《高中物理思维方法集解》试笔系列 —— 关于带电粒子在“拼合场”中的运动

    在讨论带电“粒子”（基本粒子、颗粒或小球等）在复合场中的运动问题时，我们常把复合场分作“叠加场”和“拼合场”等两类。“粒子”在叠加场中的运动的有关问题，前已述及。本文拟通过带电粒子在“电拼场”、“磁拼场”和“电磁拼合场”等中运动的一些典型问题的分析和解决，对此类问题的解题规律作一初步探讨。

一、带电粒子在“电拼场”中的运动

所谓“电拼场”，指由两个或两个以上的有界电场拼和而成的复合场。粒子在该拼合场中受不同电场力的作用，往往既有“电加速”、又有“电偏转”现象发生。若电场力为恒力，则可时而“加速”、时而“减速”，或于此“加速”、于彼“类平抛”等等。亦即由于“场区切换”，常常导致运动形式的改变。

 [例题1]如图—1所示，为一真空示波管，电子从灯丝K发出（初速度不计），经灯丝与A板间的加速电压U₁加速，从A板中心孔沿中心线KO射出，然后进入两块平行金属板M、N形成的偏转电场（实为匀强电场）中，其速度与电场方向互相垂直，电子经电场加速后打在荧光屏上的P点。已知加速电压为U₁,M、N两板间的电压为U₂,l;两板间的距离为d,板长为L₁,板右端到荧光屏的距离为L₂,电子的质量为m,电荷量为e.求：

⑴电子穿过A板时速度的大小；

⑵电子从偏转电场射出时的偏移量；

⑶P点到O点的距离。

[解析] ⑴首先，设电子经电场加速后的速度为v₀，由动能定理，可得

由①式即可求出电子穿过A板时速度的大小

          

⑵其次，设电子从偏转电场射出时的“电偏移”为y₁。从而，由牛二定律、运动学公式可求出其大小

          

⑶然后，分析可知电子打到荧光屏的P点到O点“总偏移”，应为“电偏移”y₁与离开电场的“真空偏移”y₂之和。从而，容易求出y₂的大小

           

进而，由②③式我们即可求出“总偏移”——亦即“P点到O点的距离”

          

[点拨]由此可见，在示波管内即存在一个典型的“电拼场”，解决粒子的加速或偏转问题，实则应用运动学公式、牛顿定律和动能定理等等重要的物理规律。

 

[例题2]（’07重庆）飞行时同质谱仪可通过测量离子飞行时间得到离子的荷质比q/m.如图—3,带正电的离子经电压为U的电场加速后进入长度为L的真空管AB,可测得离子飞越AB所用时间t₁.改进以上方法，如图—4,让离子飞越AB后进入场强为E（方向如图）的匀强电场区域BC,在电场的作用下离子返回B端，此时，测得离子从A出发后飞行的总时间t₂,（不计离子重力）

⑴忽略离子源中离子的初速度，①用t₁计算荷质比;②用t₂计算荷质比.

⑵离子源中相同荷质比离子的初速度不尽相同，设两个荷质比都为q/m的离子在A端的速度分别为v和v′（v≠v′）,在改进后的方法中，它们飞行的总时间通常不同， 存在时间差Δt.可通过调节电场E使Δt=0.求此时E的大小.

[解析]⑴①首先，分析可知离子在电场U、真空管AB中分别做加速、匀速直线运动。已知离子源中离子的初速度为零，设离子带电量为q,质量为m,经电场加速后的速度为v。从而，由速度公式、动能定理可得

联立①②式，即可求出离子的荷质比

                                                        

②其次，分析又知离子在匀强电场区域BC中做往返运动，设加速度为a。从而，由牛二定律、速度公式，又得

                                           

再联立由①③④式，又可求出离子的荷质比

或         

⑵然后，已知两离子在A端的荷质比皆为q/m、初速度分别为v、v′，类似地，则得

      

由⑤⑥式，不难导出下式

      

欲使Δt＝0,则必须使得

         

最后，我们可由⑦式，求出调节电场后“E的大小”

    [点拨]第⑴小题采用两种方法计算粒子的荷质比，虽皆用速度公式，但前者应用动能定理、后者应用牛二定律，且由于参量不同，其结果亦不相同。类似地，第⑵小题，则由速度公式等求出粒子飞行时间之差和场强的大小。                           

[例题3]（’07山东）飞行时间质谱仪可以对气体分子进行分析。如图—5在真空状态下，脉冲阀P喷出微量气体，经激光照射产生不同价位的正离子，自a板小孔进入a、b间的加速电场，从b板小孔射出，沿中线方向进入M、N板间的偏转控制区，到达探测器。已知元电荷电量为e，a、b板间距为d，极板M、N的长度和间距均为L。不计离子重力及进入a板时的初速度。

⑴当a、b间的电压为U₁时，在M、N间加上适当的电压U₂，使离子到达探测器。请导出离子的全部飞行时间与比荷K（K=ne/m）的关系式。

⑵去掉偏转电压U₂，在M、N间区域加上垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B，若进入a、b间所有离子质量均为m，要使所有的离子均能通过控制区从右侧飞出，a、b间的加速电压U₁至少为多少？

[解析]⑴首先，分析可知离子在两电场中分别做加速、类平抛运动。对在ab之间“加速”的n价正离子，根据牛二定律、速度公式以及动能定理可得

           

式中，t₁为加速时间。联立①②③式，即可求出

              

其次，设在MN间运动的时间为t₂,显然

于是，我们不难求出离子到达探测器的总时间

⑵然后，若在M、N间区域“改加上”垂直于纸面的匀强磁场，设n价正离子受洛仑兹力（充当向心力）向N板偏转，轨迹半径为R。从而，由半径公式可得

          

当满足“磁偏转”临界条件，即n价正离子能射出磁场且有“最大磁偏移”，即刚好从N板右侧边缘穿出时，离子的“转动半径”、“加速电压”均有最小值。于是，由线段的几何关系，我们得到

再后，设“加速电压”的最小值为。联立④⑤各式，由此即可求出

特殊地，当n=1时U₁取最小值U_min=25eL²B²/32m。

[点拨]需要说明，本例第⑴小题属于“加速”“偏转”典型“拼合”，所用无非牛顿定律、运动方程及动能定理之类。第⑵小题，实则为带电粒子在“电磁拼合场”中运动问题，详情见下文。

二、带电粒子在“磁拼场”中的运动问题

 所谓“磁拼场”，指由两个或两个以上的有界磁场拼合而成的复合场。粒子在该“拼合场”中往往受大小、方向各不相同的洛仑兹力的作用，作方向、程度不同的“磁偏转”，从而做圆周运动（或螺旋线运动），而且“场区切换”常常导致粒子轨迹形状、弯曲方向等改变。应该指出，由于洛仑兹力虽有冲量、但无功量，因此可以导致动量变化（注：动量大小是守恒的），而不能使能量（包括机械能、电势能、内能等）发生转化（注：能量总是守恒的）。

关于粒子在“磁拼场”中运动的问题，笔者在《带电粒子在磁场中的“圆周运动”》一文中已做了两例讨论。在这里，请读者再看下面的一则例题。

[例题4]（’06全国Ⅱ）如图—6所示，在x＜0与x＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B₁与B₂的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面向里，且B₁＞B₂。一个带负电荷的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B₁与B₂的比值应满足什么条件？

[解析]首先，由于洛仑兹力对粒子不做功，可知粒子在整个过程中的速度大小恒为v；又因“磁强”的不同，因而粒子交替地在xy平面内B₁与B₂磁场区域中做匀速圆周运动时，轨道皆为半径不同的“半圆”。设粒子的质量和电荷量的大小分别为m和q，圆周运动的半径分别为r₁和r₂，从而由轨道半径公式可得

                       

其次，我们分析一下粒子运动的轨迹。如图—7所示，在xy平面内，粒子先沿半径为r₁的半圆C₁运动至y轴上离O点距离为2r₁的A点，接着沿半圆D₁运动至离A点距离为2r₂的O₁点。显然，OO₁的距离为

             

然后，粒子每经历一次如此“回旋”（即从y轴出发沿半径为r₁的半圆和半径为r₂的半圆回到原点下方的y轴），粒子的y坐标就减小d（在y轴上下降距离d）。设粒子经过n次回旋后与y轴交于O_n点，若OO_n即nd满足

式，则粒子再经过半圆C_n+1就能经过原点，式中n=1,2,3……为回旋次数。

再后，联立③④式，可得

     

最后，联立①②⑤式，我们即可求出B₁、B₂应满足的条件

    [点拨]应该指出，解决磁偏转问题，实则为匀速圆周运动的规律、圆的数学知识的“联合应用”。在这里，有关圆弧、弦（直径、半径）、切线等之间的几何关系的理解和把握，有着举足轻重、至关重要的作用。若在此“磁拼合场”中增加约束条件如弹力、摩擦力等，则问题会更复杂的得多。

三、带电粒子在“电磁拼合场”中的运动问题

所谓“电磁拼合场”，指由两个或两个以上的有界电场、磁场拼合而成的复合场。由于粒子在该拼合场中往往受电场力、洛仑兹力等作用，常可作匀变速直线运动、圆周运动等，同样地，其运动形式亦受“场区切换”的影响。而电场力做功、粒子动量的变化，能量转化和守恒的应用等等，更使物理场景姿采纷呈，解题过程纷繁多变。

 [例题5]（’07江西模拟）如图—8所示，有一束混合负离子先后通过相邻的正交电磁场区域1和匀强磁场区域2（这些场区图中未画出）。如果这束离子流在区域1中不偏转，接着进入区域2后又出现了a、b两圆周轨迹。对于这个过程有下列说法：①这些离子的速度不相同②这些离子的速度相同③这些离子的荷质比不相同④这些离子的荷质比相同⑤荷质比大的离子沿圆周a运动⑥沿圆周b运动的离子的角速度大。其中说法正确的是 (   )

A.①②⑥  B.③④⑥  C.②③④   D.②③⑤

[解析]首先，对离子进行“水平直线运动”分析可知，其所受电场力与洛仑兹力相平衡，由此可得，故知②对①错；依半径公式，可得半径不同时，粒子的荷质比不同，故知③对④错；同理，可得离子的荷质比与其半径成反比，故知⑤对；最后依可知，半径与角速度成反比，故知⑥亦错。

因此，本题答案为：选D。

[例题6]（’04天津）钍核发生衰变生成镭核并放出一个粒子。设该粒子的质量为、电荷量为q，它进入电势差为U的带窄缝的平行平板电极和间电场时，其速度为，经电场加速后，沿方向进入磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的有界匀强磁场，垂直平板电极，当粒子从点离开磁场时，其速度方向与方位的夹角，如图所示，整个装置处于真空中。

⑴写出钍核衰变方程；

⑵求粒子在磁场中沿圆弧运动的轨道半径R；

⑶求粒子在磁场中运动所用时间。

[解析] ⑴首先，容易写出钍核衰变方程 

⑵其次，设粒子离开电场时速度为，分别对“电加速”、“磁偏转”过程，由动能定理、轨道半径公式，可得

联立①②式，即可求出

                        

⑶然后，已知回旋角θ=60°。由粒子回旋周期和飞行时间的公式，可得

            

联立③④式，不难求出

                                 

[点拨] 由解析可见，此例为一道力、电、原综合题，写衰变方程自然要考虑到质量数、质子数的守恒。在讨论粒子的运动时，由于“拼合”了匀强磁场，所以除用到动能定理等外，自然要用“磁偏转”的轨道半径、回旋角和飞行时间等概念和规律解决问题。

[例题6]（’07全国Ⅱ）如图—11所示，在坐标系Oxy的第一象限中存在沿y轴正方向的匀速磁场，场强大小为E。在其它象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。A是y轴上的一点，它到坐标原点O的距离为h；C是x轴上的一点，到O的距离为l。一质量为m，电荷量为q的带负电的粒子以某一初速度沿x轴方向从A点进入电场区域，继而通过C点进入磁场区域。并再次通过A点，此时速度方向与y轴正方向成锐角。不计重力作用。试求：

⑴粒子经过C点速度的大小和方向；

⑵磁感应强度的大小B。

[解析] ⑴首先，分析粒子的受力、运动情况可知，粒子先做类平抛、后作匀速圆运动（A点速度方向与y轴正方向成锐角，h＜L,轨迹为优弧），情况如图—12所示。在匀强电场中时，以a表示粒子的加速度，从而，由牛二定律可得

显见，加速度沿y轴负方向。

其次，设粒子从A点进入电场时的水平初速度为v₀，由A点运动到C点经历的时间为t。从而，由平抛运动规律又得

 

联立②③式，可解得

                                 

再设粒子从C点进入磁场时的垂直于x轴的分量为v_y, 速度为v，速度方向与x轴的夹角为α(即电偏转角)。从而，根据速度位移关系、速度合成法则，可得

                             

联立④⑤⑥⑦式，即可求出“粒子经过C点速度的大小和方向”

⑵然后，设粒子经过C点进入磁场后做圆周运动的半径为R，依半径公式可得

         

再设圆心为P，则PC必与过C点的速度垂直，且有＝＝R。用β表示与y轴的夹角，根据线段之间的几何关系，又得到

                                                    

由以上两式，可得

              

最后联立⑧⑨⑩式，我们即可求出磁感应强度的大小为

                     

[点拨]显然，由于粒子在偏转电场中作“类平抛”运动，因而我们在求“粒子经过C点速度的大小和方向”时，应用平抛运动的规律如速度、位移公式等解决。而当“切换”之偏转磁场时，运动的轨迹、性质等发生变化，自然地，我们又把目光转向轨道半径及其场内的空间关系等等。

[例题7]（’05江苏 ）如图—13所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，S₁、S₂为板上正对的小孔，N板右侧有两个宽度均为d的匀强磁场区域，磁感应强度大小均为B，方向分别垂直于纸面向外和向里，磁场区域右侧有一个荧光屏，取屏上与S₁、S₂共线的O点为原点，向上为正方向建立x轴．M板左侧电子枪发射出的热电子经小孔S₁进入两板间，电子的质量为m，电荷量为e，初速度可以忽略．

⑴当两板间电势差为U₀时，求从小孔S₂射出的电子的速度v₀

⑵求两金属板间电势差U在什么范围内，电子不能穿过磁场区域而打到荧光屏上．

⑶若电子能够穿过磁场区域而打到荧光屏上，试在答题卡的图上定性地画出电子运动的轨迹．

⑷求电子打到荧光屏上的位置坐标x和金属板间电势差U的函数关系．

[解析]⑴首先，对“加速”场内情形，由动能定理，得

由此，即可解得电子从小孔S₂射出时的速度

⑵其次，欲使电子不能穿过磁场区域而打到荧光屏上，应有

联立②③式，由此即可求出电势差U的范围

⑶然后，考虑到电子在“磁拼合场”中运动的对称性，绘出电子穿过磁场区域再打到荧光屏上时的轨迹，如图—14所示

⑷若电子在磁场区域做圆周运动的轨道半径为，穿过磁场区域打到荧光屏上的位置坐标为，则由图—13中的轨迹图可得   

再把代入其中，即可求出电子“能够”打到荧光屏上的位置坐标x和金属板间电势差U的函数关系为

   不难理解，式中

[点拨]应该指出，不能穿过磁场的条件，与能穿过磁场的条件之间的微妙关系，仅在“大于”与“小于”之间。由于粒子在“磁拼合场”中运动速度、时间、轨迹等的对称性，因而我们即可确定粒子一定沿水平方向射出场外。

[例题8]（’06广东）在光滑绝缘的水平桌面上，有两个质 量均为m，电量为＋q 的完全相同的带电粒子  P₁ 和 P₂  ，在小孔 A处以初速度为零先后释放。在平 行板间距为d 的匀强电场中加速后，P₁从C处对着圆心进入半径为 R 的固定圆筒中（筒壁上的小 孔 C 只能容一个粒子通过），圆筒内有垂直水平面向上的磁感应强度为 B 的匀强磁场。P₁每次与筒壁发生碰撞均无电荷迁移，P₁进入磁场第一次与筒壁碰撞点为 D，∠COD=θ ，如图—14所示。延后释放的P₂，将第一次欲逃逸出圆筒的P₁正碰 圆筒内，此次碰撞刚结束，立即改变平行板间的电压，并利用P₂与P₁之后的碰撞，将P₁限制在圆 筒内运动。碰撞过程均无机械能损失。设d=5πR/8，求：在P₂和P₁相邻两次碰撞时间间隔内，粒子P₁与筒壁的可能碰撞次数。

附：部分三角函数值

[解析]首先，分析可知，当粒子P₁在磁场内做“多段”圆运动、P₂在电场内做往复直线运动时，欲使“碰撞之后，将P₁限制在圆 筒内运动”， 一则必须使P₁、P₂两个粒子分别在磁场、电场中运动的时间t₁、t₂相等，即；欲使P₂与P₁碰撞后不穿出A点，与P₁碰撞后P₂返回距离为s，二则必须使其中U₁为粒子P₁的“加速”电压，U₂为粒子P₂第一次碰撞后的“减速”电压（而方向未变）。即必须具备两个“必要条件”，缺一不可。

其次，对粒子P₁ 的“加速”、“旋转”而言，设粒子半径、速度分别为r、v₀；并设粒子P₁转了k圈、与筒壁碰撞（n-1）次后从C点射出，。由动能定理、向心力公式和几何关系可得

联立①②③④式，即可求出

         

然后，再求粒子P₁在磁场中的回旋周期、飞行时间分别为T、t₁.由回旋周期、飞行时间公式，可得

        

联立③④⑥⑦式，又可求出

           

接下来，欲使粒子P₂在电场中运动时间为t₂,不至于逃逸出磁场，则P₂、P₁两粒子必定进行“弹性碰撞”才行，图—15表示出一种特殊情况。从而，选向右为正方向，由动量守恒和动能守恒可得

         

由以上两式可得，碰撞后两粒子“交换速度”，亦即粒子P₂以初速度做“匀减速”往复运动。显然，其在电场中的运动时间为

            

至此，我们再先、后应用“必要条件”之一、二（参见上文），并代入已知数据d=5πR/8 即求出下式

                

最后，通过讨论，可知只有当时，不等式⑩才能成立。因此，粒子P₁与圆桶碰撞的可能次数为

    [点拨] 解决此例的“关键”，即欲造成“碰撞之后，将P₁限制在圆筒内运动”的结果，则必须满足两个“必要条件”。弄清这一点，即给解题达标指明了正确的方向。进而，必须破解三个“环节”：第一，弄清P₁的运动情况（如与桶壁（n-1）次碰撞、n等份时间或圆弧以及k次的“反旋”转圈）；第二，明确P₂与P₁的弹性碰撞会导致粒子的“速度交换”；第三，根据P₂运动的特点（如 “减速”、“往复”），判断其在电场中做“类竖直上抛”运动等等。

综上所述，可知在由两个或两个以上 “有界”的电场、磁场等组合为“拼合场”“叠拼场”时 ，比之“叠加场”，更具有极大的灵活性、多样性和实用性。此类问题的编制和解决，给高中物理的知识传授、习题教学以“反三”、“融通”之伸缩余地，给物理命题、各类测试带来极大的“运用”、“开拓”之驰骋空间。因此，对此进一步开展深入、广泛的讨论和研究，必将产生十分重要的教学效果和深远影响。