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邬云德（浙江省象山县教育局教科研中心） 摘要：《义务教育数学课程标准（2011年版）》倡导旨在培养学生智慧的过程教育，但调研发现大多数教师的课堂教学存在认知过程短暂（特别是内化过程缺失）的问题．基于过程教育的“一元一次方程”的教学怎样操作？以问答的形式呈现几个节点问题及参考答案． 关键词：过程教育；一元一次方程；教学操作；问题及答案 《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）倡导旨在培养学生智慧的过程教育，但调研发现大多数教师的课堂教学存在认知过程短暂（特别是内化过程缺失）的问题．基于过程教育的浙教版《义务教育教科书·数学》七年级上册“一元一次方程”的教学怎样操作？文章呈现了几个节点问题及参考答案，供读者参考、研究． 一、 一元一次方程的地位与作用 数学结果是课程内容的主要组成部分．数学结果包括数学中的事实、概念、性质、定理、公式、法则、规律、方法、问题与结论等．根据数学结果的含义，从一元一次方程概念体系中可以分析出其涉及的数学结果有：从生活情境中抽象出一元一次方程的方法；一元一次方程的概念（包括名称、定义、属性、示例）及定义一元一次方程的步骤；解一元一次方程的方法；用一元一次方程解决实际问题的步骤．其逻辑关系可用图1表示． 一元一次方程是在认识代数式基础上提出来的，它是刻画现实世界数量相等关系的重要数学模型．解一元一次方程的方法是后继学习所需要的基本技能.从具体到抽象和从特殊到一般的研究方法，定义一元一次方程的步骤，生成解一元一次方程的方法和用一元一次方程解决实际问题的步骤对后继学习有指导作用． 二、一元一次方程的认知过程和认知条件，认知价值及认知障碍 数学结果的形成、应用的过程和蕴涵的数学思想方法也是课程内容的有机组成部分．认知过程是指获得有关数学结果（或解决问题）的步骤．认知条件是指认知所需要的必要条件（学习中不可缺少的条件——学习新知识必须具有的先决条件）和支持性条件（对学习起“催化剂”作用的条件——数学认知策略、数学思想方法、数学活动经验、态度等）．认知价值是指认知过程和蕴涵的数学思想方法对发展学生智力、能力和个性的影响．认知障碍是指学生在认知过程中可能会遇到的困难． 例如，运用学习任务分析理论，获得一元一次方程概念的认知过程和认知所需要的条件的分析结果可用图2表示． （1）从图2中可以看出，获得一元一次方程概念的基本步骤如下. ①用适当的方法产生特定的一元一次方程； ②观察特定一元一次方程的特征； ③归纳一元一次方程的本质特征； ④用文字语言定义和用符号语言表示一元一次方程． （2）获得一元一次方程概念的必要条件是具有实际问题转化为一元一次方程的抽象思想和列式经验． （3）获得一元一次方程概念的支持性条件包含以下几方面. ①观察数或式特征的经验； ②归纳思想； ③定义的经验． 尽管一元一次方程可以看成是来自生活现实的数学抽象，也可以看成是数学自身逻辑的产物，但从生活现实中抽象出一元一次方程的方式能体现方程思想和一元一次方程现实情境的广泛存在性． （4）类似地分析获得其他数学结果的认知过程和认知条件，可以分析出一元一次方程的认知价值包含以下几点. ①从生活情境中抽象出一元一次方程的过程和蕴含的生活常识、抽象思想、列方程的经验等； ②定义一元一次方程的过程和蕴涵的归纳思想等； ③解一元一次方程的过程和蕴涵的化归思想等； ④用一元一次方程解决实际问题的过程和蕴涵的演绎思想、模型化思想等． 尽管学生有将生活问题转化为数学问题的经历与经验，但根据生活情境列出方程可能还会使部分学生感到困难；尽管学生有定义研究对象的经历与经验，但感悟定义的步骤及蕴涵的数学思想可能会使部分学生遇到困难；尽管学生有个别到普遍归纳的经历与经验，但根据具体情况归纳一元一次方程的解法可能会使部分学生遇到困难；尽管学生有用获得的数学结果解决问题的经历与经验，但用一元一次方程解决实际问题可能会使部分学生感到困难． 三、一元一次方程的学习结果 学习结果是教学目标的基本成分． （1）依据《标准（2011年版）》倡导的学习结果分类理论，从涉及数学结果的逻辑结构和获得数学结果（或解决问题）的认知结构中可以分析出其“结果性”学习成果包含如下几方面. ①事实性知识——方程和一元一次方程的名称； ②概念性知识——方程和一元一次方程的概念及方程解的概念，等式的性质； ③程序性知识——列方程的方法，解一元一次方程的方法（包括尝试检验法），用方程解决实际问题的步骤； ④元认知知识——“抽象问题具体化”和“一般问题特殊化”的思维策略，列方程中的转化思想、定义方程中的归纳思想、解方程中的化归思想、解决问题之前的分析和解决问题之后反思的意识． 知识技能——能识别一元一次方程，会用方程解的概念求方程中的待定系数； 理解概念——会用符号表示一元一次方程，能说出算式模型与方程模型的区别与联系； 运用规则——会用解一元一次方程的方法解具体的一元一次方程； 解决问题——在观察基础上归纳一元一次方程的特征，在解具体方程基础上归纳解一元一次方程的方法，在用一元一次方程分析与解决实际问题基础上归纳问题解决的基本步骤． （2）其“过程性”学习成果可能包含如下几方面. ①发现一元一次方程特征和概括解一元一次方程方法中的个性化想法； ②反思一元一次方程概念和解一元一次方程方法形成过程中的个性化体验（特别是获得概念的步骤和生成解法的研究方法及蕴涵的数学思想）； ③参与定义一元一次方程活动和探索一元一次方程解法及其应用中的个性化表现（积极参与讨论并敢于发表观点等）和对学习一元一次方程意义的感触，及方程是刻画现实世界数量相等关系的有效数学模型，从算式到方程和从算术到代数是数学的进步等． 四、建构一元一次方程的教学结构 教学结构是实现教学目标的通道．一定的教学结构反映了一定的教学思想，基于“过程教育”的教学结构应当是逻辑连贯的，并且要符合数学的发展规律、学生学习数学的认知规律和教育规律．按这个观点，“一元一次方程”的教学结构可用图３表示． 这是一个以数学知识发生、发展过程为载体的学生认知过程和以学生为主体的数学活动过程．这个简单、自然、动态、和谐的教学结构，能使学生经历完整的数学思考过程，对促进学生认知与情感的变化与发展有积极的影响． 五、经历产生并感悟一元一次方程过程的教学 教师指出：许多现实生活中的数量关系问题可以用算式来表示，也可以用方程来表示． 例如，下面的问题分别能用算式和方程来表示，大家根据下列问题中的条件分别列出算式和方程． （1）一件衣服按８折销售的售价为72元，这件衣服的原价是多少？ ①求这件衣服的原价可列出算式___________________． ②若设这件衣服的原价为x元，则可列出方程_______________________ ． （2）物体在水下，水深每增加10.33米承受的压力就会增加１个大气压．当“蛟龙”号下潜至3500米时，它承受的压力约为340个大气压．问当它承受压力增加到500个大气压时，它又继续下潜的深度是多少？ ①求它又继续下潜的米数可列出算式__________________________． ②若设它又继续下潜了x米，则可列出方程：_____________________________． （3）小强、小杰、张明参加投篮比赛，每人投了20次．小强投进10个球，小杰比张明多投进2个，三人平均每人投进14个球．问小杰和张明各投进球的个数是多少？ ①求张明投进的个数可列出算式______________________________． ②若设张明投进x个，则可列出方程________________________________． 教师组织学生进行交互反馈，同时教师进行评价． 教师在学生反馈交流基础上引导学生反思：列算式或列方程的依据是什么？列算式或列方程的目的是什么？算式与方程有何差异？方程与算术相比有哪些优点？ 教师在组织学生合作研讨的基础上进行总结性讲解． 尽管产生一元一次方程有多种方式，但从生活情境中抽象出一元一次方程能体现方程思想和感悟一元一次方程现实情境的存在性．这个经历性数学活动的内容不仅包括列具体的算式与方程，也包括列算式或方程的依据、目的及算式与方程的优缺点等.教学采用了在有价值问题引导下的学生独立学习基础上的汇报交流和汇报交流基础上的教师总结性讲解的方式,既有认知过程前半段，即根据具体情境列算式与列方程，交流与评价所列的算式与方程，以产生符合题意的算式与方程；又有认知过程后半段，即产生具体算式与方程之后的反思，以认识列算式与方程的依据、目的及算式与方程的优缺点，从而感悟方程的先进性和系统研究方程的必要性．这种关注“两段”的认知过程体现了“过程教育”，能建立新、旧知识之间的内在联系并激发学生的学习兴趣，并对发展学生列方程的技能和养成良好的学习方式有积极的影响． 教师在组织学生合作研讨的基础上进行总结性讲解． 尽管一元一次方程概念的教学要求是“了解”，但教材对一元一次方程概念的定位处于归纳层次，并且定义一元一次方程的步骤对后续学习有指导作用．这个参与式数学活动的内容不仅包括一元一次方程的概念及方程根的概念，也包括命名一元一次方程的步骤和蕴涵的归纳思想等.教学采用了定向指导性问题引导下的先“放”后“收”的适度开放的方式,既有认知过程前半段，即观察并归纳具体一元一次方程的特征，用文字和符号命名一元一次方程，以形成一元一次方程的概念；又有认知过程后半段，即获得一元一次方程概念之后的反思，以感悟定义一元一次方程的步骤及进一步需要研究的问题．这种关注“两段”的认知过程体现了“过程教育”，能使学生经历获得一元一次方程概念的思维“站点”，并对发展学生的观察与归纳能力及反思意识有积极的影响． 七、探索解一元一次方程方法的教学 解一元一次方程的方法是初中阶段的基础知识，其认知方式是从具体到抽象．这个探索性数学活动的内容不仅包括解具体的一元一次方程，也包括解一元一次方程的步骤和蕴涵的化归思想.教学采用了教师价值引导与学生自主建构相结合的先“放”后“收”的适度开放的方式,既有认知过程前半段，即引导学生探索解具体一元一次方程的方法，以积累解具体一元一次方程的经验，又有认知过程后半段，即获得解具体一元一次方程经验之后的反思，以认识解一元一次方程的思想方法．这种关注“两段”的认知过程体现了过程教育，能使学生经历获得解一元一次方程方法的实质性思维过程，并对发展学生归纳能力和培养学生合作交流的习惯和反思的意识有积极的影响． 八、参与尝试一元一次方程应用活动的教学 教师提出问题：某文艺团体为“希望工程”募捐义演，全价票为每张18元，学生享受半价．某场演出共售出966张票，收入15480元，问这场演出共售出学生票的张数是多少？ 教师引导学生经历以下思考过程. （1）审题：问题中涉及哪些量？哪些量是已知的？哪些量是未知的？ （2）分析：这些量与量之间有何关系？ （3）设元并列方程：设这场演出售出学生票x张，则可列出怎样的方程？ （4）解方程：怎样解所列的方程？ （5）检验：方程的解是否符合实际情况？ 教师引导学生反思：列方程的目的是什么？为何要对方程的解进行检验？用方程解决实际问题需要经历哪几个步骤？ 教师在组织学生合作研讨的基础上总结用方程解决实际问题的步骤. （1）审题——提取问题中的数量信息（如已知量、未知量、条件等）．审题的关键是正确理解问题中的关键性语句． （2）分析——理清问题中的数量关系（特别是相等关系）．分析的关键是借用图表、图形、式子等工具使数量关系明朗化． （3）列方程——适当引进字母，将实际问题抽象概括为方程．视角不同得到的方程可能也不同（方程可能具有多样性）．设未知数的方法有两种：一种是直接法，一种是间接法． （4）解方程——方程变形（符号变换）、求解的过程，符号变换的依据是等式的性质． （5）检验——检验方程的解是否符合实际，并回答实际问题的答案．这个过程是解决实际问题不可缺少的重要一环． （6）反思——问题解决后的回顾与思考．反思的主要视角有：发散——方程及解法是否具有多样性；评价——哪种方程或解法最有价值；引申——问题能否进一步拓展；诠释——方程能否赋予不同的意义． 用解一元一次方程的思想方法解决实际问题是整章认知过程的后半段，其知识技能主要是解决问题．这个参与式数学活动的内容不仅包括解决有代表性的实际问题，也包括用方程解决问题的步骤和蕴涵的模型化思想、转化思想、演绎思想等.教学采用了教师引导与学生自主建构相结合的先放后收的方式，既有认知过程前半段，即引导学生经历解决实际问题的过程，以积累用方程解决实际问题的经验；又有认知过程后半段，即问题解决之后的反思，以感悟用方程解决实际问题的步骤．这种关注“两段”的认知过程体现了“过程教育”，能发展学生分析与解决问题的能力，能使学生掌握用方程解决实际问题的方法． 以上几个问题虽不十分系统，回答可能也不全面．但对改变当前“只教不研”的现象和帮助教师认识与实践过程教育有积极作用，对发展教师的实践性智慧也有积极的影响． 参考文献： [1]中华人民共和国教育部制定．义务教育数学课程标准（2011年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2012． [2]范良火．义务教育教科书·数学（七年级上册）[M]．杭州：浙江教育出版社，2012. |
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