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在高中数学的学习中，我们先学函数解析式，再学函数图像。然而在函数的历史中，却是恰恰相反。 在17世纪，那些著名的数学/物理学家，包括伽利略、笛卡尔在内，已经初步意识到了函数的核心——变量与变量的对应。但是大家的重点，仍然放在几何图像上，毕竟图像是最直观的。 笛卡尔 这种情况直到17世纪末期，牛顿、莱布尼茨创立微积分时，也没有得到太大的改善。数学家的目光仍然聚焦在切线、速度（函数的导数）、面积、体积（函数的定积分）等等内容上——这些是人们真正会遇上的实际问题。 莱布尼茨 18世纪中期，欧拉给出了一个函数的定义，通俗的翻译过来就是——函数是变量与常数构成的解析式。与现在高中教材的定义对比就会发现它的局限：把函数的对应关系，限定在了解析式的对应关系上。而现在我们学到的函数表示法有列表、解析、图像三种。 欧拉 到了19世纪初，狄利克雷提出了经典函数定义——对于每个确定的x的值，有确定的y值与之对应。可以看到，对应关系取代了图像、取代了解析式，成为了函数定义的核心。此定义我们在初中数学中有学习。 狄利克雷 随着19世纪末集合论的提出，20世纪初，我们有了基于集合论的函数定义——对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，那么就称f:x→y为从集合A到集合B的一个函数。 高中数学将此函数定义限定在了数集，但实际上，新的函数定义可以推广到其它集合，用来处理更多的数学问题。比如图像变换，实际上就是点的函数。 可以看到，新的定义用集合中的元素取代了变量，用映射关系取代了对应。把过去相对模糊的“变量”、“对应”，用更加准确的词语进行表示。 但这就是终点了么？不是！ 随着电子技术的蓬勃发展，狄拉克δ函数开始走入人们的视线。 狄拉克δ函数 上面那个式子，能用我们学过的函数定义来表示么？不能，因为0对应的元素无法写出，它应该是无穷，但到底是多大的无穷，是由积分式确定的。 这样的函数现在被称为广义函数。 学海无涯，不要说整个数学，哪怕是函数这样一个概念，都仍在发展之中。在高中我们学习到的，是16-20世纪初的数学结晶。要想接触到近百年来的科学成果，要到本科乃至研究生阶段，才有机会。 |
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