【高考数学】解题能力提升, 每日一题: 第151题

如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．

（Ⅰ）求证：CD⊥AM；

（Ⅱ）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值．

（Ⅰ）证明：取CD的中点O，连接OB，OM．

∵△BCD是等边三角形，

∴OB⊥CD．

∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，

∴OM⊥CD．

∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD=CD，

OM?平面CMD，

∴OM⊥平面BCD．

又∵AB⊥平面BCD，

∴OM∥AB．

∴O，M，A，B四点共面．

∵OB∩OM=O，OB?平面OMAB，OM?平面OMAB，

∴CD⊥平面OMAB．∵AM?平面OMAB，

∴CD⊥AM．

考点分析：

直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．

题干分析：

（I）取CD的中点O，连接OB，OM，则可证OM∥AB，由CD⊥OM，CD⊥OB得出CD⊥平面ABOM，于是CD⊥AM；

（II）以O为原点建立空间直角坐标系，求出和平面BDM的法向量，则直线AM与平面BDM所成角的正弦值为|cos＜＞|．