电气化铁道牵引供电系统加窗插值法的谐波分析

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电气化铁道牵引供电系统加窗插值法的谐波分析

陈佳兴，杨剑锋

(兰州交通大学自动化与电气工程学院，兰州 730070)

摘 要：传统电气化铁道牵引供电系统的谐波分析方法受频谱泄漏和栅栏效应的影响，不能准确地得到谐波相关参数。为此，提出一种采用加六项优化余弦组合自卷积窗和四谱线插值结合的新算法对谐波进行分析。首先采用复调制细化法分析信号中基波频率附近的谐波成份，剩余信号加窗处理，利用离散傅里叶变换找出谐波频点附近相应离散频谱的4根峰值谱线，利用插值算法对电气化铁道牵引供电系统中谐波相关参数频率、幅值及相位进行加权修正并推导出计算公式，从而进一步提高分析结果的准确性。

关键词：电气化铁道；谐波分析；余弦组合自卷积窗；四谱线插值；离散傅里叶变换；复调制细化法

随着我国电气化铁道的迅猛发展，电气化铁道作为高压单相非线性负载，是引起电力系统谐波的主要污染源之一，使电能质量日益恶化，影响系统安全运行[1-5]，准确地检测与分析出电气化铁道牵引供电系统中谐波参数和谐波实际运行情况显得尤为重要。而现有的分析方法受频谱泄漏和栅栏效应的影响，使分析出的结果不准确[6-10]。频谱泄露主要利用加窗函数来减小影响，而栅栏效应主要利用数学插值法来减小误差[11-13]。

据此，为进一步减小误差，提高检测和分析的准确性，提出了一种采用加六项优化余弦组合自卷积窗和四谱线插值结合的新算法对谐波进行分析。首先采用复调制细化法(zoomed FFT， ZFFT)对信号中频率间隔较近的谐波成份进行分析，然后将剩余信号加六项优化余弦组合自卷积窗处理，并对加窗后的信号进行离散傅里叶变换得到离散频谱，找出相应的峰值谱线，最后利用四谱线插值算法对谐波相关参数进行加权修正，从而获得较为准确的谐波参数，由此可以进一步的提高检测谐波频率、幅值和相位的准确度，使其具有较好的实用价值和应用价值[14，15]。

1 窗函数的选择

余弦组合窗函数表示为

(1)

式中，n=0，l，2，…，N；m为余弦组合窗的项数；am满足和。

一般情况下N?1，可得优化余弦组合窗的离散傅里叶变换(DFT)简化表达式为

(2)

优化余弦组合自卷积窗定义为若干个相同的余弦组合窗进行时域卷积运算，即

(3)

式中，p为自卷积余弦组合窗的个数，称为优化余弦组合自卷积窗的阶数。长度为N的窗经过p-1阶自卷积运算得到长度为Nc=pN-p-1的序列，在卷积序列前后补零，即可得到p阶优化余弦组合自卷积窗，其长度为Nc=pN。

根据卷积定理可知，函数在时域的卷积相当于函数在频域的相乘，所以p阶优化余弦组合自卷积窗的频域表达式为

(4)

其中，W(ω)如式(2)所示。

p阶优化余弦组合自卷积窗主瓣宽度表示为

(5)

旁瓣峰值电平表示为

(6)

旁瓣衰减速率表示为

(7)

所以，2阶优化余弦组合自卷积窗的频域表达式可表示为

(8)

由此可得：MLBW=24π/N，PSL=-196(dB)，DSL=132(dB/oct)

由表1和图1可以看出，在序列长度相同时，虽然此时6项优化余弦组合窗的主瓣较宽，但其旁瓣特性优越。当p=2时，6项优化余弦组合2阶自卷积窗与原始余弦组合窗主瓣宽度相同，但其旁瓣抑制特性更强。因此，在保证采样长度的前提下，选择主瓣较宽的窗函数，来得到较好的旁瓣抑制特性。所以本文选择旁瓣峰值电平最低，最快速下降的6项优化余弦组合2阶自卷积窗作为窗函数进行加窗计算，来抑制谐波间频谱泄漏的影响。

表1 余弦组合窗函数的性能参数比较

Ma0a1a2a3a4a5MLBWPSL(dB)DSL(dB/oct)10.50.49————8π/N-321820.4240.4970.0783———12π/N-473030.36360.48920.13660.010641——16π/N-634240.323150.4714920.1755340.0284950.0012613—20π/N-785450.246093750.410156250.22343750.0878906250.019531250.00195312524π/N-8866

图1 余弦组合自卷积窗函数时域和频域幅度特性曲线

2 复调制细化法原理

复调制细化法的原理如图2所示。

图2 复调制细化法原理流程

(1)确定中心频率和选抽比

设分析频带起始频率为f1、截止频率为f2，采样频率为fs，当在频带(f1～f2)范围内作频率细化分析时，则中心频率fe=(f1+f2)/2。设复解析带通滤波器的带宽为fs/D，分析频带宽度为f2-f1，则选抽比D=fs/(f2-f1)。

(2)构建复解析带通滤波器

首先构建一个实低通滤波器hL(n)，其带宽为fs/2D，幅频特性如图3所示，冲击响应函数为

(9)

然后将该低通滤波器进行复移频，将通带的中心频率由0移至ωe，从而得到带宽为fs/D的复解析带通滤波器h(n)，其冲击响应函数为

(10)

由此可知，复解析带通滤波器的冲击响应函数为复数，其理想幅频特性如图4所示。

实部表达式为

(11)

虚部表达式为

(12)

其中，ω0=2π(f1-f2)/2，ωe=2π(f1+f2)/2。

图3 实低通滤波器幅频特性

图4 复解析带通通滤波器幅频特性

(3)选抽滤波

设选抽比为D，选抽出N个点，且只对选抽的这N个点进行复解析带通滤波。经选抽滤波后使信号变成在频带(f1～f2)范围内的复信号。

(4)复调制移频

设移频偏移量为1，起始频率f1的归一化角频率ω1=2πf1/fs。对e-jω1n进行每间隔D点抽一点，得到e-jω1Dn，即采样频率减慢D倍，所以移频偏移量1=Dω1。

(5)FFT分析

不需要作频率调整，直接作FFT分析就可以得到N条独立的细化谱线。

3 四谱线插值原理

设x(t)是由基波、谐波组合而成的复杂电气化铁道供电系统的信号，以采样频率fs对信号进行等间距采样，得到的离散时间信号为

(13)

式中，m表示谐波次数；Am和φm表示第m次谐波的幅值和相位；f0表示基波频率；fs表示采样频率。

首先将采样信号经复调制细化法对基波附近频率间隔较近的谐波成份进行分析，然后将原信号减去该谐波信号，得到剩余信号的表达式为

(14)

对剩余信号所加的窗函数表示为w(n)，则对式(14)加自卷积窗处理，可得到xw(n)=x*(n)w(n)，加窗后信号的离散傅里叶变换为

(15)

式中，fm为第m次谐波频率。

忽略式(15)中第2项负频点-fm处频谱峰值的旁瓣影响并进行离散化，那么在正频点fm附近的频谱函数DFT表示为

(16)

式中，Δf=fs/N；fm=kmΔf；N为数据截断长度；W(·)为窗函数频谱的表达式。

为了便于分析，本文以某第m次谐波进行分析，根据式(16)，令

(17)

设峰值频率kmΔf附近4条谱线的频率分别为k1Δf、k2Δf、k3Δf、k4Δf，则有k1k2≤km≤k3k4，其中各值之间的关系为k2=k1+1， k3=k2+1，k4=k3+1。令这4条谱线的频点所对应的幅值分别为y1、y2、y3、y4，则 y1=|Xw(k1Δf)|，y2=|Xw(k2Δf)|，y3=|Xw(k3Δf)|、y4=|Xw(k4Δf)|。引入参数δ，令δ=km-k2，δ∈(-0.5，0.5)，显然δ的取值范围是关于原点对称的，求取δ的值即可求得频率、幅值和相位的相关数值。

假设

(18)

令r=2y2+y1，s=2y3+y4，则

(19)

其中，y1、y2、y3、y4的值可以通过传统的FFT算法获得，即幅值比β也就可以确定了。当N较大时，式(18)一般可以简化为β=g(δ)，其反函数记为δ=g-1(β)，当窗函数w(n)为实系数时，其幅频响应W(2πf)为偶函数，所以函数g(·)及其反函数g-1(·)都是奇函数，因而δ=g-1(β)只含有奇次项，其表达式为

(20)

式中，c1， c3，…， c2λ+1为2λ+1次逼近多项式的奇次项系数。

求得δ后，可以求出实际信号的频率为

(21)

信号的幅值和相位也能够由关于δ的相应修正函数计算求出。为了更加准确地计算出实际信号的幅值和相位，需要将y1、y2、y3、y4进行幅值修正，通过对这4根谱线的幅值进行加权平均来计算出实际的峰值点的幅值，距离峰值频率最近的2根谱线所含有的信号幅值信息量最大，所以计算时应给予这2根谱线更大的加权值，经过对比试验，得出这4根谱线加权值分别为1，2，2，1。

由式(17)得

从而有

(22)

对于一般的实系数窗函数，当N较大时，式(22)可表示为

(23)

其中u(·)为偶函数，其结果中不含奇次项，则Am可以表示为

(24)

式中，a0， a2，…， a2l为2l次逼近多项式的偶次幂系数。

信号的相位由式(17)可得

(25)

6项优化余弦组合窗函数的DFT表达式为

(26)

结合式(8)、式(22)和式(26)可得

(27)

(28)

(29)

将式(27)～式(29)代入式(18)～式(20)和式(22)～式(24)，得到β=g(δ)的逼近式β=G(δ)和Am=N-1(y2+2y1+2y3+y4)u(δ)的逼近式。令δ在(-0.5，0.5)内取一组值，对δ=G-1(β)和u(δ)用Matlab多项式拟合函数ployfit进行拟合，拟合多项式次数为7次，最后得到δ=G-1(β)和u(δ)的系数修正公式为

δ=0.642 403 11β+0.053 125 31β3+

0.013 203 14β5+0.003 201

(30)

u(δ)=1.524 012 16+0.114 051 32δ2+

0.012 203 14δ4+0.001 331

(31)

频率修正公式为

(32)

幅值修正公式为

(33)

相位修正公式为

(34)

4 仿真与验证

仿真信号采用的模型为

(35)

式中，基波频率f0为50 Hz；采样频率fs为1 600 Hz；采样点N取1 024。

复解析带通滤波器中心频率fe为50 Hz，选抽比D为100，滤波器半阶数M为100。本文设置仿真信号各次谐波成分的幅值及相位如表2所示。

为验证本文提出算法的准确性和有效性，针对直接FFT法、双谱线和三谱线优化余弦窗算法在电气化铁道的谐波参数分析。不同加窗插值算法测量出各次谐波幅值和相位的相对误差(%)如表3和表4所示。图表中采用的算数符号a·E-b表示为a×10-b，其中a与b为常数。

表2 仿真信号的构成

次数频率/Hz幅值/V相位/rad15020021005-0.27315013.52.2420040.952509-1.963001.5-0.6735050.384001.30.15945031.8105001-0.3115501.9-1.3126000.61.05

表3 不同加窗插值算法对应的幅值相对误差比较 %

窗类型FFT双峰优化余弦窗三峰优化余弦窗本文算法10.24052.13E-41.27E-53.32E-620.23143.12E-4-1.1E-54.21E-530.1425-2.01E-43.24E-5-3.81E-640.25041.42E-42.23E-42.23E-650.1032-2.31E-33.12E-5-1.02E-660.40312.32E-4-1.41E-52.13E-670.05123.41E-4-2.13E-5-1.41E-680.1752-1.24E-34.21E-53.31E-590.25412.03E-41.53E-55.17E-6100.0341-1.17E-43.25E-4-1.45E-6110.22473.21E-41.04E-51.42E-6120.1423-2.56E-43.24E-53.26E-6

表4 不同加窗插值算法对应的相位相对误差比较 %

窗类型FFT双峰优化余弦窗三峰优化余弦窗本文算法1-0.02411.24E-32.05E-42.34E-521.43251.32E-3-2.23E-4-1.06E-531.6524-7.63E-21.42E-41.24E-540.63263.41E-3-1.15E-33.21E-45-0.1423-2.45E-31.03E-4-4.31E-561.6811-4.45E-3-2.27E-4-4.25E-572.56831.32E-21.52E-43.01E-580.03423.14E-3-1.13E-42.45E-591.3546-2.15E-34.21E-32.16E-4102.51613.41E-3-1.64E-45.41E-5112.51722.53E-3-2.13E-4-2.21E-5120.5625-1.63E-32.05E-4-3.02E-5

由图5可以看出，信号直接采用离散傅里叶变换进行分析受频谱泄露影响严重，图6说明通过简单加窗插值法在存在于基波频率间隔较近的谐波成分时不能较为准确分析出谐波成份，并且基波成份的幅值受临近谐波能量泄漏的影响明显增大，同时出现了原有信号不存在的频率为228.9 Hz虚假谐波成份。图7和图8为采用6项优化余弦组合自卷积窗四谱线插值频谱细化法的频谱分析图，可以看出较为准确的分析出谐波成分。

图5 直接FFT法的频谱

图6 加窗插值法的频谱

图7 频率间隔较近的频谱

图8 剩余信号加窗后的频谱

通过以上的比较可以看出本文选择的6项优化余弦组合自卷积窗具有比较好的综合性，另外本文采用的四谱线插值法也提高了修正公式的准确度，并且能够分析出频率间隔较近的谐波成份，因此在对信号的各次谐波的幅值和相位的检测中都有了明显的改善，幅值相对误差集中在10-6左右，相位相对误差集中在10-5左右，相比其他方法提高了1～2个数量级，总体来说本文提出的方法在谐波的检测中相比已有方法具有较高的准确度，能够获得准确的谐波参数分析的结果。

5 结语

为了减小谐波分析时由于频谱泄漏和栅栏效应引起的误差，提出了一种采用加6项优化余弦组合自卷积窗和四谱线插值结合的新算法对谐波进行分析，首先采用复调制细化法对采样信号频率间隔较近的谐波成份进行分析，将剩余信号加窗处理后经离散傅里叶变换找出相应的峰值谱线，推导出了基于加窗四谱线插值算法的谐波参数加权修正公式。最后本文还与直接FFT算法、双谱线优化余弦窗和三谱线优化余弦窗算法在电气化铁道牵引供电系统中的谐波进行了仿真验证对比分析。仿真结果表明：本文提出的算法对电气化铁道牵引供电系统的谐波分析具有更高的准确性，可以有效地抑制频谱泄漏和栅栏效应，减小虚假成分的存在，具有较高的实用和应用价值。

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Harmonic Analysis of Adding Window Interpolation Method in Electrified Railway Traction Power Supply System

CHEN Jia-xing， YANG Jian-feng

(School of Automation and Electrical Engineering， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China)

Abstract：The traditional harmonic analysis method is influenced by frequency spectrum leakage and fails to obtain accurately the harmonic related parameters in the electrified railway traction power supply system. This paper proposes an approach for power network harmonic analysis with six optimization cosine combined self-convolution window and four-spectrum-line interpolation. The algorithm is firstly employed to analyze the harmonic components near the fundamental wave frequency with zoom fourier transform， the residual signals are processed with window and the discrete fourier transform is used to find out the corresponding four peak spectral lines of the discrete frequency spectrum near the harmonic frequency. The frequency of the related parameters of the power network harmonic， the amplitude and phase are weighted and corrected by means of interpolation algorithm to deduce calculation formula so as to improve the accuracy of analysis results．

Key words：Electrified railway; Harmonic analysis; Cosine self-convolution window; Four-spectrum-line interpolation; FFT; ZFFT

收稿日期：2016-03-30；

修回日期：2016-05-14

作者简介：陈佳兴(1991—)，男，硕士研究生，从事谐波分析及其检测技术研究，E-mail：[e-mail]。

通信作者：杨剑锋(1980—)，男，副教授，博士，从事先进控制技术研究。

文章编号：1004-2954(2016)11-0130-05

中图分类号：U223

文献标识码：A

DOI：10.13238/j.issn.1004-2954.2016.11.029