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[引言]取整函数[x]及小数函数{x}是数论中的函数，常见于数学竞赛。但是2019-2020年度人大附高一上学期的数学期中考试出现了相关题目，本文特进行介绍。 [定义]数学中的取整函数一般指向下取整。例如[3.4]=3，即取不超过该数的最大整数。它对于负数的情况比较特殊。例如[-2.7]=-3，而不是-2。 为了讨论方便，后续讨论都假定x大于0。此时定义{x}=x-[x]为小数函数。由于[x]实际上为x的整数部分，所以x-[x]就为x的小数部分。 在计算机科学中，分为向上取整和向下取整。例如MATLAB中，分别内部集成了天花板函数ceil()和地板函数floor()。顾名思义，分别对应向上取整和向下取整。 [图像]取整函数的图像如图所示。 小数函数{x}的图像如图所示。我们从中可以看出，小数函数是周期为1的三角波函数。正好对应了“两个连续的整数，它们之间的距离为1”这一经典的论断。 [例1](人大附，高一上学期期中，19)：设函数 f（x）＝x﹣[x]（x≥0），其中[x]表示不超过x的最大整数，如：[0.5]＝0，[2]＝2．如果函数y＝kx图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，那么实数k的取值范围是（ ） A．[1/4，1/3) B．[1/4，1/3] C．[1/5，1/4) D．[1/5，1/4] [答案]A [解析]作出x﹣[x]与kx的图像如图所示。 可以明显看出，x﹣[x]与x/3只有两个交点，与x/4有三个交点，与x/5有四个交点。题目中要求三个交点，因此k的取值范围为[1/4，1/3)。故选A。 [注释]MATLAB在生成带有间断点的图像时，采用的是“示波器”扫描模式。该模式不但将断点接续，而且从图像上看不出具体是取的哪一点。小数函数的图像实际为： [例2]x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，如[1.3]＝1，[﹣1.3]＝﹣2．若函数f(x)＝sinx﹣[sinx]，则下列结论中： ①函数f(x)是最小正周期为2π的周期函数； ②函数f(x)在[0，π/2)上递增，在(π/2，π]上递减； ③函数f(x)为奇函数； ④函数f(x)的值域为[0，1]． 其中正确的结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 [答案]B [解析]作出sinx﹣[sinx]的图像如图所示。 由图像可知，函数f(x)的周期为2π，且在[0，π/2)上递增，在(π/2，π]上递减。但是它既不是奇函数，也不是偶函数。它的值域为[0,1)。故选项A、B正确，选项C、D错误。故选B。 [别解]当无法精准做出函数的图像时，可以运用函数的性质进行求解。 1）sinx函数的周期为2π，[sinx]的周期也是2π，所以它们的差也是周期为2π的函数； 2）sinx函数在[0，π/2]上递增，在[π/2，π]上递减，而[sinx]在[0，π/2)∪(π/2，π]上为零值函数，所以它们的差符合选项B的叙述； 3）sinx函数是奇函数，而[sinx]函数非奇非偶，所以它们的差非奇非偶； 4）当x=π/2时，sinx﹣[sinx]=0，取不到1，所以它的值域为[0,1)。 [例3] 对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，如[1.1]＝1，[﹣2.1]＝﹣3。定义R上的函数f(x)＝[x]+[2x]+[4x]，若A＝{y|y＝f(x)，0≤x≤1}，则A中所有元素的和为 。 [答案]15 [解析]作出f(x)＝[x]+[2x]+[4x]的图像如图所示。 由图可知，当x∈[0,1/4)时，y=0；当x∈[1/4,1/2)时，y=1；当x∈[1/2,3/4)时，y=3；当x∈[1/4,1)时，y=4；当x=1时，y=7。因此A中所有元素的和为：0+1+3+4+7=15。 [后记]取整函数的性质总结如下：设x、y∈R,有: |
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