考虑用直观教具，实质上是在分析学生的思维特征后所确定的。 教师在上课时，常常不断地提出问题，学生积极地动脑回答各种各样的问题。教师根据学生回答的内容不断地分析小学生的数学思维活动，达到指导、调节、控制小学生的思维，使得学生的数学思维与成功的数学思维“同步”，从而发展学生的思维能力。并获得数学家数学思维活动的成果（数学知识）。通过这一过程逐步实现学生的思维活动与数学家的思维活动的和谐统一。 答疑、改作、辅导等教学活动，从本质上说也是在分析小学生的数学思维过程，帮助学生发现思维过程中的错误，总结思维规律、方法和技巧。 二、分析小学数学思维过程的方法。 数学的思维过程可以分为思维的宏观过程和微观过程两类。通常把学生学习某一数学课题（例如６的组成和分解）所经历的思维过程称为思维的宏观过程。本文主要论述小学数学思维微观过程的分析方法。 ⒈ 从数学研究的程序入手分析思维过程： 每一门科学都有自己研究的独特程序，数学也不例外。数学研究的程序通常是：观察→ 猜想→验证→证明→应用。即数学的研究从观察开始，仔细地观察现实世界，考察数学的对象，观察到某种事实；然后大胆地进行猜想，初步得到某种结论，再用个别例子对结论加以验证；如果验证表明结论是正确的，那么就进一步考虑理论证明；结论获得理论证明后，就设法推广、应用。这既是数学研究的一般程序，也是数学家思维活动的过程。因此，从数学研究的程序入手可以分析出数学家思维活动的过程。数学教学希望学生的数学思维与这一科学的思维过程同步。因此，分析这一思维过程和小学生的思维特点，就可以制订出比较合理的教学程序。 例⒈ 圆锥体体积公式的教学： 
教学开始，出示图１，已知圆柱体的底面积为Ｓ，高为ｈ，求出体积Ｖ＝Ｓｈ；出示图２，比较图２这个几何体与圆柱体的体积的大小，说出为什么图２这个几何体的体积比圆柱体的体积要小？猜测图２这个几何体的体积是圆柱体的几分之几？类似于上述过程，对图３作出猜测。最后出示图４，比较圆锥体的体积与它等底等高的圆柱体体积的大小，并猜测圆锥体体积是圆柱体体积的几分之几？学生作出不同的猜测后，提出问题：怎样才能知道哪个同学的猜测是比较正确的呢？教师拿出空心的圆锥体和与它等底等高的空心圆柱体，用沙或米、水等东西进行度量，验证后得出：圆锥体的体积等于与它等底等高的圆柱体体积的三分之一。然后再加以应用。 上述圆锥体体积公式的得出过程，体现了学生观察、比较、猜想、验证等思维过程。过程十分自然，这样的教学程序充分暴露了学生的思维过程，体现了数学研究的一般程序。而这一教学程序的制订是建立在分析数学思维过程的基础之上的。 ⒉ 从解题方法、解题策略、解题思路入手分析思维过程。 学数学离不开解题，对每一类或者每一个数学问题都有着解决这类问题的方法、策略和思路。每一种解题的方法、策略或思路都孕伏着一种思维过程。因此，要分析数学的思维过程可以从解题方法、解题策略、解题思路入手进行分析。 数学问题的解题策略是对解题途径的概括性认识。“以退求进”、“正难则反”、“整体入手”等等都是数学中重要的解题策略，每一种解题策略都有自己的思维模式和思维过程。下例是用“以退求进”的策略解决的一个数学问题。 例⒉ 右图是一张长方形的纸，在这张纸片的左下方挖去了一个圆形的纸片， 请作出一条直线，把这张长方形纸片分成面积相等的两部分。  解题思维过程： ① 如果没有挖去小圆形（先后退，从复杂退到简单），那么用 一条直线把长方形分成面积相等的两部分，问题就容易解决。 右图６中，通过长方形对角线交点O（中心）的任意一条直线， 都能把长方形分成面积相等的两部分。  ② 如果单独是一个圆（同时后退），那末通过圆心的任意一条直线 都能把圆分成面积相等的两部分，如图7。  ③ 题目要求作出的直线是要把长方形和圆同时分成相等的 两部分（再前进，从简单进到复杂），综合上面两种思维过程， 可以得到所要作的直线既要通过长方形的中点，又要通过圆心。 因此，通过这两点的直线必能满足题目的要求。如图８即为所求。  这种解题的思维过程正象华罗庚先生所说，是“先足够地退到我们所容易看清楚问题的地方，认透了，钻透了，然后再上去。” 解题方法是对解决同一类数学问题而言的。小学数学教材常常用一个例题给出解这一类题的方法。 解题策略、解题方法是对解决一类数学题而言的，而数学中有许多题目常常有解决它的独特思路。分析数学思维过程可以从分析解决数 学题目的思路入手。解题思路的分析是分析数学思维过程中十分重要的组成部分。 ⒊从实验、观察、交谈入手分析数学思维过程。 上面分析的是合理的成功的数学思维过程，我们希望学生的思维与这些成功的数学思维同步，但学生原来自己的思维活动是怎样的呢？当他们面对一个数学问题时，又是怎样展开思维的？当我们对学生实施了教学以后，学生又是怎样来理解这些知识的？只有我们与学生在一起，通过实验、观察、与他们交谈才能知道学生在想什么，是怎样在想的，才能了解学生的思维活动、思维过程。 学生在刚学习了直线、射线和线段这一内容后，我问学生：直线到底有多长？ 生１：象黑板那样长。因为老师总是把直线画到黑板上，所以，直线最长也只有黑板那样长。 生２：比黑板要长。如果画到操场上就象操场那样长。 生３：如果操场很大，那么直线就很长。 生４：如果把直线画到地面上，直线就可以更长。老师说过，直线可以向两个方向无限延长。 生５：直线不会无限长，因为它没有生命，不能自己长。 生６：直线画在地面上，直线也不能无限长，因为地球是一个球体。如果直线无限长，到一定的时候，就会两头接在一起，变成一个圆，那就不再是直线了。 从上面这些学生的不同回答中，我们可以比较清楚地看到，各个学生在理解“直线是无限长的”这一知识时的不同的思维水平。 分析数学思维过程就是要“拉长”数学思维活动的过程，通过这个“拉长”产生“慢镜头”，其目的是为了强调思维过程，充分暴露思维过程。小学数学教学要从比较展开的思维向比较压缩的思维过渡。思维的压缩主要指省略了一些思考步骤，简化了一些中间环节。我们还要注意，对同一个数学问题，由于人们考虑问题的角度和原来头脑中储存信息的不同，在解决问题时，常常会有不同的思维过程。 人们在解决数学问题时的思维过程是一个复杂的过程。由于直觉思维的存在，我们常常会对自己的思维过程都比较难的作出实事求是的陈述和正确的分析，更不要说对别人的思维过程作出科学的论述。但数学教师在数学教学中的活动又无一不是围绕着分析数学思维过程而展开。这就是我们探讨思维过程分析的现实意义。 ────────────────────────── 主要参考书目： ⒈张乃达著 《数学思维教育学》 江苏教育出版社 ⒉任樟辉著 《数学思维论》 广西教育出版社
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