王建鹏 咸阳渭城中学一级数学教师,教学经验丰富,课堂组织能力强,语言生动形象,多次被评为先进个人,先进教育工作者。 本期特别邀请王建鹏老师为大家解读对称性和周期性之间的关系。 (1)函数f(x)图像关于直线x=a及x=b对称,则函数f(x)是以T=2|b-a|为周期的函数(类比正弦函数y=sinx) 证明:由已知f(x)=f(2a-x),f(x)=f(2b-x) ∴f(2a-x)=f(2b-x),∴f(2a+x)=f(2b+x), ∴f(x)=f(2b-2a+x)∴T=2(b-a) (2)函数f(x)的图像关于点(a,0)及(b,0)对称,则函数f(x)是以T=2|b-a|为周期的函数(类比正弦函数y=sinx). 证明:由已知f(x)=-f(2a-x),f(x)=-f(2b-x)∴f(2a-x)=f(2b-x), ∴f(2a+x)=f(2b+x), ∴f(x)=f(2b-2a+x)∴T=2(b-a) (3)函数f(x)的图像关于点(a,0)及直线x=b对称,则函数f(x)是以T=4|b-a|为周期的函数(类比正弦函数y=sinx)。 证明:由已知f(x)=-f(2a-x),f(x)=f(2b-x) ∴f(2b-x)=-f(2a-x),∴f(2b+x)=-f(2a+x), ∴f(x)=-f(2a-2b+x)=f(4a-4b+x) ∴T=4(a-b) 此时f(x)也以4|b-a|为周期. 注:以上结论在选择,填空题中可直接引用,在解答题中需进行证明,证明方法模仿结论的证明方法即可。 华商报记者 董淑鸽 |
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