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方法一：定/动边对直角   分析：问题为求线段EF的最大值，那么它的两端点E和F有什么特点呢?不难发现，F是定点，E是一个动点。但E点并不是随意乱动，而是不管你如何动，必须保证∠BEC=90°，这就是一个动直角。求定点与动点连线的最值问题，势必要确定动点的轨迹，若是直线，那就点线之间垂线段最短，若是曲线再分析何时最近。接着观察这个直角所对的斜边BC，为固定的线段，则E点动的过程中，不仅保证∠BEC=90°，还保证这个直角的两端点是个定线段。这让你想到什么？一个圆的直径所对的圆周角总是直角！那么，可令BC为直径，取其中点为圆心作圆，即E点的轨迹圆。OK，“无中生圆”完成了，问题就简化成了“圆外一定点F到圆上的最长距离为多少”。 接下来咱们要知道一个基本事实：如图，A为圆外或园内一点，在圆上找一点P使得PA最小。这里利用的是“点圆之间，点心线与圆截距最短，点心线延长线与圆截距最长”来解决。即图中AP为圆外一定点A到圆的最短距离，AP'为A到圆的最长距离。因为此类最值问题最终往往要连点心线或者使线段穿过圆心，故谓之“一箭穿心”！  那么这题把E点的轨迹圆作出来之后就很Easy了，一箭穿心不就成了？ 解答：由题意知∠BEC=90°，∴点E在以BC为直径的圆上，设圆心为O，即E点轨迹为⊙O，如图所示：  由图可知，连接FO并延长交⊙O于点E'，此时E'F最长。 则：   刚刚的例1-1-1为一道典型“定边对直角类”的“一箭穿心”最值问题，但其他题目有时并不直接给你这个动态的直角，而是“藏着掖着”给出直角，这就要靠同学们提炼出图形中的相应关系，挖掘出直角再“无中生圆”。比方说安徽省2016年中考选择题压轴(第10题)就是如此(这里选项已省略)：  分析：问题为求线段CP的最大值，且C是定点，P是动点。之前一题动点动的过程中保证了以自己为顶点的角是一个直角，那么这题没有直角怎么办？别急，孔老师曰：审题三遍，其义自见！这里给的条件∠PAB=∠PBC是可以帮你挖掘出直角的！∠ABP+∠PBC=∠ABC=90°，则∠ PAB替换∠PBC就有∠ABP+∠PAB=90°，即∠P= 90°。这岂不和例1-1-1情况相同？P点不管如何动，必须保证∠P= 90°，还保证AB为直径，即可“无中生圆”！再“一箭穿心”！  解答：∵∠ABC=90° ∴∠ABP+∠PBC=90°， ∵∠PAB =∠PBC，∴∠ABP+∠PAB=90°→∠P=90° ∴点P在以AB为直径的圆上，设圆心即AB中点为O，即P点轨迹为⊙O，连接CO交⊙O于P'，则CP'为CP最小值。 在Rt△OBC中：  ∴CP'=CO-OP'=5-3=2，即CP最小值为2  其实，通过“直径所对圆周角为直角”这一定理作出辅助圆的题型，除了“定边对直角”，其实“动边对直角”也是可以生圆的，这就不是“一箭穿心”问题了，你生出的圆可不是轨迹圆咯，这里生出的是辅助圆： 分析：本题不再是“定边对直角”，因为E为动点，故90°所对的边AE变成了长度可伸缩的线段，这就叫“动边对直角”。那么这里就无法“无中生圆”了吗？别急，虽然是动态的，我们可先把画面定格在任意一帧，画出圆再说！画出△ADE的外接圆后，如图，其直径AE可伸缩，故这是一个正在动的、可放大缩小的圆。 此题求的是直径AE的最小值，那何时直径最小呢？取圆心为O即AE中点，连接OD即半径，半径OD最小时，直径AE不就最小了吗？不难发现，由于点线之间垂线段最短，则当OD⊥OB时，故此时OD会达到最小的临界情况即最短，而此时圆与BC相切。 解答：以AE为直径作⊙O，当⊙O与BC相切时OD最短即半径最短，故此时直径AE也最短设半径为x，由勾股定理易得：AC=10， 则EC=10-2x，∵OD⊥BC，∴OD∥AB， 故△ABC∽△ODC，有：
解得： x的值即为AE最小值 此题中，我们运用“无中生圆思想”得出的圆并不是某个动点的轨迹圆，这里做出的圆是辅助咱们得出临界条件的，所以属于辅助圆。且这是一个可放大或缩小的动态的圆，故此类题型可命名为动态圆问题。另外悄咪咪告诉你，这里往往会运用相切得出最值的临界情况以求出最值哦。 无中生圆常伴手，最值从此都不怕 特别提醒： 无中生圆思想不一定都是处理最值问题哦 无论是静态几何亦或是动态几何 无中生圆思想无处不在 欲知详情如何，点个关注以获取更多内容！ 注意：后续还有高阶模型篇和特殊技巧篇哦 |
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