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分析： 这是一道老的掉渣的题，但是全国2卷却把它放在了选择的压轴题上，所以使用全国2卷的考生上了大学后可以和别的考生哭穷，毕竟经济落后，都能理解，但是千万不要和别人交流高考题，否则会被群殴的。 虽然这是一道老题，但是不妨碍它是一道好题。 作为小题，有了正余弦函数的图象作为支撑，很多同学会根据题意画草图，由奇函数可得f(0)=0，不妨设其在[0,1]上为增函数，然后由f(x)关于(0,0)以及x=1对称，画出f(x)的草图如下，可以直观感知f(x)的最小正周期为4，而f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，所以f(1)+f(2)+f(3)+...+f(50)=f(1)+f(2)=2，选C. 而f(x)周期为4的一般证明如下： 因为f(x)为奇函数，所以f(x)=-f(-x), 因为f(x)关于x=1对称，所以f(2+x)=f(-x), 所以f(x)=-f(x+2)，所以f(x+2)=-f[(x+2)+2]， 所以f(x)=f(x+4)。 和函数的周期性、对称性有关的一般结论如下： (1)定义在R上的函数f(x)关于x=a,x=b(a≠b)对称，则2|a-b|是f(x)的一个周期。 证明： 因为f(x)关于x=a对称，所以f(x)=f(2a-x), 因为f(x)关于x=b对称，所以f(2a-x)=f(2b-2a+x), 所以f(x)=f(2b-2a+x)，所以2|a-b|是f(x)的一个周期。 (2)定义在R上的函数f(x)关于(a,0),(b,0)(a≠b)对称，则2|a-b|是f(x)的一个周期。 证明： 因为f(x)关于(a,0)对称，所以f(x)=-f(2a-x), 因为f(x)关于(b,0)对称，所以f(2a-x)=-f(2b-2a+x), 所以f(x)=f(2b-2a+x)，所以2|a-b|是f(x)的一个周期。 (3)定义在R上的函数f(x)关于(a,0),x=b对称，则4|a-b|是f(x)的一个周期。 证明： 因为f(x)关于(a,0)对称，所以f(x)=-f(2a-x), 因为f(x)关于x=b对称，所以f(2a-x)=f(2b-2a+x), 所以f(x)=-f(2b-2a+x)，f(2b-2a+x)=-f(4b-4a+x)， 所以f(x)=f(4b-4a+x)， 所以4|a-b|是f(x)的一个周期。 反过来有如下结论： (1)定义在R上的函数f(x)关于x=a对称，且T是f(x)的一个周期，则f(x) 关于x=a+T/2对称。 证明：因为f(x)关于x=a对称，所以f(x)=f(2a-x), 因为T是f(x)的一个周期，所以f(2a-x)=f(T+2a-x), 所以f(x)=f(T+2a-x),所以f(x)关于x=a+T/2对称。 注意这个时候没法推出f(x)一定是中心对称函数。比如函数f(x)=|sinx|周期为π，对称轴为x=kπ/2,k∈Z，但是它并没有对称中心。 (2)定义在R上的函数f(x)关于(a,0)对称，且T是f(x)的一个周期，则f(x) 关于(a+T/2,0)对称。 证明：因为f(x)关于(a,0)对称，所以f(x)=-f(2a-x), 因为T是f(x)的一个周期，所以f(2a-x)=f(T+2a-x), 所以f(x)=-f(T+2a-x),所以f(x)关于(a+T/2,0)对称。 注意这个时候没法推出f(x)一定是轴对称函数。比如函数f(x)=tanx周期为π，对称中心为(kπ/2,0),k∈Z，但是它并没有对称轴。 一定要注意：很多同学受y=sinx图象干扰，会以为中心对称、轴对称和周期这三者中，任意两个都能推出第三个，其实不然。 更有甚者，会觉得T是函数f(x)的周期与f(x)=-f(x+T/2)等价，其实若f(x)=-f(x+T/2)，则必有f(x+T/2)=-f(x+T)，所以f(x)=f(x+T)，所以T是f(x)的一个周期。但是若T是f(x)周期，并不一定能说明f(x)=-f(x+T/2)，比如y=|sinx|就不符合。和这个有关的问题在f(x)=-f(x+1)是2为函数f(x)的周期的什么条件？中作了详细的说明。 |
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