《高中物理思维方法集解》试笔系列——新选“物体平衡”问题的解析

物体的平衡问题，是高中物理的一个重要内容。而分析和解决此类问题，不仅需要解题者能牢固把握物体平衡的规律，而且必须具有熟练利用数学工具解决物理问题的能力。

                       一、破解依据

欲破解此类问题，须用物体的平衡条件，即所谓合力为零。但宜“视具体情况”，以比较灵活的思维方式对待，即：

㈠诸力平衡时沿任一“作用线”的合力为零；反之亦然。即F_合=0

㈡诸力平衡时沿任意两条“正交直线”的合力均为零；反之亦然。即F_x合=0，F_y合=0。

㈢相互平衡的几个力必能组成一个封闭多边形。

㈣诸力平衡时沿任意两条“斜交直线”的合力均为零；反之亦然。即F^/_x合=0,F^/_y合=0，另作别论。（注：“作用线”、“直线”均指选定的坐标轴）

求物体所受合力时，可采用平行四边形定则（三角形定则）、正交分解法或斜交分解法等等，并且都有作图、计算两种方式。

                      二、解题示例

㈠诸力平衡时沿任一作用线的合力为零

[例题1]（’04全国、广东）用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中,如图—1所示.已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为和，则ac绳和bc绳中的拉力分别为（    ）

    A.       B.

    C.      

[解析]解法一：若多力平衡，则任意一力与其他力之合力等值反向。参照图—2（左），由“依据”㈠可得

因此，本例答案为：选A。

解法二：参照图—2（右），依勾股定理可得

把,代入以上③④式，即可求出相同结果。

[点拨]由此推广可得，若物体平衡，则沿任一力的作用线的合力为零。如果我们能灵活应用这一结论，则常可获取神奇的效果。尽管“三力平衡”问题近年稍受“冷落”，但应强调其仍不失为高考的重点。

[例题2]（’07广东）如图—3所示，在倾角为θ的固定光滑斜面上，质量为m的物体受外力F₁和F₂的作用，F₁方向水平向右，F₂方向竖直向上。若物体静止在斜面上，则下列关系正确的是    （    ）

A．

B．

C．

D．

[解析]首先，分别求出各力在竖直、平行于斜面等两方向的“投影”——分力（图略），用类似“同一直线上力的合成”求解。由“依据”㈠，可得

       

由于（当N=0、F₁=0时，F₂=mg），故由①可知，。参照②式，可知本题答案为：选B。

[例题3]（’07北京四中）如图—4所示，用一夹子夹一个半径为R的轻质球，夹子的每一个臂长均为L，若要夹住轻球，夹子和轻球之间的静摩擦因数至少为多大？

[解析]由于是“轻质”球，故不考虑重力作用，进而作出球的受力示意图—5。然后，考虑到力的“对称性”，由“依据”㈠、摩擦力定义得

        

再由几何关系可得

        

最后，联立①②③式，不难求出以下结果

        

[点拨]例2、例3两题的处理方法，与例1“解法二”相同，可试称谓“投影法”。亦可视为“正交分解法”的灵活应用。应用此种方法解题，常可获取神奇效果。若按常规思路作图求解，则繁杂琐碎，不太随心应手。

㈡诸力平衡时沿任意两条正交直线的合力均为零

[例题4]（’03全国）如图—6所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m₁和m₂的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m₁的小球与O点的连线与水平线的夹角为α=60°。两小球的质量比为    （    ）

A.    B.    -C.     D.

[解析]首先，我们对m₁、m₂分别做“隔离”分析，其受力情况如图—7所示。然后，设线的拉力为T，碗对球1的支持力为N；由数学知识，易知θ=α/2=30°。应用“依据”㈡于m₁、m₂可得

联立①②③④式，即可求出

    因此，本例答案为：选A。

[点拨]此例为应用正交分解法解答的“典型”平衡问题。解题时，我们首先选用了水平、竖直的直角坐标系对两球做受力分析，然后根据各力沿两轴的合力均为零列出方程组，问题即容易解决。

[例题5]（’05全国）一重为G的小球，套于竖直放置的半径为R的光滑大圆环上，一劲度系数为k，自然长度为L（L>2R）的轻质弹簧，其上端固定在大圆环的最高点，下端与小球相连，如图—8所示，不考虑一切摩擦,求小球静止时弹簧与竖直方向的夹角。

[解析]首先，分别在沿小球的圆的切线、法线两方向建立平面正交坐标系，作出受力示意图，如图—9所示。然后，由“依据”㈡、数学知识可得

       

设静止时弹簧长度为L^/，则

        

联立①②③④式，结合“倍角公式”，即可求出          

[点拨]原则上说，物体平衡问题大都能够以正交分解法求解。若作图如图—10，则由数学可知，△AOB∽△BNS。从而

         

由此亦可求出相同的结果。而后者更加节时省力，简便快捷，备感妙趣风生。由此可见，用正交分解法解题也大有不便之处。

[例题6]（高考模拟题）如图—11为一直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑。AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在图示位置平衡。现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力F_N和摩擦力f的变化情况是    （    ）

A.F_N不变，f变大     B.F_N不变，f变小

C.F_N变大，f变大     D.F_N变大，f变小

[解析]分析受力作出示意图—12。再把两环、细绳作为“整体”研究，由“依据”㈡可知，小环P所受支持力等于2mg即

     

其中，F_N、F_N^/分别为环P、Q所受支持力。由①式可知，F_N大小不变。

然后,依“极限思维”分析，当环P向左移至O点时，环Q所受的拉力T、支持力F_N^/逐渐减小为mg、0。由此可知，左移时环P所受摩擦力将减小。

因此，正确的答案为：选B。

[点拨]应该说，静力学中存在着大量的类似此例的“连接体”问题。解题思维方法，无非为“整体”、“隔离”两种分析方法的交替使用，至于是先“整体”、还是“隔离”，则因题而异，变通确定。

㈢相互平衡的几个力必能组成一个封闭多边形

[例题7]（’06上海）如图—13所示，用垂直于斜面BC斜向左下方的推力F，将质量为m，横截面积为直角三角形的物块ABC，顶靠在竖直墙面上，使物体保持静止不动。设∠ABC=30°，则物块受到的摩擦力大小为多少？

[解析]分析可知，物块受重力、推力、支持力和摩擦力等四个力的作用，由“依据”㈢可知，它们恰能组成一个封闭的四边形，如图—13左所示。由图可见

再结合题意，由数学可知，

从而，不难求出    

[例题8]（高考模拟题）如图—15所示，一物体放在斜面上处于静止状止状态。先加一水平推力F，若在推力F从零开始逐渐增大的过程中，物体仍保持静止，则下列判断中正确的是    （    ）

A.斜面对物体的静摩擦力一定增大

B.斜面对物体的支持力一定增大

C.物体在水平方向所受合力一定增大

D.物体在竖直方向所受合力一定增大

[解析]由于“物体仍保持静止”,由“依据”㈢，可得如图—16之封闭四边形。

由图可知，随水平推力F的增大，斜面的支持力N一定增大，静摩擦力f先减小，后转变方向再逐渐增大。因物体始终处于静止状态，故合力为零，不发生变化。因此本例答案：选B。

[点拨]应该指出，无论物体受几个力作用，只要满足物体的平衡条件，即物体处于匀速直线运动或静止状态，所有各力都可组成一个完全封闭的多边形。但是，作图时必须弄清每个力的确切方向，否则稍有疏忽，即会功亏一篑，导致解题的失败。