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《广猛说题系列之路径专题》(第三集)

2017-06-01  xyz3i

下面再提供几道“定边对直角”模型的经典好题,供同学们强化训练.

例10.如图10所示,正方形ABCD的边长为4,点E、F是其边上的两个动点,动点E从起点C向终点B运动,同时点F从起点D向终点C运动,且它们速度相同,连接AF、DE交于点G.在整个运动过程中,求点G运动的路径长及CG的最小值.

简析:第一步(由全等得直角):如图10-1,点E与点F在运动的过程中始终有CE=DF,易证Rt△CED≌Rt△DFA,从而有∠1=∠2,进而易知AF⊥DE于点G,自然产生了直角;

第二步(识别“定边对直角”模型):由AF⊥DE于点G知:点G处有四个直角!然后循着这四个直角去寻找是否有直对的定边!观察容易发现,容易看出只有直角∠AGD所对的边AD为定边,即为“定边AD对直角∠AGD”模型;

第三步(由“定边对直角”作“隐形圆”):由“定边对直角”模型知:点G一定在以AD为直径的圆上运动,如图10-3所示;

第四步(由“临界值法”确定真实“轨迹”):接下来利用“临界位置法”(或称“极限位置法”)确定点G的真实路径(或轨迹):

如图10-2所示,当点E与F在起始位置时,可以找到点G的起点,即为点D处;

如图10-4所示,当点E与F在终止位置时,可以找到点G的终点,即为点O处;

下图为其动态图,供欣赏之:

解题后反思:本题解决的关键是利用正方形中的“相等结构”推导出“垂直结构”(当然,正方形中“相等未必垂直”,如图10-5及图10-6所示,但“垂直必相等”),进而得到目标动点G处存在的直角,继而识别出“定边对直角”模型,借助辅助圆巧解相应的路径长与最值问题.

我们再来看看,下面的正方形中又如何巧出“直角”,算作是例10的变式问题.

例11.(1)如图11-1所示,在正方形ABCD中,点E为AD的中点,连接EC与BD交于点F,再连接AF与BE交于点H,求证:AFBE.

(2)如图11-2所示,在边长为2的正方形ABCD中,M、N是边AD上的两个动点,且始终有AM=DN,连接CN与BD交于点F,再连接AF与BM交于点H,求DH的最小值,并求出此时AM的长.

简析:对于第(1)小问,主要分三步进行;

第一步:由图11-3中阴影的全等三角形,可得∠1=∠2;

第二步:由图11-4中阴影的全等三角形,可得∠2=∠3,从而有∠1=∠3;

第三步:最后再识别出如图11-5所示的“射影基本型”,通过导角容易推出直角∠AHB,从而问题得解.

解题后反思:前两步中的全等,其实质就是“超级对称”的思想,同学们用“对称性”可形成几何直观,这种大势感知的能力极其重要,需要引起大家的关注;另外,第三步中的“射影型相似”是一种极其重要的基本图形,其内部存在着很多的角关系、边关系,包括很多的比例关系等,它在解题应用中占着重要的一席之地,需要引起同学们的广泛关注.

再来解决第(2)小问,把此问与第(1)小问作类比是极其有趣的,相当于图11-1中的中点E一分为二变为了两个动点M与N,再同时同地同速分别左右移动,这就自然产生了第(2)个问题;

我们可以完全类比第(1)小问的解法来解决第(2)小问,具体操作如下:

第一步:由图11-6中阴影的全等三角形,可得∠1=∠2;

第二步:由图11-7中阴影的全等三角形,可得∠2=∠3,从而有∠1=∠3;

第三步:最后再识别出如图11-8所示的“射影基本型”,通过导角容易推出直角∠AHB;

至此,两个小问的过程可以说是一模一样,体现了“图形变了,方法未变”的统一性!

这里笔者又追加了一个极其自然的问题:当DH取得最小值时,求此时AM的长.

这个问题看似简单,其实也不容易!看似麻烦,其实也很容易!为什么这么说呢?关键是同学们是否具备一定的画图素养及“确定性思想”分析问题解决问题的能力,如若有这两方面的意识,此题不难;但若不具备,确实也无路可寻,且听我娓娓道来:

第一步(画图意识):在图11-10的基础上,连接BH并延长后与边AD的交点即为所要寻找的点M,如图11-11所示,求此时AM的长即可;

第三步(确定性分析):如图11-12所示,容易知道∠3是确定的,从而其“半角”∠1也是确定的,加之边长AB为2,从而△ABM也是确定的(ASA),因此AM确定,既然是确定的,肯定是可求的,而且一般怎么确定就怎么求,这就是我所想表达的“基于确定性思想的因果关系分析法”;

由前面的分析易知:只要能解出∠1(其三角函数值),就能求出随之确定下来的AM长!从而如何解∠1(其三角函数值)就成为了本问的关键所在;

解题后反思:本题解决原题最小值之后,笔者并没有就此放过这道“好题”,紧接着追加了一小问求此时的AM长,整个例11问题的设置可以说是妙到毫巅,由静至动,再由动至静,动静结合,妙不可言,这就是解题后反思、解题后琢磨的重要性;

而在求此时AM的长时,笔者巧妙借助了“确定性思想”分析问题,结合“因果关系法”导角导边,构造“倍半角模型”最终搞定问题,值得同学们深思;

另外,有关“倍半角模型”的构造可详见本人作品《用倍半角模型解题事半功倍》

(自编题)如图11-15所示,在正方形ABCD中,点O为边AB的中点,连接OD,在OD上取点H,使OH=OB,连接BH并延长交边AD于点M,求证AM=DH.

下面是浙江徐君斌大师巧妙的几何解法,果断点赞(其间用到了极其经典的正方形中“十字架模型”,徐君的解法中相似可以免了,用等角对等边就可以,本质当然还是相似的两个等腰三角形):

下面是南京李玉荣(李帅)老师的三种巧妙的构造相似法:

法一:

法二:

从上面的法一与法二及笔者原题中的构造计算法看来,此题是“死”的,怎么算都可以只要你坚定不移,巧施“计策”,妙用所学,一定会“得偿所愿”!

法三:

例12.如图12,以G(0,1)为圆心,半径为2的圆与x轴交于A、B两点,与y轴交于C、D两点,点E为⊙G上一动点,CF⊥AE于F,当点E从点C出发按顺时针方向运动到点B时,此时点F所经过的路径长为__________.

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