高等数学期末复习

高等数学期末复习指南

本文是数院学长根据学习经验参考各类资料归纳总结写作，仅供参考使用。考试复习还应以教材和老师上课内容为准。

由于微信平台不支持插入数学公式，因此大部分解答和公式用LaTeX编辑之后以图片形式插入，或者参考自教材。

级数

数项级数

方法与技巧

关于数项级数的收敛性，有如下判别的方法：

先判断级数的通项是否趋于0，如果不是趋于0的，那么必定不是收敛的级数。

大家应观察级数的类型。是正项级数，还是交错级数，还是说就是任意项的级数。判断是否收敛的类型是绝对收敛还是条件收敛。如果是绝对收敛，那么当然可以当做是正项级数来处理。

正项级数

(1)比较判别法：

不等式形式

极限形式

时常，我们常用来作比较的，就是p级数(一定要记住p>1收敛 p<>

和等比级数。我们常常利用Taylor展开来观察我们级数的通项是近似于哪个无穷小量，近似于几阶的幂级数。例如下题：

这个通项显然是等价于1/n^2那么收敛性就没问题了。再例如下面这道题。

经常我们会遇到lnn、ln(1+n)等对数，大家一定要记得，lnn/n^p对任意p>0都是无穷小量。

我们常用p<=1的p级数，尤其是1>

对于指数和底数都含有n的，有时候我们就先取对数再利用Taylor展开。例如下面这个高数B的考题

(2)Cauchy判别法

对于通项含有n次方的级数，首先考虑下该判别法。

(3)d'Alembert判别法

(4)积分判别法

对于单调递减的正项级数，可以考虑一下这个方法。

交错级数

交错级数常考察的就是Leibniz判别法。

当然对于交错级数不止这一种判别的方法。有时题目还要求判断是否绝对收敛，那么这个时候完全可以使用正项级数的各类判别方法。

真题练习

幂级数

方法与技巧

1、常考察的问题就是幂级数的收敛半径。

(1)最关键的自然就是柯西-阿达马定理

究竟是对系数开n次方，还是后项比前项。这个在于我们对系数进行观察，含有n次方的我们通常开方。含有多项式幂次的，我们常后项比前项来求。有些这两种方法都可以判断。

注意n的n次方，极限是1。

(2)有些时候，不是标准的幂级数。那么就应该先把一部分看成整体，化成标准的幂级数求出收敛半径，然后利用这个整体的收敛半径构造不等式求出收敛域。

2、对于级数求和，或者求和函数，关键在于要想方设法化成我们可以求和的形式。例如等比级数，或常见初等函数的Taylor展开式。

常用的方法就是利用逐项可积性或者逐项求导。

系数含有1/n、1/(n+1)常用逐项求导，系数含有n、n+1 常用逐项积分，化成等比级数或者常见初等函数的Taylor展开式。

观察系数就知道，这个先逐项积分，再每项乘上x，再逐项积分一次。从略。

这个幂级数逐项积分，会变成xe^(x^2)的Taylor展开。从略。

3、有些问题可以利用Taylor公式巧妙解决。

利用arctanx的Taylor展开式

将f(x)以幂级数的形式来表示，再结合Taylor公式的定义

可得结果。从略。

真题练习

Fourier级数

对于Fourier级数，高数C仅作了解

方法与技巧

在[-T，T]的对称区间做Fourier展开，严格按照书本的定义来做。注意三角函数的和差化积公式的使用，以及分部积分方法。（详见上一篇高数期末推送）

对于求Fourier级数的和函数，我们有收敛性定理。

但我们实际上不会有十分复杂的函数来让大家判断。只要记住：f(x)的Fourier级数在收敛点收敛于函数值本身，而在第一类不连续点收敛于它左右极限的算术平均值。

注意，对于奇函数、偶函数，Fourier级数的系数有一块都是0.

对于在非对称区间上的函数，那么我们应当做延拓：

需要展开成余弦级数就做偶延拓；

需要展开成正弦级数就做奇延拓。

与上题是类似的，从略。

大纲

高数A

高数B

高数C

常微分方程

常考题型

常微分方程经常和级数、求偏导、几何问题联合起来考察，出现综合的大题的形式。

也会出现小题考察计算，主要是求解线性的常微分方程，常考察一阶或者两阶的形式。如果是非齐次的方程，那么一般非齐次项是指数函数、三角函数或者多项式。

方法与技巧

1、对于一阶常微分方程求解，注意如下一些方法：

(1)对可分离变量的方程，分离变量后两边积分。

(2)对齐次方程做u=y/x的变换

例如下面这道题

有时我们还需要做线性变换。

(3)我们可以把常微分方程化为全微分的形式考察

(4)常数变易法对于形式为y'+f(x)y=g(x)的方程是最有效的。

例如下面这个题：

(5)对于Bernoulli方程，我们有特殊的方法

有些方程，dy/dx如果不是能够很方便解答的类型，可以思考是否可以取倒数看看dx/dy是怎样的类型，再反解出y=f(x):

2、对于二阶线性微分方程求解，有些常考的方法：

(1)对于常系数的方程，特征根法是最常见的。

下面这个高数B考题，告诉我们特征方程的类型直接决定了方程的解的发展趋势：

(2)对于变系数的情形，可以用常数变易法。

(3)常考察的特殊的方程类型是Euler方程

3、对于非齐次的方程，我们需要找特解。找特解的方法往往是根据题目给出的非齐次项f(x)来凑。

(1)若f(x)是多项式，可以假设特解为待定系数的多项式，最高次数要满足方程左右两边的最高次数一致。带入通过比对对应项的系数相等，来求解这个多项式特解。

(2)若f(x)是含有e指数函数的式子。可以假设特解是Ce^(λx)，根据需要来调整C与λ的值。但有时这样还不够，可以尝试一下Cxe^(λx)是否可解。

例如下面这个题，齐次方程的通解利用特征方程可得。特解我们设y=Ce^(x)带入尝试一下发现取C=1/6是合适的

(3)若f(x)是三角函数式，可以假设特解也为三角函数的式子。

考题解析

对同时含有积分和微分的方程，我们应该对等式两边求导，换成常微分方程：

又如与几何背景相综合的题目：

也常考察一些与实际应用有关的题目，如：

大纲

高数A

高数B

高数C

概率论与数理统计

按考纲只有高数C的考题中会出现概统的内容。一般也比较基础。主要考查的是求分布列、求期望、求方差。考察常用的一些分布。

这里列举一些概率论的常用方法与公式、技巧。在“原文链接”中有去年笔者编写的详细的《概统常备公式方法与典型问题》大家有时间可以参考。

常备知识点

全概率公式与贝叶斯公式

八大离散型随机变量分布

三大连续性随机变量分布

常用分布性质：

几何分布与指数分布无记忆性：

二项分布、泊松分布、正态分布满足可加性：

若X～B(p,m),Y～B(p,n)，X与Y相互独立，则X+Y～B(p,m+n)

若X～π（λ1)，Y～π（λ2)，X与Y相互独立，则X+Y～π（λ1+λ2)

若X～ N(u1,a^2) ，Y～N(u2,b^2),X与Y相互独立，则X+Y～N(u1+u2,a^2+b^2)

分布函数的性质

条件分布公式

二维随机变量数字特征

常见分布的期望与方差

计算常用公式

排列组合公式

记住一些常用的排列组合数 方便快捷计算

3！=6

4！=24

5！=120

四选二有6种选法

五选二=五选三 有10种选法

典型方法

求分布、求分布列

求期望、求方差

一维：

二维：

注意期望方差的性质：

E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。

此外还有：

（1） D(C)=0；E(C)=C

（2） D(aX)= a?2;D(X)； E(aX)=aE(X)

（3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b

（4） D(X)=E(X?2;)-E?2;(X)

（5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。

D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。

求协方差、相关系数

以下五个命题是等价的：

(1) ρxy=0；

(2)cov(X,Y)=0;

(3)E(XY)=E(X)E(Y);

(4)D(X+Y)=D(X)+D(Y);

(5)D(X-Y)=D(X)+D(Y).

注意

cov(aX,bY)=abcov(X,Y)

cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

若（X，Y）～N（μ?,μ?,σ??2;,σ??2;,ρ），

则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关即ρ=0

大纲

还应以老师的教学内容为准

高数C 概率

高数C 统计

常备公式、方法

1、三角函数和差化积公式，倍角公式，万能代换。

2、均值不等式

3、平方差，立方和、立方差公式，以及x^m-1的展开：

x^m-1=(x-1)(x^m-1+x^m-2+……+x+1)

4、1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

5、x在[0,π/2],sinx<><><='' p=''>

6、常见初等函数的Taylor展开。

7、不等式证明方法：

注意先对不等式进行化简

可以设辅助函数，证明函数单调性、证明最大值小于0（最小值大于0），有时一次求导不够可能需要两次求导。

可以利用微分中值定理

可以利用函数凸性

可以利用均值不等式

备考建议

制定合理的复习提纲，针对复习重点，逐一进行巩固复习，有针对性地针对考点进行适当练习，不要盲目刷题。

课本的例题要重点复习，掌握好方法

考前最好能够有一次模拟考试。因为平时练习一般不太注意掌控时间，但是在考场上时间很紧，没有哪道题可以花费半个小时以上的时间。因此模拟一次有助于让你体验在时间紧迫地情况下做题的感觉。

压轴题如果是证明题那么一般比较难，先保证前面的题目都做好了再做压轴题。但也有可能最后一道题是计算题，也是基础题的情况。

养成好的打草稿的习惯，一行一个式子，工整书写。

考前早点休息，不要熬夜，有好的状态才能高效复习。考场上状态会很能决定发挥的。

致谢与最后

感谢张页同学的指点！感谢数院学工组的老师们，感谢学校老师和同学们本学期对数院大神答疑活动的支持。

祝大家考试顺利，高数考前，数院大神答疑小组依然照常进行答疑活动，有问题欢迎大家来问。

如果发现本文有任何错误，或者对复习指南的写作有任何建议，欢迎联系：[e-mail]

这可能是我最后一次写关于数学学习的推送了。做这样的数学学习的推送，曾经只是一时的心血来潮，而如今却似乎很有义务地去做了。

我和大家一样曾经挣扎在数学学习的苦海，来自湖南小城、其貌不扬、个子也不高的我，曾经十分自卑。我大一的时候解析几何拿了C-，高代考试的时候紧张得连名字也忘了写。但正是老师同学们的帮助，加上自己的咬牙坚持，让我走到了今天。我和多少人一样，学得很苦，也一直为自己的未来担忧着。

但很幸运还有张韬、罗同丹、张慧琳等几位好朋友一路陪我走过了这四年。记得那个时候我奶奶过世，张韬拉我去外面散心送我回家，张慧琳也一再安慰我，罗同丹也喊我出来散心、安慰我……

很高兴能有数院团学联的同学们一直支持着我，当时正是为了给团学联的同学们发一点福利才有了做学习资料的想法。如今能够做出那么多推送也有赖团学联同学们的支持。感谢郭昱君同学的一直的支持。

我的辅导员阮鸿涛老师、数院学工组的老师们、学校的老师们在学校期间也给了我很大的帮助。因此我的成绩才慢慢好起来。

也正是怀着这样一种感恩，感谢朋友、老师、同学们的帮助，两年前我开通了复旦数学学习平台（当时是以我的名字命名的），开始陆陆续续撰写学习资料，收集往年试卷。大三我加入了数院大神答疑小组，大四的时候决定建成一个集线上答疑和学习推送于一体的平台，在学院支持下开通了微信平台的答疑，推送写作范围也从针对数学系拓展到了高等数学、线性代数、概统这样的数学通识课程。

而毕业后，我将成为一名选调生投入基层工作。告别了数学，告别了复旦，走向社会的广阔天地。还希望大家能够把这样一个平台继续做下去，在我们离开复旦之后。也希望大家如果学有余力也能结合专业所长做一些这样的学习推送。长路漫漫，愿和大家一起努力！

2017年6月21日

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