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人们通过抽象和推理，逐渐形成了数学研究的对象和概念，创建了数学运算的方法和法则，得到了数学命题的假设与结论。这样的过程历经数千年，一个庞大的数学王国就建立起来了。与此同时，人们不断地把数学创建的方法和结论应用到现实生活和生产实践中，这就是数学的应用。数学的应用相当广泛，从日常生活购物的斤斤两两，到浩瀚宇宙星座间距离的度量，几乎涉及现实生活的各个方面，涉及生产实践的各个领域。数学模型属于数学的应用，但与通常所说的数学应用有着非常本质的区别，这个区别导致数学模型的思想与数学应用的思想也不尽相同。 之所以可以把模型称为一种数学思想，这与数学模型的功能有关。虽然数学模型属于数学应用的范畴，但主要是指：用数学所创造出来的概念、原理和方法，来理解、描述和解决现实世界中的一类问题。这样的一类问题往往蕴含着某种事物发生的规律性，或者说，蕴含着某种事物发展的必然性。因此，模型思想是指： 能够有意识地用数学的概念、原理和方法，理解、描述以及解决现实世界中一类问题的那种思想。 掌握模型思想就是： 把握现实世界一类问题的本质与规律，用恰当的数学语言描述问题的本质与规律，用合适的数学符号表达问题的本质与规律，最后得到刻画一类事物的数学模型。 简而言之，模型思想就是用数学的语言讲述现实世界的故事；数学模型构建了数学与现实世界的桥梁，借助数学模型使数学回归于现实世界。 数学对于实现世界的回归是极为重要的，也就是说，数学模型对于数学的发展是极为重要的，因为数学家必然会从数学的角度审视模型中的数学表达，汲取“创造数学”的灵感，促进数学自身的发展。比如微积分就是在讲述现实世界的故事中产生与发展起来的。甚至可以认为，数学模型的构建与应用，是现代数学得以健康发展的重要源泉。 冯·诺依曼曾警告说，数学经过多次抽象之后可能出现近亲繁殖、退化的危险。这一点应该得到充分的重视，很显然，避免数学退化最简单的办法就是注重数学与现实世界的联系，而联系的最重要途径就是数学模型。合理的思维过程具有理性加工的功能，而现实世界的事物一旦经过理性加工，或者说，一旦经过数学的描述，不仅具有了一般性，而且具有了真实性。而数学模型就是这种理性加工的范例，数学对于解释世界是无能为力的，但利用数学能够更好地描述现实世界。 正因为如此，数学模型的价值取向往往不是数学本身，而是数学模型在描述现实世界中所起到的作用；数学模型的研究手法也不是单向的，需要从数学的角度思考，更需要从现实问题的角度思考。也只有这样，才可能启发数学家的灵感，创造出新的数学。 不难想象，除却对所要研究的现实世界的那一类实物本身的了解之外，模型思想也是建立在抽象和推理之上的，这是因为无论是从数学的角度把握实物的本质与规律，还是用数学的语言描述实物的本质与规律，知识基础是对数学内容的把握，思维基础就是抽象和推理。 综上所述，在数学教学活动中，让学生了解数学模型，特别是了解数学模型的构建过程是非常重要的。因为在这个过程中，可以让学生体会：如何用数学的“眼睛”观察现实世界，如何用数学的“思维”思考现实世界，如何用数学的“语言”描述现实世界。 |
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