学霸必刷题

更多相似题 >

已知函数f（x）=sin2x-2sin²x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）求函数f（x）的零点的集合．

解析

（Ⅰ）先根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再由正弦函数的最值可得到答案．
（Ⅱ）令f（x）=0可得到2sin xcos x=2sin²x，进而可得到sin x=0或tan x=，即可求出对应的x的取值集合，得到答案．

答案

解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x-2sin²x=sin2x+cos2x-1=2sin（2x+）-1
故函数f（x）的最大值等于2-1=1
（Ⅱ）由f（x）=0得2sin xcos x=2sin²x，于是sin x=0，或cos x=sin x即tan x=
由sin x=0可知x=kπ；
由tan x=可知x=kπ+．
故函数f（x）的零点的集合为{x|x=kπ或x=k，k∈Z}

点评

本题主要考查二倍角公式、两角和与差的正弦公式的应用和正弦函数的基本性质．三角函数是高考的重点，每年必考，要强化复习．

相似题2

已知集合A=．
（1）当m=3时，求A∩（∁_RB）；
（2）若A∩B={x|-1＜x＜4}，求实数m的值．

解析

（1）先根据分式不等式求出集合A，然后将m的值代入集合B，求出集合B，从而求出集合B的补集，最后与集合A求交集即可；
（2）根据A={x|-1＜x≤5}，A∩B={x|-1＜x＜4}可知集合B中所对应的方程有一根4，代入即可求出m的值．

答案

解：由，∴-1＜x≤5∴A={x|-1＜x≤5}，
（1）当m=3时，B={x|-1＜x＜3}，
则C_RB={x|x≤-1或x≥3}∴A∩（C_RB）={x|3≤x≤5}
（2）∵A={x|-1＜x≤5}，A∩B={x|-1＜x＜4}，∴有4²-2×4-m=0，解得m=8，
此时B={x|-2＜x＜4}，符合题意，故实数m的值为8．

点评

本题主要考查了集合的交集、补集等运算，同时考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题．

相似题3

已知集合A={x|-2≤x≤7}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．

解析

分两种情况考虑：当集合B不为空集时，得到m+1小于2m-1列出不等式，求出不等式的解集得到m的范围，由B为A的子集，列出关于m的不等式，求出不等式的解集，找出m范围的交集得到m的取值范围；当集合B为空集时，符合题意，得出m+1大于2m-1，列出不等式，求出不等式的解集得到m的范围，综上，得到所有满足题意的m范围．

答案

解：分两种情况考虑：
（i）若B不为空集，可得m+1＜2m-1，解得：m＞2，
∵B⊆A，A={x|-2≤x≤7}，B={x|m+1＜x＜2m-1}，
∴m+1≥-2，且2m-1≤7，解得：-3≤m≤4，
此时m的范围为2＜m≤4；
（ii）若B为空集，符合题意，可得m+1≥2m-1，解得：m≤2，
综上，实数m的范围为m≤4．

点评

本题考查两集合的包含关系，根据题意得出集合B为集合A的子集是解本题的关键．

相似题4

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（3）设E是CC₁上一点，试确定E的位置使平面A₁BD⊥平面BDE，并说明理由．

解析

（1）连接AB₁与A₁B相交于M，由三角形中位线定理，我们易得B₁C∥MD，结合线面平行的判定定理，易得B₁C∥平面A₁BD；
（2）由于已知的几何体ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，结合AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，根据正方形的几何特征，我们易得到AB₁⊥B₁C₁，BB₁⊥B₁C₁，根据线面垂直的判定定理，即可得到B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（3）由图可知，当点E为CC₁的中点时，平面A₁BD⊥平面BDE，由已知易得DE∥AC₁，结合AC₁⊥平面AB₁D，我们易得到DE⊥平面AB₁D，进而根据面面垂直的判定定理得到结论．

答案

解：（1）证明：连接AB₁与A₁B相交于M，

则M为A₁B的中点，连接MD，
又D为AC的中点，
∴B₁C∥MD，
又B₁C⊄平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD．
（2）∵AB=BB₁，
∴四边形ABB₁A₁为正方形，
∴AB₁⊥A₁B，
又∵AC₁⊥面A₁BD，
∴AC₁⊥A₁B，
∴A₁B⊥面AB₁C₁，
∴A₁B⊥B₁C₁，
又在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥B₁C₁，
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁．
（3）当点E为CC₁的中点时，
平面A₁BD⊥平面BDE，
∵D、E分别为AC、CC₁的中点，
∴DE∥AC₁，
∵AC₁⊥平面AB₁D，
∴DE⊥平面AB₁D，又DE⊂平面BDE，
∴平面AB₁D⊥平面BDE．

点评

本题考查的知识眯是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面间平行和垂直的判定定理、性质定理、定义是解答此类问题的根本．

相似题5

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设恰有4个元素，求实数λ的取值范围．

解析

（1）根据等比数列的定义证明数列是等比数列，求出首项和公比即可求等比数列的通项公式．
（2）利用“错位相减法”即可得出S_n．再研究数列{b_n}的单调性，即可得出λ的取值范围．

答案

（1）证明：∵数列{b_n}满足nb_n=a_n（n∈N^*），得．由a_n+1=a_n，可得，∴．
又，∴数列{b_n}是等比数列，首项为，公比为，
∴=．
（2）解：由（1）可得a_n=nb_n=．
∴S_n=+…+，
，
∴=+…+-=-=，
∴S_n=2-．
∴=．
∴b_n+1-b_n==，
当n=1时，，∴b₂＞b₁．
当n≥2时，b_n+1-b_n＜0，∴b_n+1＜b_n．
又，b₂=2，，，，
若使集合{n|b_n≥λ，n∈N^*}恰有4个元素，必须，实数λ的取值范围是．

点评

本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、数列的单调性、集合的性质等基础知识与基本技能方法，属于难题．