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原创 2017-04-28 高邮赞化 段广猛 广猛文摘 广猛文摘
不定期分享一些本人原创文章、说题短文或者专家系列讲座，主要对象针对初中学生，尤其是初三学生，对于解题研究展开系列探究！ 还记得本人作品《旋转那些事》中例题中遇“等边三角形”时，让人印象深刻的六种旋转法嘛！？当题目中出现了某个确定的等边三角形时，无论是绕着等边三角形的哪个顶点旋转60度，无论是顺转还是逆转，都可以解决相应的问题，这就自然产生了六种旋转法； 还记得本人作品《广猛说题系列之几道所谓压轴题的共通之处（旋转那些事）》中遇“等腰三角形”时，让人印象深刻的构造“共顶点的双（相似）等腰三角形”，“手拉手-旋转相似一拖二”模型嘛！？其本质还是“旋转那些事”，但学生更易上手，更易画出相应的辅助线，相当于将抽象的“旋转”本质具体化、表象化； 还记得昨天刚刚发布的《广猛说题系列之两道“瓜豆（朋成）”小题》中让人印象深刻的两道小题嘛！？文中借助“捆绑思想”、“瓜豆（又名朋成）原理”形象化地解释，将轨迹找出来使将抽象的最值问题变得“有迹可循”了； 昨晚《初中数学草根学堂》QQ群里深圳徐灿大神一语惊醒梦中人，让笔者如梦方醒，惊叹原来上面三篇文章竟有惊人的想通之处，忍不住“拍了续集”，“敬请观看”！   原题呈现：（具体见《广猛说题系列之两道“瓜豆（朋成）”小题》题2） 如图1，B是⊙O的半径OA延长线上的一点，OA=AB=2，C是半圆O上的一动点，以BC为斜边在BC的上方作等腰Rt△BCD，连接OD，则线段OD的最大长度为_______.  此题中出现了一个等腰Rt△BCD，类比《旋转那些事》中遇等边三角形的六种旋转构造法，其实本题也可以遇等腰直角三角形，采取六种旋转（位似）构造法； 《广猛说题系列之两道“瓜豆（朋成）”小题》一文中关于此题其实已经给出了其中的两种旋转（位似）构造法， 分别是下面的解法一与解法三：   解题后反思：解法一中构造“共直角顶点的双等腰直角三角形”模型本质就是绕直角顶点D逆时针旋转90度，借助“旋转相似（或全等）一拖二”的基本原理，将问题顺利转化后轻松解决！ 既然可以“顺转90度”，为什么不“逆转90度”呢？试试便知！   解题后反思：解法二中构造“共直角顶点的双等腰直角三角形”模型本质就是绕直角顶点D顺时针旋转90度，借助“旋转相似（或全等）一拖二”的基本原理，将问题顺利转化后轻松解决！ 解法一与解法二的构思如出一辙，构造的直观标志是直角顶点D处有两条相等的线段DB与DC，这就为旋转奠定了天然的条件，则点D出发的第三条线段DO可顺转也可逆转90度，即构造所谓“共直角顶点的双等腰直角三角形”模型，“手拉手全等”后解决问题，这里的构造过程还有一个美妙而动听的名字“隐性的翅膀”，这就是数学的构造之美！   解题后反思：解法三中“共45度顶点的双等腰直角三角形”模型构造的本质还是“旋转那些事”，只不过这里面多了一种变换，那就是较难的“位似变换”！这里构造的直观标志是45度角顶点B处有两条成比例的线段BC与BD，这就为“旋转位似”奠定了天然的条件，则点B出发的第三条线段BO可顺转45度后，再按相应比例进行适当放缩，即可构造出所谓“共45度顶点的双等腰直角三角形”模型，再借助“手拉手”、“旋转相似一拖二”原理轻松解决问题； 既然可以“顺转45度”，当然也可以“逆转45度”，试试便知！   解题后反思：解法三与解法四的构思如出一辙，构造的直观标志是45度角顶点B处有两条成比例的线段BC与BD，这就为“旋转位似”奠定了天然的条件，则点B出发的第三条线段BO可顺转也可逆转45度后，再按相应比例进行适当放缩，即可构造出所谓“共45度顶点的双等腰直角三角形”模型，再借助“手拉手”、“旋转相似一拖二”原理轻松解决问题！ 等腰Rt△BCD的锐角顶点C与B地位等价，既然能绕着顶点B“旋转位似”，何不尝试一下绕着顶点C转转呢！自然引出下面的解法五与解法六，不再详述，配图即可，同学们可自行参悟！ 解题后反思：值得一提的是，最初的顶点C处只有两条夹角确定的成比例线段CB与CD，这为“旋转位似”奠定了天然的基础条件，但需要自己再连接第三条线段CO，对其作相应地“旋转位似”变换即可构造出“共45度顶点的双等腰直角三角形”模型，借助“旋转相似一拖二”、“手拉手”相似转化轻松搞定问题！ 解题后反思：解法五与解法六的构思如出一辙，当然也与解法三与解法四差不多，值得大家用心揣摩； 笔者这里讲了六种解法，一方面的意图是一题多解，发散思维；但更主要的另一方面还是希望大家能多解归一，聚合思维，真正把握“旋转位似”的要领，从而在以后的学习中能灵活运用！ 此种题型在本人作品《广猛说题系列之反比例轨迹一例——瓜豆原理（又名朋成原理）》里曾有介绍，今天再次评讲，旨在加深同学们对于此类题型的认识； 下面提供两种解法，第一种解法偏代数一些，可称之为设坐标法；第二种解法，偏几何些，即为所谓“捆绑瓜豆”（又名“捆绑朋成”）原理的应用，后者几乎可以实现口算； 解法一（设坐标法）： 首先连接CO，由对称性及等腰三角形“三线合一”定理易知CO⊥AB，如图2-1所示，将等腰三角形问题转化为直角三角形问题，这一步转化至关重要； 解题后反思：要想求目标动点C所在的函数关系式，那就直接设出点C的坐标为（x,y），接下来就只要求出y与x的关系式，或者说列出一个关于x、y的方程即可.这里其实用到了高中的“轨迹思想”，对于初中学生而言，理解起来略微吃力，需认真体悟！可以这样说，不管求哪一个点所在的函数关系式，都可以这样处理，即设出目标点的坐标为（x,y），想方设法列出一个关于x、y的方程，再转化为y关于x的关系式，这就是“轨迹方程思想”！ 解法一中求出了目标动点C所在的函数解析式后，一方面印证了题目中指代的“点C始终在某一函数图象上”，其实这个条件是多余的；另一方面，我们还知道了动点C所在的函数图像竟然还是一条双曲线； 有没有一种更加直观而自然的解释，立即可以知道动点C所在函数图像的形状呢？“瓜豆原理”（又名“朋成原理”）应运而生！ 解题后反思：我们知道图形常见的四大变换（平移、翻折、旋转及位似）都不改变图形的形状，前三大变换还不改变图形的大小，因而经过这些变换或者一系列组合变换后，如果主动点A的轨迹是一条直线，那么从动点C的轨迹也必然是直线；如果主动点A的轨迹是一条抛物线，那么从动点C的轨迹也必然是抛物线；如果主动点A的轨迹是一个圆，那么从动点C的轨迹也必然是一个圆等等！而且从动点C的轨迹也必然是由主动点A的轨迹作相应变换所得，这就是“捆绑思想”或者说成是几何里的“整体思想”！所谓“种瓜得瓜，种豆得豆”是多么形象的解释啊！ （本文完！） 敬请各位朋友关注本人公众号，若能帮忙宣传，则不胜感激，旨在服务于更多的学子还有更多喜欢钻研的同仁们！ 点赞是一种美德，打赏是一种认可
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