(1)秒杀三视图中求椎体表面积的小公式

秒杀三视图中求椎体表面积的小公式

来源：高考数学

   今天再给大家讲一个三视图中一个求椎体表面积的神奇小结论,还是不需要将三视图还原成立体几何体,而是直接利用三个试图就可求出表面积.当然,这个结论要比求体积的方法含金量高很多,求表面积相对求体积的问题难度系数要高.因为在求立体几何体的侧面积的时候,往往需要把每个侧面的高都求出来,而运算量就相应的加大了.

   前面在说三视图规律的时候曾总结了一个这样的结论:如果三视图中有两个视图都为三角形(只看外部的轮廓线,不管内部的虚线或实线),那么这个空间立体几何一定为椎体.椎体的表面积需要求出各侧面的面积,侧面积之和即为立体几何体的侧面积,而侧面之和再加上底面面积即为表面积.当然底面积特别好求,一般就为俯视图的面积,主要是侧面积,往往需要将三视图还原然后做各个侧面的高,然后求出面积,过程复杂且繁琐，不在需要还原三视图,直接通过平面几何即可求出各个侧面,请同学们记住下面的这个公式:

这里的L表示俯视图中三边的边长,h表示三个视图中各视图的高,L和h通过试图一眼就可以看出,要注意这里的d,它表示的是椎体顶点在底面的射影到俯视图中各边的距离.下面以几道真题带领大家掌握这个公式.

神奇小公式解法:

第一步:利用三个视图各边的关系(长对正,高平齐,宽相等)将俯视图中各边的边长都找出来,有的题里俯视图的三边都是已知的;

第二步:找出各三个视图的高

第三步:找出顶点在底面的射影到俯视图中各边的距离d.

前面两步是直接就可看出来的,这里唯一有一个地方需要手动算得就是d,当然这里也是特别容易的,好了以上面的例题为例来讲解一下如何运用,为了方便起见,我在这里列了一个表格.(同学们在草稿纸上是可以直接写的,分别把对应一组L,h,d标出来,然后求侧面积).

这里的L分别为5,4,根号41,然后是各视图的高都为4,最后是d,d表示的是顶点在底面射影到俯视图个边的距离,当然顶点在底面的射影是一目了然的,直接就是俯视图中边长为5边上的那个分界点.我们知道三个视图中往往正视图下面就是俯视图,所以顶点在底面的射影很明显,那好了,针对这道题里的d,射影到边长为5的距离为0,到边长为4的距离是3,到边长为根号41的距离需要手动算一下,设其为c,利用相似三角形,C:2=4:根号41,得c为根号41分之8,即射影到边长为根号41的距离为根号41分之8.如下表所示:

因为想给大家尽量讲的清楚一点,所以说的有点多,但并不是过程很复杂,接下来我们看例2.

这里的L分别为2,根号2和根号2,然后是各视图的高都为1,d射影到边长为2的距离为0,到边长为根号2的距离都为2分之根号2,如下表.

这里俯视图的边长需要你找一下,很容找到L分别为2,根号5,根号5,h分别为1,1,1,d分别为2,0,0,具体如下表: