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In [1]: import numpy as np 1. 矩阵 在NumP中，矩阵是ndarray的子类，可以由专用的字符串格式来创建。我们可以使用mat、matrix、以及bmat函数来创建矩阵。 1.1 创建矩阵 mat函数创建矩阵时，若输入已经为matrix或ndarray对象，则不会为它们创建副本。因此，调用mat函数和调用matrix(data, copy=False)等价。 在创建矩阵的专用字符串中，矩阵的行与行之间用分号隔开，行内的元素之间用空格隔开。 In [2]: A = np.mat("1 2 3; 4 5 6; 7 8 9") print"Creation from string:\n", A Creation from string: [[1 2 3] [4 5 6] [7 8 9]] In [3]: # 转置 print"Transpose A :\n", A.T # 逆矩阵 print"Inverse A :\n", A.I Transpose A : [[1 4 7] [2 5 8] [3 6 9]] Inverse A : [[ -4.50359963e+15 9.00719925e+15 -4.50359963e+15] [ 9.00719925e+15 -1.80143985e+16 9.00719925e+15] [ -4.50359963e+15 9.00719925e+15 -4.50359963e+15]] In [4]: # 通过NumPy数组创建矩阵 print"Creation from array: \n", np.mat(np.arange(9).reshape(3,3)) Creation from array: [[0 1 2] [3 4 5] [6 7 8]] 1.2 从已有矩阵创建新矩阵 我们可以利用一些已有的较小的矩阵来创建一个新的大矩阵。用bmat函数来实现。 In [5]: A = np.eye(2) print"A:\n", A B = 2 * A print"B:\n", B # 使用字符串创建复合矩阵 print"Compound matrix:\n", np.bmat("A B") print"Compound matrix:\n", np.bmat("A B; B A") A: [[ 1. 0.] [ 0. 1.]] B: [[ 2. 0.] [ 0. 2.]] Compound matrix: [[ 1. 0. 2. 0.] [ 0. 1. 0. 2.]] Compound matrix: [[ 1. 0. 2. 0.] [ 0. 1. 0. 2.] [ 2. 0. 1. 0.] [ 0. 2. 0. 1.]] 2. 线性代数 线性代数是数学的一个重要分支。numpy.linalg模块包含线性代数的函数。使用这个模块，我们可以计算逆矩阵、求特征值、解线性方程组以及求解行列式。 2.1 计算逆矩阵 使用inv函数计算逆矩阵。 In [6]: A = np.mat("0 1 2; 1 0 3; 4 -3 8") print"A:\n", A inverse = np.linalg.inv(A) print"inverse of A:\n", inverse print"check inverse:\n", inverse * A A: [[ 0 1 2] [ 1 0 3] [ 4 -3 8]] inverse of A: [[-4.5 7. -1.5] [-2. 4. -1. ] [ 1.5 -2. 0.5]] check inverse: [[ 1. 0. 0.] [ 0. 1. 0.] [ 0. 0. 1.]] 2.2 行列式 行列式是与方阵相关的一个标量值。对于一个n*n的实数矩阵，行列式描述的是一个线性变换对“有向体积”所造成的影响。行列式的值为正，表示保持了空间的定向(顺时针或逆时针)，为负表示颠倒空间的定向。numpy.linalg模块中的det函数可以计算矩阵的行列式。 In [7]: A = np.mat("3 4; 5 6") print"A:\n", A print"Determinant:\n", np.linalg.det(A) A: [[3 4] [5 6]] Determinant: -2.0 2.3 求解线性方程组 矩阵可以对向量进行线性变换，这对应于数学中的线性方程组。solve函数可以求解形如Ax = b的线性方程组，其中A是矩阵，b是一维或二维的数组，x是未知变量。 In [8]: A = np.mat("1 -2 1; 0 2 -8; -4 5 9") print"A:\n", A b = np.array([0,8,-9]) print"b:\n", b A: [[ 1 -2 1] [ 0 2 -8] [-4 5 9]] b: [ 0 8 -9] In [9]: x = np.linalg.solve(A, b) print"Solution:\n", x # check print"Check:\n",b == np.dot(A, x) print np.dot(A, x) Solution: [ 29. 16. 3.] Check: [[ True True True]] [[ 0. 8. -9.]] 2.4 特征值和特征向量 特征值（eigenvalue）即方程Ax = ax的根，是一个标量。其中，A是一个二维矩阵，x是一个一维向量。特征向量（eigenvector）是关于特征值的向量。在numpy.linalg模块中，eigvals函数可以计算矩阵的特征值，而eig函数可以返回一个包含特征值和对应特征向量的元组。 In [10]: A = np.mat("3 -2; 1 0") print"A:\n", A print"Eigenvalues:\n", np.linalg.eigvals(A) eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A) print"Eigenvalues:\n", eigenvalues print"Eigenvectors:\n", eigenvectors A: [[ 3 -2] [ 1 0]] Eigenvalues: [ 2. 1.] Eigenvalues: [ 2. 1.] Eigenvectors: [[ 0.89442719 0.70710678] [ 0.4472136 0.70710678]] In [11]: # check # 计算 Ax = ax的左右两部分的值 for i in range(len(eigenvalues)): print"Left:\n", np.dot(A, eigenvectors[:,i]) print"Right:\n", np.dot(eigenvalues[i], eigenvectors[:,i]) Left: [[ 1.78885438] [ 0.89442719]] Right: [[ 1.78885438] [ 0.89442719]] Left: [[ 0.70710678] [ 0.70710678]] Right: [[ 0.70710678] [ 0.70710678]] 2.5 奇异值分解 SVD(Singular Value Decomposition，奇异值分解)是一种因子分解运算，将一个矩阵分解为3个矩阵的乘积。奇异值分解是特征值分解的一种推广。 在numpy.linalg模块中的svd函数可以对矩阵进行奇异值分解。该函数返回3个矩阵——U、Sigma和V，其中U和V是正交矩阵，Sigma包含输入矩阵的奇异值。 In [12]: from IPython.display import Latex Latex(r"$M=U \Sigma V^*$") Out[12]: M=UΣV?M=UΣV? *号表示共轭转置 In [13]: A = np.mat("4 11 14;8 7 -2") print"A:\n", A U, Sigma, V = np.linalg.svd(A, full_matrices=False) print"U:\n", U print"Sigma:\n", Sigma print"V:\n", V A: [[ 4 11 14] [ 8 7 -2]] U: [[-0.9486833 -0.31622777] [-0.31622777 0.9486833 ]] Sigma: [ 18.97366596 9.48683298] V: [[-0.33333333 -0.66666667 -0.66666667] [ 0.66666667 0.33333333 -0.66666667]] In [14]: # Sigma矩阵是奇异值矩阵对角线上的值 np.diag(Sigma) Out[14]: array([[ 18.97366596, 0. ], [ 0. , 9.48683298]]) In [17]: # check M = U*np.diag(Sigma)*V print"Product:\n", M Product: [[ 4. 11. 14.] [ 8. 7. -2.]] 2.6 广义逆矩阵 广义逆矩阵可以使用numpy.linalg模块中的pinv函数进行求解。inv函数只接受方阵作为输入矩阵，而pinv函数没有这个限制。 In [18]: A = np.mat("4 11 14; 8 7 -2") print"A:\n", A A: [[ 4 11 14] [ 8 7 -2]] In [19]: pseudoinv = np.linalg.pinv(A) print"Pseudo inverse:\n", pseudoinv Pseudo inverse: [[-0.00555556 0.07222222] [ 0.02222222 0.04444444] [ 0.05555556 -0.05555556]] In [20]: # check print"Check pseudo inverse:\n", A*pseudoinv Check pseudo inverse: [[ 1.00000000e+00 0.00000000e+00] [ 8.32667268e-17 1.00000000e+00]] 得到的结果并非严格意义上的单位矩阵，但是非常近似。 In [21]: A = np.mat("0 1 2; 1 0 3; 4 -3 8") print"A:\n", A inverse = np.linalg.inv(A) print"inverse of A:\n", inverse print"check inverse:\n", inverse * A pseudoinv = np.linalg.pinv(A) print"Pseudo inverse:\n", pseudoinv print"Check pseudo inverse:\n", A*pseudoinv A: [[ 0 1 2] [ 1 0 3] [ 4 -3 8]] inverse of A: [[-4.5 7. -1.5] [-2. 4. -1. ] [ 1.5 -2. 0.5]] check inverse: [[ 1. 0. 0.] [ 0. 1. 0.] [ 0. 0. 1.]] Pseudo inverse: [[-4.5 7. -1.5] [-2. 4. -1. ] [ 1.5 -2. 0.5]] Check pseudo inverse: [[ 1.00000000e+00 -2.66453526e-15 8.88178420e-16] [ 8.88178420e-16 1.00000000e+00 2.22044605e-16] [ 0.00000000e+00 3.55271368e-15 1.00000000e+00]]
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