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高考每年对函数都有考查，而且分数很大。所以掌握函数是必要的，在一定程度上能够决定你数学分数的高低，甚至决定你的高考。下面题目主要考查学子对于函数的了解程度，请细心做题。切记！一定要记住一些函数的倒数，对考试有很大的帮助。 请点击此处输入图片描述 请点击此处输入图片描述 请点击此处输入图片描述 题型一 指数函数的图象和性质 例1 已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________． 破题切入点 判断函数t＝|2x－m|的单调区间，结合函数y＝2t的单调性，得m的不等式，求解即可． 答案 (－∞，4] 解析 令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间[m2，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m2]上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．故填(－∞，4]． 题型二 幂函数的图象和性质 例1 已知周期函数f(x)的定义域为R，周期为2，且当－1<x≤1时，f(x)＝1－x2.若直线y＝－x＋a与曲线y＝f(x)恰有2个交点，则实数a的所有可能取值构成的集合为( ) A．{a|a＝2k＋34或2k＋54，k∈Z} B．{a|a＝2k－14或2k＋34，k∈Z} C．{a|a＝2k＋1或2k＋54，k∈Z} D．{a|a＝2k＋1，k∈Z} 破题切入点 画出函数f(x)的草图，看选项，对参数a取特殊值，验证是否满足题设条件，不满足则排除，即可得正确选项． 答案 C 解析 画出函数f(x)的草图，当a＝1时， 直线y＝－x＋1与曲线y＝f(x)恰有2个交点，故排除A、B； 当a＝54时，直线y＝－x＋54与曲线y＝f(x)恰有2个交点，根据函数的周期性，选C. 例2．若函数y＝ax＋b－1 (a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( ) A．0<a<1且b>0B．a>1且b>0 C．0<a<1且b<0D．a>1且b<0 答案 C 解析 (1)当0<a<1时，不论上下怎样平移，图象必过第二象限；当a>1时，不论上下怎样平移，图象必过第一象限． ∵y＝ax＋b－1的图象经过第二、三、四象限， ∴只可能0<a<1. (2)这个图可理解为y＝ax (0<a<1)的图象向下平移大于1个单位长度． ∴b－1<0，|b－1|>1，解得b<0. 由(1)、(2)可知0<a<1且b<0. 2．(2013·课标全国Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( ) A．c>b>aB．b>c>a C．a>c>bD．a>b>c 答案 D 解析 因为a＝log36＝1＋log32＝1＋1log23，b＝log510＝1＋log52＝1＋1log25，c＝log714＝1＋log72＝1＋1log27，显然a>b>c. 3．设a>0，b>0( ) A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a>b B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a<b C．若2a－2a＝2b－3b，则a>b D．若2a－2a＝2b－3b，则a<b 答案 A 解析 对于x>0时有2x＋2x<2x＋3x恒成立， 而要使2a＋2a＝2b＋3b成立，则必须有a>b. 4．“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2＝xz成立”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由lgx，lgy，lgz成等差数列，可以得出2lgy＝lgx＋lgz，根据对数函数的基本运算可得，y2＝xz，但反之，若y2＝xz，并不能保证x，y，z均为正数，所以不能得出lgx，lgy，lgz成等差数列．故选A. 5．已知x，y为正实数，则( ) A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgy C．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy 答案 D 解析 2lg(xy)＝2lgx＋lgy＝2lgx·2lgy. 6．已知0<a<1，则函数f(x)＝ax－|logax|的零点个数为________． 答案 2 解析 分别画出函数y＝ax(0<a<1)与y＝|logax|(0<a<1)的图象，图象有两个交点． 7．若函数y＝12|1－x|＋m的图象与x轴有公共点，则实数m的取值范围是________． 答案 [－1,0) 解析 由题得， 函数y＝121－x＋m，x≤112x－1＋m，x>1. 首先作出函数y＝121－x，x≤112x－1，x>1的图象． 由图象可知要使函数y＝121－x＋m，x≤112x－1＋m，x>1的图象与x轴有公共点，则m∈[－1,0)． 8．已知函数f(x)＝15x－log3x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0<x1<x0，则f(x1)与0的大小关系为________． 答案 f(x1)>0 解析 当x>0时，f(x)＝(15)x－log3x是减函数， 又x0是方程f(x)＝0的根，即f(x0)＝0. ∴当0<x1<x0时，f(x1)>f(x0)＝0. 9．(2014·乐山模拟)定义两个实数间的一种新运算“*”：x*y＝ln(ex＋ey)，x，y∈R.当x*x＝y时，x＝*y.对任意实数a，b，c，给出如下命题： ①a*b＝b*a； ②(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)； ③(a*b)－c＝(a－c)*(b－c)； ④(a*b)*c＝a*(b*c)； ⑤*a*b≥a＋b2. 其中正确的命题有________．(写出所有正确的命题序号) 答案 ①②③④⑤ 解析 因为a*b＝ln(ea＋eb)，b*a＝ln(eb＋ea)， 所以a*b＝b*a，即①对； 因为(a*b)＋c＝ln(ea＋eb)＋c＝ln[(ea＋eb)ec] ＝ln(ea＋c＋eb＋c)＝(a＋c)*(b＋c)，所以②对； 只需令②中的c为－c，即有结论(a*b)－c＝(a－c)*(b－c)，所以③对； 因为(a*b)*c＝[ln(ea＋eb)]*c＝ln[eln(ea＋eb)＋ec] ＝ln(ea＋eb＋ec)， a*(b*c)＝a*[ln(eb＋ec)]＝ln[ea＋eln(eb＋ec)] ＝ln(ea＋eb＋ec)， 所以(a*b)*c＝a*(b*c)，即④对； 设*a*b＝x，则x*x＝a*b， 所以ln(ex＋ex)＝ln(ea＋eb)， 所以2×ex＝ea＋eb， 所以x＝lnea＋eb2，即*a*b＝lnea＋eb2≥ln2ea·eb2＝a＋b2，故⑤对． 故正确的命题是①②③④⑤. 10．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)． (1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点； (2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围． 解 (1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3， 令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1. 所以，函数f(x)的零点为3和－1. (2)依题意，方程ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根． 所以，b2－4a(b－1)>0恒成立， 即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立， 所以有(－4a)2－4(4a)<0?a2－a<0，所以0<a<1. 因此实数a的取值范围是(0,1)． 11．设函数f(x)＝axn(1－x)＋b(x>0)，n为正整数，a，b为常数．曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x＋y＝1. (1)求a，b的值； (2)求函数f(x)的最大值． 解 (1)因为f(1)＝b，由点(1，b)在x＋y＝1上， 可得1＋b＝1，即b＝0. 因为f′(x)＝anxn－1－a(n＋1)xn，所以f′(1)＝－a. 又因为切线x＋y＝1的斜率为－1， 所以－a＝－1，即a＝1.故a＝1，b＝0. (2)由(1)知，f(x)＝xn(1－x)＝xn－xn＋1， f′(x)＝(n＋1)xn－1nn＋1－x. 令f′(x)＝0，解得x＝nn＋1， 在0，nn＋1上，f′(x)>0， 故f(x)单调递增； 而在nn＋1，＋∞上，f′(x)<0， 故f(x)单调递减． 故f(x)在(0，＋∞)上的最大值为 fnn＋1＝nn＋1n·1－nn＋1＝nn(n＋1)n＋1. |
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