高中物理：电磁学中的导体单棒模型

在电磁学中，“导体棒”因涉及受力分析、牛顿定律、动量定律、动量守恒定律、能量守恒定律、闭合电路的欧姆定律、电磁感应定律等主干知识，综合性强。

导体单棒有“棒生电”或“电动棒”两种形式，但主要以“棒生电”为主。“棒生电”指导体棒在运动过程中切割磁感应线产生感应电动势，因此“导体棒”在电路中相当于电源，与其他元件构成回路。

 

一、力学思路

与“导体单棒”组成的闭合回路中的磁通量发生变化→导体棒产生感应电动势→感应电流→导体棒受安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化→感应电动势变化→……，循环结束时加速度等于零，导体棒达到稳定运动状态。

例1、水平面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，间距为L，一端通过导线与阻值为R的电阻连接；导轨上放一质量为m的金属杆（见图1），金属杆与导轨的电阻忽略不计；均匀磁场竖直向下。用与导轨平行的恒定拉力F作用在金属杆上，杆最终将做匀速运动。当改变拉力的大小时，相对应的匀速运动速度v也会变化，v与F的关系如图1（取重力加速度 g＝10m/s²）

图1

（1）金属杆在匀速运动之前做什么运动？

（2）若m＝0.5kg，L＝0.5m，R＝0.5Ω，磁感应强度B为多大？

（3）由V－F图线的截距可求得什么物理量？其值为多少？

解析：（１）变速运动（或变加速运动、加速度减小的加速运动、加速运动）。

（2）感应电动势ε＝BLv，感应电流，安培力。

因金属杆受拉力、安培力和阻力作用，匀速时合力为零，有，解出，由图线可以得到直线的斜率k＝2，所以。

（3）由直线的截距可以求得金属杆受到的阻力f，f＝2（N）。

若金属杆受到的阻力仅为滑动摩擦力，由截距可求得动摩擦因数μ＝0.4。

总结：导体单棒在轨道上的情况，有“水平导轨”、“斜面导轨”“竖直导轨”，有受力分析、运动过程，极值问题（如加速度极值、速度极值、功率极值、能量转换）等问题。对于“斜面导轨”突出导体单棒的重力分解、摩擦力等问题，对于“竖直导轨”突出空间想象判断安培力。在利用导体单棒变速运动对力学考查的同时，也加入图像等元素，比如F－t图像、U－t图像等。在匀强磁场中匀速运动的“导体单棒”受到的安培力恒定，用平衡条件进行处理；在匀强磁场中变速运动的导体棒受的安培力也随速度（电流）变化，变速运动的瞬时速度可用牛顿第二定律和运动学公式求解，要画好受力图，抓住a＝0时，速度v达最大值的特点；在解题时涉及始、末状态，还有力和作用时间的，用动量定律；涉及始、末状态，还有力和位移的，以及热量问题应尽量应用动能定律与能的转化和守恒定律解决。

 

二、电学思路

判断产生电磁感应现象的那一部分导体（电源）→利用或E＝BLv求感应电动势的大小→利用右手定则或楞次定律判断电流方向→分析电路结构→画等效电路图。

例2、如图2所示，OAC为置于水平面内的光滑闭合金属导轨，O、C处分别接有短电阻丝（图中粗线表示），（导轨其他部分电阻不计）。导轨OAC的形状满足方程y＝（单位m）。磁感强度B＝0.2T的匀强磁场方向垂直于导轨平面。一足够长的金属棒在水平外力F作用下，以恒定的速率v＝5.０m／s水平向右在导轨上从O点滑动到C点，棒与导轨接触良好且始终保持与OC导轨垂直，不计棒的电阻。求：

图2

（1）外力F的最大值；

（2）金属棒在导轨上运动时电阻丝R₁上消耗的最大功率；

（3）在滑动过程中通过金属棒的电流I与时间t的关系。

解析：（1）金属棒匀速运动F_外＝F_安，ε＝BLv，

（2）

（3）金属棒与导轨接触点间的长度随时间变化，

   

例3、一直升飞机停在南半球的地磁极上空。该处地磁场的方向竖直向上，磁感应强度为B。直升飞机螺旋桨叶片的长度为l，螺旋桨转动的频率为f，顺着地磁场的方向看螺旋桨，螺旋桨按顺时针方向转动。螺旋桨叶片的近轴端为a，远轴端为b，如图3所示。如果忽略a到转轴中心线的距离，用E表示每个叶片中的感应电动势，则（    ）

A. ，且a点电势低于b点电势

B. ，且a点电势低于b点电势

C. ，旦a点电势高于b点电势

D. ，且a点电势高于b点电势

图3

分析：画等效电路图，利用闭合电路的欧姆定律、串并联电路的特点、楞次定律、左手定则解决，对待变杆问题要注意有时导体两端有电压，但没有电流流过，这类似于电源两端有电势差但没有接入电路时，电流为零；对待转动问题根据楞次定律判断方向并根据电磁感应定律计算感应电动势大小。

解析：螺旋桨叶片旋转切割磁感线产生感应电动势相当于电源，由右手定则可知，a相当于电源的负极，b相当于电源的正极，即a点电势低于b点电势。由于从a→b叶片上各点的速度大小按的规律呈线性变化，由

。综上分析可知，选项A正确。

 

三、能量思路

电磁感应现象中，当外力克服安培力做功时，就有其他形式的能转化为电能；当安培力做正功时，就有电能转化为其他形式的能。

例4、如图4所示，固定的水平光滑金属导轨，间距为L，左端接有阻值为R的电阻，处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻均可忽略。初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有水平向右的初速度v₀。在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触。

（1）求初始时刻导体棒受到的安培力。

（2）若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧的弹性势能为E_p，则这一过程中安培力所做的功W₁和电阻R上产生的焦耳热Q₁分别为多少？

（3）导体棒往复运动，最终将静止于何处？从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q为多少？

图4

解析：（1）初始时刻棒中感应电动势，棒中感应电流

作用于棒上的安培力F＝ILB，联立得，安培力方向水平向左。

（2）由功和能的关系，得安培力做功，电阻R上产生的焦耳热。

（3）由能量转化及平衡条件等，可判断出棒最终静止于初始位置，.

总结：导体单棒能量形式涉及到更多的内容，具体有棒与电源、棒与电阻、棒与电容、棒与电感、棒与电表、棒与弹簧等其他器件的组合系统。在导体单棒运动中，以上组合都涉及多种能量形式的转化，因此从功和能的观点入手，分析清楚电磁感应过程中能量转化的关系，往往是解决电磁感应问题的重要途径。

对于感应电流的焦耳热问题：如果感应电动势为恒量，可以运用焦耳定律直接求得；如感应电动势为变量，看看是否为正（余）弦交流电，若是可运用有效值求之，若不是可应用能的转化和守恒定律求之。