一、一个不该被忽视的现象：学生依赖记忆而不是依据思维去解决数学问题
学习需要一定的反复，这是我们的共识.但当我们对学生数学学习中产生的问题习以为常，认为让学生多认认、多练练即可时，那么我们则需要警惕更大问题的存在与演变.请看两个案例.
【案例1】
在四年级下学期，学生认识“三角形、平行四边形和梯形”后，当呈现多个平面图形让学生说出图形名称时，部分学生会把图1中的四边形误判为平行四边形.虽然他们照样能说出平行四边形的特征是两组对边分别平行，梯形的特征是只有一组对边平行.不难发现，他们是通过观察图形的样子，然后根据图形概念的本质作出了判断.那为什么还会发生误判呢？怎样才能作出准确的判断呢？
【案例2】
还是“三角形、平行四边形和梯形”单元内容的学习，学生认识三角形的三边关系“任意两边长度的和大于第三边”之后，教师经常会提供这样一道挑战题：用3根整厘米数的小棒围成一个三角形，其中两根小棒的长度分别为8厘米、5厘米，第三根小棒最长是多少厘米，最短是多少厘米？首次接触此题时，如果学生尝试未果，教师大多会直接告诉学生“第三根小棒最长要小于另外两边长度的和，最短要大于另外两边长度的差”，并结合三角形的三边关系加以解释说明.
这两个案例中，学生的学习是存在一定问题的.案例1中，学生只是根据梯形或平行四边形的概念或表象进行简单的判断，并没有主动运用学习工具去验证其对边是否平行.同样，案例2中，学生也是没有主动运用认知工具一一列举，只是无方向地尝试或等待教师讲解.从广义的范围来讲，数学学习工具包括可见的学习工具和隐形的认知工具.直尺、三角板等是可见的学习工具，而策略、模型等则是隐形的认知工具.显然，案例中的学生缺少主动运用数学学习工具解决问题的意识和能力.其背后，实际上是学生的思维能力存在缺陷，即学生依赖于记忆而不是依据思维去解决数学问题.
二、三大对策：引领学生学会思维
学生真的不能依据思维来解决问题吗？答案显然是否定的.只要教师信任学生，解放学生，引导学生依托真实世界进行学习，充分参与其中、经历过程和自由表达，数学学习自然会有通透之感和灵动之意.
（一）关注数学经验的质量
数学学习经历，是学生的数学经验自我唤醒并不断丰富、拓展的过程.通过真实参与、及时反馈、多途径交流以及高位的学习指引，可以帮助学生重构数学经验，提升思维能力.
1.重视过程性数学经验的构筑历程.
对于案例2，除了让学生用小棒摆一摆或者一一列举找答案，还应带给学生更多思维层面的过程性经验.比如，学生找到答案后，教师应去掉题目中“整厘米数的”几个字，让学生思考：“小棒的长度还可能是多少厘米？”“3.1厘米行吗？3.2厘米？12.1厘米呢？12.9厘米呢？”由此，把学生的思维触角从整数引向小数，即从离散量的思考过渡到连续量的思考，水到渠成地建立起思考原型“3厘米＜第三根小棒的长度＜13厘米”.进而，引导学生自主建立起数学模型：“第三根小棒的长度最长要小于另外两边长度的和，最短要大于另外两边长度的差”.经历了思维阶梯的攀爬，即使日后学生遗忘了数学模型的具体内容，他们也能运用一一列举再次建立数学模型，甚至将建模经验迁移到其他问题情境中.
2.体悟知识何以使人有效地面对问题.
最有可能促进学生转变已有观念、形成科学认识的情况是：学生对自己的理解现状不满意，发现新的观念是合理的，承认新的观念确实比旧观念更有成效.比如，分数约分的最快捷的方法，是用分子和分母的最大公因数来约分.但初学时，学生由于没有感受到此方法的优势所在，往往不以为然.只有经过大量、多次的约分特别是混合运算后，才会逐步领悟这个快捷方法的价值所在，从而自觉地运用分子和分母的最大公因数来约分.
3.彰显失败解题经验的学习价值.
俗话说，失败是成功之母.如此浅显的道理，在数学教学中却未能引起教师足够的重视.观察图2中的问题和解题过程，不难发现，这位学生进行了独立而艰辛的探索，第三次才取得成功.但他认真画图理解题意，首先由现成的4个数据演绎出数学结论“甲车每小时比乙车多行驶12千米”；在无法继续列式解答的情况下转向了“列方程解答”，但是根据等量关系“甲车10小时行驶的千米数+240=乙车10小时行驶的千米数+360”列出的方程却无法继续解下去，出现了方程左右两边的式子相同的问题；这时，他想到了重新寻找等量关系“乙车7小时行驶的千米数=甲车3小时行驶的千米数+240”，从而顺利地求出了方程的解.
很显然，这位学生从解题活动中积累的经验，包括“已知的条件，有时演绎出无用的结论”“列算式可能无法解答实际问题，这种情况下可以试着列方程来解答”“列出的方程未必能求出方程的解”“方程两边相同无法求解时，可以寻找新的等量关系列方程解答”等.对学生个体而言，这些解题经验异常珍贵，不可小觑，可以极大地提高学生的思维素养和元认知能力.
4.展现批判性思考和认知风格.
3份路程对应的汽油是“
升”，行1千米所需的汽油对应着2份.先求出1份路程对应的汽油升数，再求2份路程对应的汽油升数，即行1千米路程所需的汽油升数.这些学生抓住“
千米”的概念本质，利用份数准确地把整数和分数进行了区分和勾连，有自己的感悟和思考，值得称赞和认可.
（二）践行“做中学”的教学理念
皮亚杰说：“思维从动作开始，切断了动作和思维之间的联系，思维就不能得到发展.”实践也表明，有些问题仅仅靠教师的讲解是无法解决的，必须让学生动手操作.当学生经历“实物—图形—符号”的抽象过程，自然而然地就创造了知识，发展了思维，积淀了智慧.
1.指向问题的关键突破.
在知识的习得和问题的解决过程中，总有那么几个关键节点影响着学生的判定与抉择，需要有令人信服的解释和感受.为此，我们需要借助操作活动，让学生在关键节点上取得突破性的理解.比如，对于问题：“在长11厘米、宽4厘米的长方形纸上剪下一个最大的半圆，半圆的面积是多少平方厘米？”部分学生不是不会计算半圆的面积，而是不知道最大的半圆的直径是多少厘米.显然，学生缺少把长方形剪成最大半圆的操作经验，这从学生画的两个示意图（如图3）便可知晓.为此，可以让学生用直尺画出一个长11厘米、宽4厘米的长方形（表示长方形纸），然后用圆规去画一画，看看直径为4厘米、11厘米的最大半圆画出来究竟是什么样子.多次尝试后，学生即可发现，半圆的大小取决于半径，而半径最大为4厘米.在此基础上，再让学生通过实际操作画一画，思考“在长8厘米、宽6厘米的长方形纸上剪下一个最大的半圆，半圆的面积是多少平方厘米”，使其进一步丰富数学经验.
2.指向方法的深度理解.
有时，了解方法的适用条件至关重要.比如，对于问题：“把一张长25厘米、宽18厘米的长方形纸，剪成边长是5厘米的小正方形，最多可以剪多少个这样的小正方形？”学生常用的方法“长方形的面积（总面积）÷正方形的面积（每块的面积）=正方形的个数（块数）”显然脱离实际，是不正确的.这一现象的产生，与学生头脑中“平均分”的经验已形成定势有关.教材的编写是“平均分”的情况远远多于“不平均分”，而生活实际却与教材的编写情况正好相反，即“平均分”的情况远远少于“不平均分”.可见，解题时需要转化视角，改变方法.当学生真正制作一张符合规格要求的长方形纸去剪出边长5厘米的小正方形时，就自然地领悟了方法要领——即：首先，看长方形纸的长里面有几个5厘米，确定每排的个数；接着，看长方形纸的宽里面有几个5厘米，确定一共的排数；多余的边角料没有用，不能拼凑成小正方形；最后，推算小正方形的总数.
3.指向能力的稳步生长.
学生个体之间是存在明显差异的，有些学生数学能力较强，无须教师搭建学习支架即可取得认知的成功；而有些学生数学能力较弱，需要教师搭建学习支架为其成功的认知活动提供实现的条件.比如，低年级的个别学生判断小正方体的个数（如图4），由于空间想象能力比较弱，他们对照图数来数去就只有9个.这时，我们无须再作讲解.科学的方法是提供多个小正方体让他们摆一摆，通过实际操作帮助其明白有5个小正方体藏在图形里面起到支撑的作用.然后再要求他们离开实物观察图形进行想象，分类统计5堆小正方体的总数2×2+3×2+4=14（个）.
4.指向工具的升级运用.
一般认为，意识是人脑对客观事物间接的和概括的主观反映.工具运用意识是操作实践的结果.比如，案例1中的学生没有想到借助直尺和三角板，通过平移验证对边是否平行的方法，这与平时操作训练的欠缺有关.没有一定的训练量，操作经验难以得到强化，应用意识自然就不强.再比如，案例2中可以提供长度为1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米、11厘米、12厘米、13厘米的小棒各一根，让学生去摆一摆，从而激发学生在真实情境中通过实际操作解决问题的本能.当然，我们更可以引导学生不用小棒，而是运用解决问题的策略“列举”这一认知工具来辨析和判断，经过假设、验证、否定、筛选等一系列的思维活动，找到最终的答案“最长12厘米，最短4厘米”.当然，这又与教师对更新和升级数学工具的认识有关.
（三）聚焦真实的问题或情境
聚焦真实的问题或情境，意指建立和恢复知识与真实世界之间不可分割的内在关系，实现学习知识的情境与应用知识的情境的统一.在真实学习情境中获得的知识，是具有生命力与活力的，不会变成缺乏迁移能力的毫无活性的惰性知识.解决真实的问题，学生没有心理抗拒，对事物的认识是整体性的、情境化的，是自我建构的，也是易于内化的.
1.经历“慢”“长”的自悟活动.
“知识是外在于人的，是一种可以量化的‘知道’，只有在‘悟’的过程中，让知识进入人的认知本体，悟有所得，才能称为素养.”笔者认为，教知识，不如教方法；教方法，不如设计一个真实的数学情境，让学生在解决问题的过程中自悟方法.比如，对平行四边形面积计算公式的探讨，让学生充分经历“为什么要转化”“动手剪拼”“不剪，在头脑中思考”“不转化，如何直接计算”的探索过程，把学生置于慢体验、长思考的状态之中，计算方法不断优化，平行四边形面积计算公式的得来可谓瓜熟蒂落、水到渠成.
2.解决真实遭遇的数学学习问题.
数学教学除了讲解必要的知识，更重要的是尽可能地解决学生所遭遇的问题，从而为其掌握更多的知识提供智慧支持.知晓和了解学生的真实问题（包括数学迷思与误解、学习困难与疑问等），最好的方法就是“问道于生”.经由“一对一”“一对多”形式的专题指导，定点清除学习障碍，增强学习效能感和内驱力.比如，学生无法辨析实际问题是求最大公因数还是最小公倍数时，我们可以利用真实任务“铺地砖”和“剪裁纸”，帮助学生分析和掌握实际问题的结构，进行正确的区分.
3.挖掘来自生活世界的学习任务.
基于项目、案例、活动、问题形式的学习，以生活中的数学问题的解决作为学生的真实学习任务，数学知识的建构可以得到真实经验的支持.比如，围绕书籍页码问题，可以探索“已知页码数，求书中一共含有多少个数码”“已知页码数，求书中某个数码出现的次数”“已知书中包含的数码数，求书的页码数”三类实际问题；围绕模糊计算主题，可以估算回答“小朋友的身高（年龄）是爸爸的几分之几”“对比已看页数与未看页数的书籍厚度，猜一猜它们的比是几比几”.
4.挑战类似数学家们研究的问题.
了解数学家们如何应对研究的问题，引导学生像数学家那样去思考.比如，对于问题：“平面上有13条直线相交时，最多交点的个数是多少？13条直线最多可以把平面分为几个部分？”可以让学生在足够大的纸（如报纸）上，讨论在哪种情况下交点的个数最多，分成的部分最多.学生在教师的帮助下，沿着“动手操作画一画和数一数→反思直线条数更多时（如130条）如何应对→小数值范围内的探索→观察记录，分析数据，寻找规律→建立数学模型→应用数学模型”这一研究思路展开学习，“学会思维，并能逐步学会想得更清晰、更深入、更全面、更合理”，这正是“‘数学核心素养’的基本涵义”所在.
综观上文，不难发现，三大对策虽然是从不同视角分开论述，有所侧重，但在实际教学中，它们却是浑然天成、一体多面、相辅相成的.
