三角函数的图像和性质 综述

为了搞清楚三角函数的性质，我们可以利用行之有效的“先猜后证”这种办法，也就是先把三角函数的图像大致画出来，获得视觉上的直观印象，归纳出一些我们认为可能正确的规律，然后再想办法去验证我们归纳的这些东西是否正确。

一、我们就先从正弦函数开始:

要把正弦函数图像画出来，我们首先要找到几个特殊值点，

自变量x我们可以取0、π/2、π、3π/2，2π，它们对应的函数值我们从单位圆上就可以找到：

x	0	π/2	π	3π/2	2π
sinx	0	1	0	-1	0

第一步，我们首先在直角坐标系中找到这五个对应点，并尝试把五个点连起来，形成一个粗糙的折线图。

第二步：增加特殊值点，细化折线图，比如在0和π/2之间插入中间值π/4，在其它区间我们也如法炮制。

我们把这些点加入上面的草图：

我们发现，在0和π/2之间，中间值的函数值大于两端函数值的一半，也就是：

根据函数凹凸性的判断规则，在这个区间里，函数的图像应该是向上凸起的，也就是是凸函数。

同理，我们也可以在π/2和π之间得到相似的结论，也就是说在0和π之间，正弦函数的图像应该是向上凸起，最大值点是（π/2、1）。

同样的方法，我们可以得知：

在π和2π之间，正弦函数图像是向下凹陷的，最小值点在（3π/2、-1）。

我们当然还可以利用上述方法，继续细分取值，然后得到更密集的点，从而把正弦函数图像更为精确的描出来，但这对我们学习者来说，必要性不大。我们只需要知道方法，以后如法炮制就OK了。

下面直接给出电脑绘制的正弦函数图像局部：

从图中我们可以发现：

1、奇偶性：

正弦函数图像关于原点（0,0）对称，我们猜正弦函数是奇函数。

是否正确呢？我们做如下验证：

2、单调性和单调区间

正弦函数在0到2π之间有增有减，从更广一点的范围看，在-π/2到π/2之间，从最小值-1增到0继续增到最大值1；

在π/2到3π/2之间，从最大值1减到0继续见到-1。

也就是从直观上说，正弦函数有增区间-π/2到π/2；减区间为π/2到3π/2。是否正确呢？继续数学推理验证：

我们先根据单调性的定义尝试证明上述猜测的正确性.

我们分三种情况考察函数值的变化：

此时，如果我们把目光再次回到单位圆上，就可以看到在Y轴右侧，角度从y轴负半轴出发，逆时针转动，函数值从最小-1，逐渐增加到y轴正半轴的1，单调递增；

然后在y轴的左侧，从正半轴到负半轴单调递减。

再转一圈，又重复前一圈的增——减循环。

也就是说正弦函数不只是在一个圆周内有单增、单减，而是在每一个圆周内都是如此。

由此我们确定：

大家看到这种证明方法显得有点小复杂：分类讨论时，需要改变下自变量设置的策略，而且还用到了三角恒等式——

其实最简单的办法就是对正弦函数求导：正弦函数的导函数是余弦函数，当自变量在第一和第四象限时，正弦函数的导函数余弦为正，故此时正弦函数单调递增，在第二、第四象限，正弦函数单调递减。

但我依旧支持大家尽可能根据定义去证明一个结论的正确性，因为它是思维的根本。

3、周期性

很明显，正弦函数周期为2Kπ，最小正周期为2π。

角度在单位圆上转一圈，正弦函数值原样重复一次。

这是显而易见的，无需证明。

4、对称性

5、凹凸性。

其实，函数图像的凹凸我们在一开始画图的时候就得出了结论:

二、同样的方法，我们可以得到余弦函数的图像和性质

1、奇偶性：偶函数，图像关于Y轴对称。

2、单调性：

证明过程和正弦函数相似，此处略。

3、周期性：周期函数，最小正周期2π。

4、对称性：

5、凹凸性：

三、正切函数

正切函数的图像很特别，长这样：

1、奇偶性：tan(-x)=-tanx   奇函数

2、单调性：在（kπ-π/2，kπ+π/2）上单调递增

3、周期性：周期函数，最小正周期π

4、对称性：关于（kπ/2，0）点对称

5、凹凸性：凹凸性也很特殊，图像在x轴以上凹函数，以下为凸函数。具体的区间写出来也没啥意义，此处略。

这篇文章有点长，但也只谈了sinx、cosx、tanx的图像和基本性质，好多问题并没有展开，关于图像的变换问题，我们会在另一个专题里详细讨论。

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